Coordenadas parabólicas

Las coordenadas parabólicas son un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales en el que las líneas de coordenadas son parábolas confocales . Se obtiene una versión tridimensional de las coordenadas parabólicas rotando el sistema bidimensional sobre el eje de simetría de las parábolas.

Las coordenadas parabólicas han encontrado muchas aplicaciones, por ejemplo, el tratamiento del efecto Stark y la teoría potencial de los bordes.

Las coordenadas parabólicas bidimensionales se definen mediante las ecuaciones, en términos de coordenadas cartesianas: ${\displaystyle (\sigma,\tau)}$

${\displaystyle x=\sigma \tau}$

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

Las curvas de parábolas confocales de forma constante${\estilo de visualización \sigma}$

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

que se abren hacia arriba (es decir, hacia ), mientras que las curvas de constante forman parábolas confocales ${\estilo de visualización +y}$${\estilo de visualización \tau}$

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

que se abren hacia abajo (es decir, hacia ). Los focos de todas estas parábolas se encuentran en el origen. ${\estilo de visualización -y}$

Las coordenadas cartesianas se pueden convertir a coordenadas parabólicas mediante: ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle \sigma =\operatorname {signo} (x){\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-y}}}$

${\displaystyle \tau ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+y}}}$

Los factores de escala para las coordenadas parabólicas son iguales ${\displaystyle (\sigma,\tau)}$

${\displaystyle h_{\sigma}=h_{\tau}={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

Por lo tanto, el elemento infinitesimal del área es

${\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau }$

y el laplaciano es igual

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}$

Otros operadores diferenciales como y pueden expresarse en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F}}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma,\tau)}$

Las coordenadas parabólicas bidimensionales forman la base de dos conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales . Las coordenadas cilíndricas parabólicas se generan mediante la proyección en la dirección . La rotación sobre el eje de simetría de las parábolas produce un conjunto de paraboloides confocales, el sistema de coordenadas de las coordenadas parabólicas tridimensionales. Expresado en términos de coordenadas cartesianas: ${\estilo de visualización z}$

${\displaystyle x=\sigma\tau\cos\varphi}$

${\displaystyle y=\sigma\tau\sin\varphi}$

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

donde las parábolas ahora están alineadas con el eje , alrededor del cual se realizó la rotación. Por lo tanto, el ángulo azimutal está definido ${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización \varphi}$

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {y}{x}}}$

Las superficies de paraboloides confocales de forma constante${\estilo de visualización \sigma}$

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

que se abren hacia arriba (es decir, hacia ) mientras que las superficies de constante forman paraboloides confocales ${\estilo de visualización +z}$${\estilo de visualización \tau}$

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

que se abren hacia abajo (es decir, hacia ). Los focos de todos estos paraboloides se encuentran en el origen. ${\estilo de visualización -z}$

El tensor métrico de Riemann asociado a este sistema de coordenadas es

${\displaystyle g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}}$

Los factores de escala tridimensionales son:

${\displaystyle h_{\sigma}={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\tau}={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\varphi}=\sigma \tau}$

Se observa que los factores de escala y son los mismos que en el caso bidimensional. El elemento de volumen infinitesimal es entonces $estilo de visualización h_{\sigma}$$estilo de visualización h_{\tau}$

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \izquierda(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\derecha)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

y el laplaciano viene dado por

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\parcial }{\parcial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\parcial \Phi }{\parcial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\parcial }{\parcial \tau }}\left(\tau {\frac {\parcial \Phi }{\parcial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}\Phi }{\parcial \varphi ^{2}}}}$

Otros operadores diferenciales como y pueden expresarse en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F}}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma,\tau,\phi)}$

• Coordenadas cilíndricas parabólicas
• Sistema de coordenadas ortogonales
• Coordenadas curvilíneas

• Morse PM , Feshbach H (1953). Métodos de física teórica, parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pág. 660. ISBN 0-07-043316-X. Código LCCN  52011515.
• Margenau H , Murphy GM (1956). Las matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. págs. 185-186. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 180. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. pag. 96.LCCN 67025285  .
• Zwillinger D (1992). Manual de integración . Boston, MA: Jones y Bartlett. pág. 114. ISBN. 0-86720-293-9. Igual que Morse y Feshbach (1953), sustituyendo u _k por ξ _k .
• Moon P, Spencer DE (1988). "Coordenadas parabólicas (μ, ν, ψ)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª edición corregida, 3.ª edición impresa). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 34–36 (Tabla 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2.

• "Coordenadas parabólicas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Descripción de coordenadas parabólicas en MathWorld