Triángulo entero

Cualquier terna de enteros positivos puede servir como longitudes de los lados de un triángulo entero siempre que satisfaga la desigualdad triangular : el lado más largo es más corto que la suma de los otros dos lados. Cada terna de este tipo define un triángulo entero que es único salvo congruencia . Por lo tanto, el número de triángulos enteros (salvo congruencia) con perímetro p es el número de particiones de p en tres partes positivas que satisfacen la desigualdad triangular. Este es el entero más cercano a${\displaystyle p^{2}/48}$cuando p es par y a${\displaystyle (p+3)^{2}/48}$cuando p es impar . ^{[ 3 ] [ 4 ]} También significa que el número de triángulos enteros con perímetros pares${\displaystyle p=2n}$es lo mismo que el número de triángulos enteros con perímetros impares.${\displaystyle p=2n-3.}$ Por lo tanto, no hay ningún triángulo entero con perímetro 1, 2 o 4, uno con perímetro 3, 5, 6 u 8, y dos con perímetro 7 o 10. La secuencia del número de triángulos enteros con perímetro p , comenzando en${\displaystyle p=1,}$es:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (secuencia A005044 en el OEIS )

Esto se conoce como la secuencia de Alcuino .

El número de triángulos enteros (salvo congruencia) con lado máximo c dado y triple entero${\displaystyle (a,b,c)}$es el número de tríos enteros tales que${\displaystyle a+b>c}$y${\displaystyle a\leq b\leq c.}$Este es el valor entero${\displaystyle \lceil {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rceil \cdot \lfloor {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rfloor .}$^{[ 3 ]} Alternativamente, paracpar es elnúmero triangular${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}c+1{\bigr )}}$y para c impar es el cuadrado${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(c+1)^{2}.}$También significa que el número de triángulos enteros con el lado mayor c supera al número de triángulos enteros con el lado mayor c − 2 en c . La secuencia del número de triángulos enteros no congruentes con el lado mayor c , comenzando en c  = 1, es:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (secuencia A002620 en el OEIS )

El número de triángulos enteros (salvo congruencia) con un lado mayor dado c y una terna entera ( a , b , c ) que se encuentran sobre o dentro de un semicírculo de diámetro c es el número de ternas enteras tales que a + b > c , a² + b² ≤ ^c² y a ≤ b ≤ c . Este es también el número de triángulos obtusos o rectángulos (no agudos ) de lados enteros con el lado mayor ^c . La secuencia que comienza en ^c = 1 es:                 

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (secuencia A236384 en el OEIS )

En consecuencia, la diferencia entre las dos secuencias anteriores da el número de triángulos acutángulos de lados enteros (salvo congruencia) con un lado máximo c dado . La secuencia que comienza en c  =  1 es:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (secuencia A247588 en el OEIS )

Según la fórmula de Herón , si T es el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes a , b y c, entonces

${\displaystyle 4T={\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)}}.}$

Dado que todos los términos bajo el radical en el lado derecho de la fórmula son enteros, se deduce que todos los triángulos enteros deben tener 16T ² un entero y T ² será racional.

Según la ley de los cosenos , cada ángulo de un triángulo entero tiene un coseno racional . Cada ángulo de un triángulo rectángulo entero también tiene un seno racional (véase la terna pitagórica ).

Si los ángulos de cualquier triángulo forman una progresión aritmética , entonces uno de sus ángulos debe ser de 60°. ^{[ 5 ]} Para triángulos enteros, los ángulos restantes también deben tener cosenos racionales y a continuación se presenta un método para generar dichos triángulos. Sin embargo, aparte del caso trivial de un triángulo equilátero, no existen triángulos enteros cuyos ángulos formen una progresión geométrica o armónica . Esto se debe a que dichos ángulos deben ser ángulos racionales de la forma${\displaystyle \pi p/q}$con racionalidad${\displaystyle 0<p/q<1.}$Pero todos los ángulos de los triángulos enteros deben tener cosenos racionales y esto ocurrirá solo cuando${\displaystyle p/q=1/3.}$^{[ 6 ] : p.2}es decir, el triángulo entero es equilátero.

El cuadrado de cada bisectriz de ángulo interno de un triángulo entero es racional, porque la fórmula general del triángulo para la bisectriz del ángulo interno A es${\textstyle 2{\sqrt {bcs(sa)}}{\big /}(b+c)}$donde s es el semiperímetro (y lo mismo ocurre con las bisectrices de los demás ángulos).

Cualquier altura que se deje caer desde un vértice hacia un lado opuesto o su extensión dividirá ese lado o su extensión en longitudes racionales.

El cuadrado del doble de cualquier mediana de un triángulo entero es un número entero, porque la fórmula general para la mediana al cuadrado m _a ² al lado a es${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}$, lo que da (2 m _a ) ²  =  2 b ²  +  2 c ²  − a ² (y de forma similar para las medianas a los otros lados). 

Debido a que el cuadrado del área de un triángulo entero es racional, el cuadrado de su radio circunscrito también es racional, al igual que el cuadrado del radio inscrito .

