Puntos Brocard

En geometría , los puntos de Brocard son puntos especiales dentro de un triángulo . Reciben su nombre de Henri Brocard (1845-1922 ) , un matemático francés.

En un triángulo △ ABC con lados a, b, c , donde los vértices están etiquetados como A, B, C en sentido antihorario, hay exactamente un punto P tal que los segmentos de línea AP , BP , CP forman el mismo ángulo, ω , con los respectivos lados c, a, b , a saber que

$${\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\omega .\,}$$

El punto P se llama primer punto de Brocard del triángulo △ ABC , y el ángulo ω se llama ángulo de Brocard del triángulo. Este ángulo tiene la propiedad de que

$${\displaystyle \cot \omega =\cot \!{\bigl (}\angle CAB{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle ABC{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle BCA{\bigr )}.}$$

También hay un segundo punto de Brocard , Q , en el triángulo △ ABC tal que los segmentos de línea AQ , BQ , CQ forman ángulos iguales con lados b, c, a respectivamente. En otras palabras, las ecuaciones $${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$$ aplicar. Sorprendentemente, este segundo punto de Brocard tiene el mismo ángulo de Brocard que el primer punto de Brocard. En otras palabras, ángulo $${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$$ es lo mismo que $${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.}$$

Los dos puntos de Brocard están estrechamente relacionados entre sí; de hecho, la diferencia entre el primero y el segundo depende del orden en que se toman los ángulos del triángulo △ ABC . Así, por ejemplo, el primer punto de Brocard de △ ABC es el mismo que el segundo punto de Brocard de △ ACB .

Los dos puntos de Brocard de un triángulo △ ABC son conjugados isogonales entre sí.

La construcción más elegante de los puntos de Brocard es la siguiente. En el siguiente ejemplo se presenta el primer punto de Brocard, pero la construcción del segundo es muy similar.

Como en el diagrama anterior, trazamos una circunferencia que pase por los puntos A y B , tangente al lado BC del triángulo (el centro de esta circunferencia se encuentra en el punto donde la mediatriz de AB interseca la recta que pasa por B y es perpendicular a BC ). De forma simétrica, trazamos una circunferencia que pase por los puntos B y C , tangente al lado AC , y otra que pase por los puntos A y C , tangente al lado AB . Estas tres circunferencias tienen un punto en común, el primer punto de Brocard del triángulo ABC . Véase también Rectas tangentes a circunferencias .

Los tres círculos que acabamos de construir también se denominan epiciclos del triángulo ABC . El segundo punto de Brocard se construye de forma similar.

Las coordenadas trilineales homogéneas para el primer y segundo punto de Brocard son: $${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}P=&{\frac {c}{b}}&:&{\frac {a}{c}}&:&{\frac {b}{a}}\\Q=&{\frac {b}{c}}&:&{\frac {c}{a}}&:&{\frac {a}{b}}\end{array}}}$$ Por lo tanto, sus coordenadas baricéntricas son: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}P=&c^{2}a^{2}&:&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}\\Q=&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}&:&c^{2}a^{2}\end{array}}}$$

Los puntos de Brocard son un ejemplo de un par de puntos bicéntricos, pero no son centros de triángulos porque ninguno de los puntos de Brocard es invariante bajo transformaciones de semejanza : la reflexión de un triángulo escaleno, un caso especial de semejanza, convierte un punto de Brocard en el otro. Sin embargo, el par no ordenado formado por ambos puntos es invariante bajo semejanzas. El punto medio de los dos puntos de Brocard, llamado punto medio de Brocard , tiene coordenadas trilineales ^{[ 2 ].}

$${\displaystyle \sin(A+\omega ):\sin(B+\omega ):\sin(C+\omega )=a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2}),}$$ y es un centro de triángulo; es el centro X(39) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos . El tercer punto de Brocard , dado en coordenadas trilineales como ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle \csc(A-\omega ):\csc(B-\omega ):\csc(C-\omega )=a^{-3}:b^{-3}:c^{-3},}$$

es el punto medio de Brocard del triángulo anticomplementario . Es el centro X(76) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos . Además:

• El tercer punto de Brocard es el conjugado isotómico del punto simediano .
• El tercer punto de Brocard es el perspector del triángulo de Brocard y △ ABC .
• El tercer punto de Brocard se encuentra en el diámetro de la circunferencia circunscrita que une el punto de Steiner y el punto de Tarry .

La distancia entre los dos primeros puntos de Brocard P y Q es siempre menor o igual a la mitad del radio R de la circunferencia circunscrita del triángulo: ^{[ 1 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle {\overline {PQ}}=2R\sin \omega {\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}\leq {\frac {R}{2}}.}$$

El segmento comprendido entre los dos primeros puntos de Brocard es bisecado perpendicularmente en el punto medio de Brocard por la línea que une el circuncentro del triángulo con su punto simediano. Además, el circuncentro, el punto de Lemoine y los dos primeros puntos de Brocard son concíclicos ; todos se encuentran en la circunferencia de Brocard , cuyo segmento que une el circuncentro con el punto de Lemoine es un diámetro . ^{[ 1 ]} Las tangentes a la circunferencia de Brocard en los dos primeros puntos de Brocard coinciden en el conjugado isogonal del tercer punto de Brocard. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Los puntos de Brocard P y Q son equidistantes del circuncentro del triángulo O : ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\overline {PO}}={\overline {QO}}=R{\sqrt {{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}-1}}=R{\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}.}$$

Los triángulos pedales del primer y segundo punto de Brocard son congruentes entre sí y semejantes al triángulo original. ^{[ 4 ]}

Si las rectas AP, BP y CP , que pasan cada una por uno de los vértices de un triángulo y su primer punto de Brocard, intersecan la circunferencia circunscrita del triángulo en los puntos L, M y N , entonces el triángulo △ LMN es congruente con el triángulo original △ ABC . Lo mismo ocurre si el primer punto de Brocard ^P se reemplaza por el segundo punto de Brocard Q. ^{[ 4} ]

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