Complex quadratic polynomial

Since ${\displaystyle f_{c}(x)}$ is affineconjugate to the general form of the quadratic polynomial it is often used to study complex dynamics and to create images of Mandelbrot, Julia and Fatou sets.

When one wants change from ${\displaystyle \theta }$ to ${\displaystyle c}$:^[2]

${\displaystyle c=c(\theta )={\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\right).}$

When one wants change from ${\displaystyle r}$ to ${\displaystyle c}$, the parameter transformation is^[5]

${\displaystyle c=c(r)={\frac {1-(r-1)^{2}}{4}}=-{\frac {r}{2}}\left({\frac {r-2}{2}}\right)}$

and the transformation between the variables in ${\displaystyle z_{t+1}=z_{t}^{2}+c}$ and ${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t})}$ is

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

There is semi-conjugacy between the dyadic transformation (the doubling map) and the quadratic polynomial case of c = –2.

Aquí${\displaystyle f^{n}}$denota la n -ésima iteración de la función${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))}$

entonces

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Debido a la posible confusión con la exponenciación, algunos autores escriben${\displaystyle f^{\circ n}}$para la enésima iteración de${\displaystyle f}$.

La forma mónica y centrada${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$puede estar marcado por:

• El parámetro${\displaystyle c}$
• El ángulo externo${\displaystyle \theta }$del rayo que aterriza:
  • En c en el conjunto de Mandelbrot en el plano de parámetros
  • Sobre el valor crítico: z = c en el conjunto de Julia en el plano dinámico

entonces  :

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

Ejemplos:

• c es el punto de aterrizaje del rayo externo 1/6 del conjunto de Mandelbrot y es${\displaystyle z\to z^{2}+i}$(donde i^2=-1)
• c es el punto de aterrizaje del rayo externo 5/14 y es${\displaystyle z\to z^{2}+c}$con${\displaystyle c=-1.23922555538957+0.412602181602004*i}$

• 
  1/4
• 
  1/6
• 
  9/56
• 
  129/16256

La forma mónica y centrada, a veces llamada familia de polinomios cuadráticos de Douady-Hubbard , ^{[ 6 ]} se usa típicamente con variables${\displaystyle z}$y parámetro${\displaystyle c}$:

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

Cuando se utiliza como función de evolución del sistema dinámico no lineal discreto ,

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})}$

Se denomina aplicación cuadrática : ^{[ 7 ]}

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.}$

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores del parámetro c para los cuales la condición inicial z ₀ = 0 no provoca que las iteraciones diverjan al infinito.

Un valor crítico${\displaystyle z_{cv}}$de${\displaystyle f_{c}}$es la imagen de un punto crítico:

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})}$

Desde

${\displaystyle z_{cr}=0}$

tenemos

${\displaystyle z_{cv}=c}$

Entonces el parámetro${\displaystyle c}$es el valor crítico de${\displaystyle f_{c}(z)}$.

Una curva de nivel crítica es la curva de nivel que contiene el punto crítico. Actúa como una especie de esqueleto ^{[ 10 ]} del plano dinámico.

Ejemplo: las curvas de nivel se cruzan en un punto de silla , que es un tipo especial de punto crítico.

• 
  atractivo
• 
  atractivo
• 
  atractivo
• 
  parabólico
• Vídeo para c a lo largo del rayo interno 0

El conjunto límite crítico es el conjunto de órbitas directas de todos los puntos críticos.

La órbita directa de un punto crítico se denomina órbita crítica . Las órbitas críticas son muy importantes porque toda órbita periódica atractora atrae un punto crítico, por lo que estudiar las órbitas críticas nos ayuda a comprender la dinámica en el conjunto de Fatou . ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c}$

${\displaystyle \ \vdots }$

Esta órbita cae dentro de un ciclo periódico de atracción, si es que existe alguno.

El sector crítico es un sector del plano dinámico que contiene el punto crítico.

Un conjunto crítico es un conjunto de puntos críticos.

