Punto de Apolonio

En geometría euclidiana , el punto de Apolonio es un centro de triángulo designado como X (181) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos (ETC) de Clark Kimberling . Se define como el punto de concurrencia de los tres segmentos de línea que unen cada vértice del triángulo con los puntos de tangencia formados por la excírculo opuesta y un círculo mayor que es tangente a los tres excírculos .

En la literatura, el término " puntos de Apolonio " también se ha utilizado para referirse a los puntos isodinámicos de un triángulo. ^{[ 1 ]} Este uso también podría justificarse en el hecho de que los puntos isodinámicos están relacionados con los tres círculos apolíneos asociados a un triángulo.

La solución del problema de Apolonio se conoce desde hace siglos. Pero el punto de Apolonio se mencionó por primera vez en 1987. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El vértice de Apolonio de un triángulo se define de la siguiente manera.

Sea △ ABC un triángulo cualquiera. Sean E A , E B , E C las excircunferencias de _△ ABC _opuestas a los vértices A , B , _C respectivamente. Sea E la circunferencia que toca las tres excircunferencias E _A , E _B , E _C de manera que las tres excircunferencias estén dentro de E . Sean A', B', C' los puntos de tangencia de la circunferencia E con las tres excircunferencias. Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes . El punto de concurrencia es el punto de Apolonio de △ ABC .

El problema de Apolonio consiste en construir un círculo tangente a tres círculos dados en un plano. En general, existen ocho círculos tangentes a tres círculos dados. El círculo E mencionado en la definición anterior es uno de estos ocho círculos tangentes a los tres círculos externos del triángulo △ ABC . En la Enciclopedia de Centros de Triángulos, el círculo E se denomina círculo de Apolonio del triángulo △ ABC .

Las coordenadas trilineales del punto de Apolonio son ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+ca}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+ab}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+bc}}}$$$${\displaystyle =\sin ^{2}\!A\,\cos ^{2}\!{\frac {BC}{2}}:\sin ^{2}\!B\,\cos ^{2}\!{\frac {CA}{2}}:\sin ^{2}\!C\,\cos ^{2}\!{\frac {AB}{2}}.}$$