Puntos circulares en el infinito

En geometría proyectiva , los puntos circulares en el infinito (también llamados puntos cíclicos o puntos isotrópicos ) son dos puntos especiales en el infinito en el plano proyectivo complejo que están contenidos en la complejización de cada círculo real .

Un punto del plano proyectivo complejo puede describirse mediante coordenadas homogéneas , que son una terna de números complejos ( x  : y  : z ) , donde dos ternas describen el mismo punto del plano cuando las coordenadas de una terna coinciden con las de la otra tras multiplicarlas por un factor fijo distinto de cero. En este sistema, los puntos en el infinito pueden elegirse como aquellos cuya coordenada z es cero. Los dos puntos circulares en el infinito son dos de estos, generalmente considerados aquellos con coordenadas homogéneas.

(1  : i  : 0) y (1  : − i  : 0) .

Un círculo real, definido por su punto central ( x₀ _, y₀ ) y su radio r (los tres son números reales ) _, puede describirse como el conjunto de soluciones reales de la ecuación .

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.}$

Al convertir esto en una ecuación homogénea y tomar el conjunto de todas las soluciones de números complejos, se obtiene la complejización del círculo. Los dos puntos circulares reciben su nombre porque se encuentran en la complejización de cada círculo real. De manera más general, ambos puntos satisfacen las ecuaciones homogéneas del tipo

${\displaystyle Ax^{2}+Ay^{2}+2B_{1}xz+2B_{2}yz-Cz^{2}=0.}$

El caso en que todos los coeficientes son reales da la ecuación de un círculo general (del plano proyectivo real ). En general, una curva algebraica que pasa por estos dos puntos se llama circular .

Los puntos circulares en el infinito son los puntos en el infinito de las líneas isotrópicas . ^{[ 2 ]} Son invariantes bajo traslaciones y rotaciones del plano.

El concepto de ángulo se puede definir utilizando los puntos circulares, el logaritmo natural y la razón antagónica : ^{[ 3 ]}

El ángulo entre dos líneas es el logaritmo de la razón anular del haz formado por las dos líneas y las líneas que unen su intersección con los puntos circulares, dividido por 2i.

Sommerville configura dos líneas en el origen como${\displaystyle u:y=x\tan \theta ,\quad u':y=x\tan \theta '.}$Denotando los puntos circulares como ω y ω ′, obtiene la razón anarmónica.

${\displaystyle (uu',\omega \omega ')={\frac {\tan \theta -i}{\tan \theta +i}}\div {\frac {\tan \theta '-i}{\tan \theta '+i}},}$de modo que

${\displaystyle \phi =\theta '-\theta ={\tfrac {i}{2}}\log(uu',\omega \omega ').}$

La transformación${\displaystyle x'=x,\quad y'=iy,\quad z'=z}$Felix Klein la llama transformación imaginaria . Él señala que la ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$se convierte${\displaystyle x'^{2}-y'^{2}=0}$bajo la transformación, que

cambia los puntos circulares imaginarios x  : y = ± i, z = 0, en los puntos reales infinitamente distantes x '  : y ' = ± 1, z = 0, que son los puntos en el infinito en las dos direcciones que forman un ángulo de 45° con los ejes. Así, todos los círculos se transforman en cónicas que pasan por estos dos puntos reales infinitamente distantes, es decir, en hipérbolas equiláteras cuyas asíntotas forman un ángulo de 45° con los ejes. ^{[ 4 ]}

• Pierre Samuel (1988) Geometría proyectiva , Springer, sección 1.6;
• Semple y Kneebone (1952) Geometría proyectiva algebraica , Oxford, sección II-8.