Círculo de directores

En geometría , el círculo director de una elipse o hipérbola (también llamado círculo ortóptico o círculo de Fermat-Apollonio ) es un círculo formado por todos los puntos donde se cruzan dos líneas tangentes perpendiculares a la elipse o hipérbola.

El círculo director de una elipse circunscribe el cuadro delimitador mínimo de la elipse. Tiene el mismo centro que la elipse, con radio${\estilo de texto {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son el semieje mayor y el semieje menor de la elipse. Además, tiene la propiedad de que, vista desde cualquier punto de la circunferencia, la elipse abarca un ángulo recto . ^{[ 1 ]}

El círculo director de una hipérbola tiene radio${\estilo de texto {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$y, por lo tanto, puede que no exista en el plano euclidiano , pero podría ser un círculo con radio imaginario en el plano complejo .

El círculo director de un círculo es un círculo concéntrico con radio${\textstyle {\sqrt {2}}}$veces el radio del círculo original.

De manera más general, para cualquier conjunto de puntos P _i , pesos w _i , y constante C , se puede definir un círculo como el lugar geométrico de puntos X tales que $${\displaystyle \sum _{i}w_{i}\,d(X,P_{i})^{2}=C.}$$

El círculo director de una elipse es un caso especial de esta construcción más general con dos puntos P ₁ y P ₂ en los focos de la elipse, pesos w ₁ = w ₂ = 1 y C igual al cuadrado del eje mayor de la elipse. El círculo de Apolonio , el lugar geométrico de puntos X tales que la razón de las distancias de X a dos focos P ₁ y P ₂ es una constante fija r , es otro caso especial, con w ₁ = 1 , w ₂ = – r ² , y C = 0 .

En el caso de una parábola, el círculo director degenera en una línea recta, la directriz de la parábola. ^{[ 2 ]}

• Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007), Geometría de las cónicas , Mathematical World, vol.  26, American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4323-9
• Cremona, Luigi (1885), Elementos de geometría proyectiva , Oxford: Clarendon Press, pág.  369
• Faulkner, T. Ewan (1952), Geometría proyectiva , Edimburgo y Londres: Oliver and Boyd
• Hawkesworth, Alan S. (1905), "Algunas nuevas razones de curvas cónicas", The American Mathematical Monthly , 12 (1): 1– 8, doi : 10.2307/2968867 , JSTOR 2968867 , MR 1516260  
• Loney, Sidney Luxton (1897), Los elementos de la geometría de coordenadas , Londres: Macmillan and Company, Limited, pág.  365
• Wentworth, George Albert (1886), Elementos de geometría analítica , Ginn & Company, pág.  150