Bisección

• La mediatriz de un segmento de recta es una línea que interseca al segmento perpendicularmente en su punto medio .
• La mediatriz de un segmento de recta${\displaystyle AB}$también tiene la propiedad de que cada uno de sus puntos${\displaystyle X}$es equidistante de los extremos del segmento AB:

(D)${\displaystyle \quad |XA|=|XB|}$.

La demostración se deduce de${\displaystyle |MA|=|MB|}$y el teorema de Pitágoras :

${\displaystyle |XA|^{2}=|XM|^{2}+|MA|^{2}=|XM|^{2}+|MB|^{2}=|XB|^{2}\;.}$

La propiedad (D) se suele utilizar para la construcción de una mediatriz:

En geometría clásica, la bisección es una construcción sencilla con compás y regla , cuya posibilidad depende de la capacidad de trazar arcos de radios iguales y centros diferentes:

El segmento${\displaystyle AB}$se biseca dibujando círculos que se intersecan con radio igual${\displaystyle r>{\tfrac {1}{2}}|AB|}$cuyos centros son los extremos del segmento. La línea determinada por los puntos de intersección de los dos círculos es la mediatriz del segmento. Dado que la construcción de la mediatriz se realiza sin conocer el punto medio del segmento.${\displaystyle M}$La construcción se utiliza para determinar${\displaystyle M}$como la intersección de la bisectriz y el segmento de línea.

Esta construcción se utiliza de hecho al construir una línea perpendicular a una línea dada.${\displaystyle g}$en un punto determinado${\displaystyle P}$: dibujar un círculo cuyo centro es${\displaystyle P}$de tal manera que interseca la línea${\displaystyle g}$en dos puntos${\displaystyle A,B}$y la perpendicular que se va a construir es el segmento bisector${\displaystyle AB}$.

Si${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$son los vectores de posición de dos puntos${\displaystyle A,B}$, entonces su punto medio es${\displaystyle M:{\vec {m}}={\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}}$y vector${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}}$es un vector normal de la bisectriz del segmento de recta perpendicular. Por lo tanto, su ecuación vectorial es${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})=0}$. Insertando ${\displaystyle {\vec {m}}=\cdots }$y al expandir la ecuación se llega a la ecuación vectorial.

(V)${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

Con${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),B=(b_{1},b_{2})}$Se obtiene la ecuación en forma de coordenadas:

(DO)${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2})\;.}$

O explícitamente: (E)${\displaystyle \quad y=m(x-x_{0})+y_{0}}$, dónde${\displaystyle \;m=-{\tfrac {b_{1}-a_{1}}{b_{2}-a_{2}}}}$,${\displaystyle \;x_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})\;}$, y${\displaystyle \;y_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})\;}$.

Las bisectrices de segmentos de línea perpendiculares se utilizaron para resolver diversos problemas geométricos:

1. Construcción del centro de un círculo de Tales ,
2. Construcción del centro del círculo exterior de un triángulo,
3. Los límites de un diagrama de Voronoi están formados por segmentos de dichas líneas o planos.

• La mediatriz de un segmento de recta es un plano que interseca el segmento perpendicularmente en su punto medio .

Su ecuación vectorial es literalmente la misma que en el caso plano:

(V)${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

Con${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3}),B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$Se obtiene la ecuación en forma de coordenadas:

(C3)${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y+(a_{3}-b_{3})z={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}+a_{3}^{2}-b_{3}^{2})\;.}$

La propiedad (D) (véase arriba) también es literalmente cierta en el espacio: (D) El plano bisectriz perpendicular de un segmento${\displaystyle AB}$tiene por algún punto${\displaystyle X}$la propiedad:${\displaystyle \;|XA|=|XB|}$.

Las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes. ^{[ 3 ] : p.149}

Tres puntos de intersección, cada uno de ellos bisectrices de un ángulo externo con el lado opuesto extendido , son colineales (se encuentran en la misma línea). ^{[ 3 ] : p. 149}

Tres puntos de intersección, dos de ellos entre la bisectriz de un ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la otra bisectriz de un ángulo exterior y la prolongación del lado opuesto, son colineales. ^{[ 3 ] : p. 149}

Teorema de la bisectriz del ángulo

El teorema de la bisectriz de un ángulo se refiere a las longitudes relativas de los dos segmentos en que se divide un lado de un triángulo mediante una línea que biseca el ángulo opuesto. Este teorema iguala las longitudes relativas de estos segmentos a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo.