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)}$

entonces

${\displaystyle P_{0}(c)=0}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c}$

Estos polinomios se utilizan para:

• Encontrar los centros de estos componentes del conjunto de Mandelbrot de período n . Los centros son raíces de polinomios críticos de grado n .

${\displaystyle {\text{centers}}=\{c:P_{n}(c)=0\}}$

• encontrar raíces de componentes del conjunto de Mandelbrot de período n ( mínimo local de${\displaystyle P_{n}(c)}$)
• Puntos de Misiurewicz

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}}$

Los diagramas de polinomios críticos se denominan curvas críticas . ^{[ 14 ]}

Estas curvas crean el esqueleto (las líneas oscuras) de un diagrama de bifurcación . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Se puede utilizar el espacio de Julia-Mandelbrot de 4 dimensiones (4D) para un análisis global de este sistema dinámico. ^{[ 17 ]}

En este espacio existen dos tipos básicos de planos 2D:

• el plano dinámico (dinámico),${\displaystyle f_{c}}$-plano o plano c
• el plano de parámetros o plano z

También existe otro plano utilizado para analizar dichos sistemas dinámicos, el plano w :

• el plano de conjugación ^{[ 18 ]}
• avión modelo ^{[ 19 ]}

Plano de parámetros 2D

• Tipos de planos de parámetros
• 
  plano de parámetros r (mapa logístico)
• 
  plano de parámetros c

El espacio de fases de una aplicación cuadrática se denomina su plano de parámetros . Aquí:

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}}$es constante y${\displaystyle c}$es variable.

En el plano de parámetros no existen ni dinámicas ni órbitas. Sin embargo, sí existe un conjunto de valores para dichos parámetros.

El plano de parámetros consta de:

• El conjunto de Mandelbrot
  • El lugar geométrico de bifurcación = límite del conjunto de Mandelbrot con puntos raíz
  • Componentes hiperbólicas acotadas del conjunto de Mandelbrot = interior del conjunto de Mandelbrot ^{[ 20 ]} con rayos internos
• Exterior del conjunto de Mandelbrot con
  • rayos externos
  • Líneas equipotenciales

Además del conjunto mencionado anteriormente, existen muchos subtipos diferentes del plano de parámetros. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Véase también  :

• Mapa de Boettcher que mapea el exterior del conjunto de Mandelbrot al exterior del disco de la unidad
• Mapa multiplicador que mapea el interior del componente hiperbólico del conjunto de Mandelbrot al interior del disco unitario.

El plano complejo extendido más un punto en el infinito

• la esfera de Riemann

En el plano de parámetros:

• ${\displaystyle c}$es una variable
• ${\displaystyle z_{0}=0}$es constante

La primera derivada de${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$con respecto a c es

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Esta derivada se puede encontrar mediante iteración comenzando con

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

y luego reemplazando en cada paso consecutivo

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

Esto se puede verificar fácilmente utilizando la regla de la cadena para la derivada.

Esta derivada se utiliza en el método de estimación de distancias para dibujar un conjunto de Mandelbrot .

En el plano dinámico:

• ${\displaystyle z}$es una variable;
• ${\displaystyle c}$es una constante.

En un punto fijo${\displaystyle z_{0}}$,

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

En un punto periódico z ₀ de período p, la primera derivada de una función

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

a menudo se representa por${\displaystyle \lambda }$y se le conoce como el multiplicador o el número característico de Lyapunov. Su logaritmo se denomina exponente de Lyapunov. El valor absoluto del multiplicador se utiliza para comprobar la estabilidad de los puntos periódicos (también fijos) .

En un punto no periódico , la derivada, denotada por${\displaystyle z'_{n}}$, se puede encontrar mediante iteración comenzando con

${\displaystyle z'_{0}=1,}$

y luego usando

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}$

Esta derivada se utiliza para calcular la distancia externa al conjunto de Julia.

La derivada schwarziana (SD para abreviar) de f es: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$