Las bisectrices de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo forman un cuadrilátero cíclico (es decir, los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de ángulos adyacentes son concíclicos ) ^{[ 8 ]} o son concurrentes . En este último caso, el cuadrilátero es un cuadrilátero tangente .

La tangente a una parábola en cualquier punto biseca el ángulo entre la línea que une el punto con el foco y la línea que va desde el punto y es perpendicular a la directriz.

Las dos bimedianas de un cuadrilátero convexo son los segmentos de recta que conectan los puntos medios de lados opuestos, bisecando cada una dos lados. Las dos bimedianas y el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales coinciden en un punto llamado "centroide del vértice" y todos son bisecados por este punto. ^{[ 10 ] : p.125}

Las cuatro "maltitudes" de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado que pasan por el punto medio del lado opuesto, bisecando así este último. Si el cuadrilátero es cíclico (está inscrito en un círculo), estas maltitudes coinciden en un punto común llamado "anticentro".

El teorema de Brahmagupta establece que si un cuadrilátero cíclico es ortodiagonal (es decir, tiene diagonales perpendiculares ), entonces la perpendicular a un lado desde el punto de intersección de las diagonales siempre biseca el lado opuesto.

La construcción mediante la mediatriz forma un cuadrilátero a partir de las mediatrices de los lados de otro cuadrilátero.

Hay una infinidad de líneas que bisecan el área de un triángulo . Tres de ellas son las medianas del triángulo (que conectan los puntos medios de los lados con los vértices opuestos), y estas son concurrentes en el centroide del triángulo ; de hecho, son las únicas bisectrices del área que pasan por el centroide. Otras tres bisectrices del área son paralelas a los lados del triángulo; cada una de ellas interseca a los otros dos lados de manera que los divide en segmentos con las proporciones${\displaystyle {\sqrt {2}}+1:1}$. ^{[ 11 ]} Estas seis líneas son concurrentes de tres en tres: además de que las tres medianas son concurrentes, cualquier mediana es concurrente con dos de las bisectrices de área paralelas a los lados.

La envolvente de la infinitud de bisectrices de área es un deltoide (definido en términos generales como una figura con tres vértices conectados por curvas cóncavas hacia el exterior del deltoide, lo que hace que los puntos interiores sean un conjunto no convexo). ^{[ 11 ]} Los vértices del deltoide se encuentran en los puntos medios de las medianas; todos los puntos dentro del deltoide están sobre tres bisectrices de área diferentes, mientras que todos los puntos fuera de él están sobre una sola. Los lados del deltoide son arcos de hipérbolas que son asintóticos a los lados extendidos del triángulo. ^{[ 11 ]} La razón entre el área de la envolvente de las bisectrices de área y el área del triángulo es invariante para todos los triángulos, y es igual a${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$es decir, 0,019860... o menos del 2%.

Un segmento de recta que divide un triángulo es un segmento que biseca su perímetro y cuyo extremo se encuentra en el punto medio de uno de sus tres lados. Los tres segmentos coinciden (todos pasan por) el centro del círculo de Spieker , que es la circunferencia inscrita en el triángulo medial . Los segmentos son paralelos a las bisectrices de los ángulos.

Un segmento divisor de un triángulo es un segmento de recta que tiene uno de sus extremos en uno de los tres vértices del triángulo y que biseca su perímetro. Los tres segmentos divisores coinciden en el vértice de Nagel del triángulo.

Cualquier recta que atraviese un triángulo y divida tanto su área como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su circunferencia inscrita ). Hay uno, dos o tres de estos incentros para cualquier triángulo dado. Una recta que pasa por el incentro biseca el área o el perímetro si y solo si también biseca el otro. ^{[ 12 ]}

Cualquier línea que pase por el punto medio de un paralelogramo biseca el área ^{[ 11 ]} y el perímetro.

Todas las bisectrices del área y del perímetro de un círculo u otra elipse pasan por el centro , y cualquier cuerda que pase por el centro biseca el área y el perímetro. En el caso de un círculo, son sus diámetros .

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

Si un segmento de línea que conecta las diagonales de un cuadrilátero biseca ambas diagonales, entonces este segmento de línea (la línea de Newton ) está a su vez bisecado por el centroide del vértice.