La razón entre el radio inscrito y el radio circunscrito de un triángulo entero es racional, igual a${\displaystyle 4T^{2}/sabc}$para el semiperímetro s y el área T.

El producto del radio inscrito y el radio circunscrito de un triángulo entero es racional, igual a${\displaystyle abc{\big /}2(a+b+c).}$

Así, la distancia al cuadrado entre el incentro y el circuncentro de un triángulo entero, dada por el teorema de Euler como${\displaystyle R^{2}-2Rr}$es racional.

Cada triángulo heroniano tiene lados proporcionales a ^{[ 8 ].}

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperímetro}}=mn(m+n)}$

${\displaystyle {\text{Área}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

para los enteros m , n y k sujetos a las restricciones:

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1.}$

El factor de proporcionalidad es generalmente un factor racional.${\displaystyle p/q}$donde q = mcd ( a , b , c ) reduce el triángulo heroniano generado a su primitivo y${\displaystyle p}$escala esta primitiva al tamaño requerido.

Un triángulo pitagórico es rectángulo y heroniano. Sus tres lados enteros se conocen como una terna pitagórica o triplete pitagórico o tríada pitagórica . ^{[ 9 ]} Todas las ternas pitagóricas${\displaystyle (a,b,c)}$con hipotenusa${\displaystyle c}$que son primitivos (los lados no tienen factor común ) pueden ser generados por

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\,}$

${\displaystyle b=2mn,\,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2},\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperímetro}}=m(m+n)\,}$

${\displaystyle {\text{Área}}=mn(m^{2}-n^{2})\,}$

donde m y n son enteros coprimos y uno de ellos es par con m  > n . 

Todo número par mayor que 2 puede ser el cateto de un triángulo pitagórico (no necesariamente primitivo) porque si el cateto está dado por${\displaystyle a=2m}$y elegimos${\displaystyle b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1}$como la otra pierna entonces la hipotenusa es${\displaystyle c=m^{2}+1}$. ^{[ 10 ]} Esta es esencialmente la fórmula de generación anterior con${\displaystyle n}$establecido en 1 y permitiendo${\displaystyle m}$para abarcar desde 2 hasta el infinito.

Un triángulo con lados enteros y área entera tiene lados en progresión aritmética si y solo si ^{[ 13 ]} los lados son ( b – d , b , b + d ), donde

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g,}$

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g,}$

y donde g es el máximo común divisor de${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$${\displaystyle 2mn,}$y${\displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

Todos los triángulos heronianos con B = 2 A se generan mediante ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2},\\[5mu]b&={\tfrac {1}{2}}k^{2}(s^{4}-r^{4}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}k^{2}csr(s^{2}-r^{2}),\end{aligned}}}$

con enteros k , s , r tales que${\displaystyle s^{2}>3r^{2},}$o

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2},\\[5mu]b&=q^{2}uv(u^{2}+v^{2}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}q^{2}cuv(v^{2}-u^{2}),\end{aligned}}}$

con enteros q , u , v tales que${\displaystyle v>u}$y${\displaystyle v^{2}<(7+4{\sqrt {3}})u^{2}.}$

Ningún triángulo heroniano con B = 2 A es isósceles o triángulo rectángulo porque todas las combinaciones de ángulos resultantes generan ángulos con senos no racionales , lo que da como resultado un área o lado no racional.

Todos los triángulos de Herón isósceles son descomponibles. Se forman uniendo dos triángulos pitagóricos congruentes a lo largo de cualquiera de sus catetos comunes, de manera que los lados iguales del triángulo isósceles sean las hipotenusas de los triángulos pitagóricos, y la base del triángulo isósceles sea el doble del otro cateto pitagórico. En consecuencia, todo triángulo pitagórico es el elemento básico para dos triángulos de Herón isósceles, ya que la unión puede realizarse a lo largo de cualquiera de los catetos. Todos los pares de triángulos de Herón isósceles se dan por múltiplos racionales de las siguientes longitudes de lado: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2(u^{2}-v^{2}),&\quad \quad a&=4uv,\\b&=u^{2}+v^{2},&\quad \quad b&=u^{2}+v^{2},\\c&=u^{2}+v^{2},&\quad \quad c&=u^{2}+v^{2},\\{\text{Area}}&=2uv(u^{2}-v^{2}),\end{aligned}}}$

para enteros coprimos de paridad opuesta${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$, con${\displaystyle u>v}$.

Se ha demostrado que un triángulo heroniano cuyo perímetro es cuatro veces un número primo está asociado de forma única con el número primo y que el número primo es congruente con${\displaystyle 1}$o${\displaystyle 3}$módulo${\displaystyle 8}$. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Es bien sabido que tal primo${\displaystyle p}$puede particionarse de forma única en números enteros${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$(véase los números idoneales de Euler ). Además, se ha demostrado que tales triángulos heronianos son primitivos, ya que el lado más pequeño del triángulo debe ser igual al primo que es un cuarto de su perímetro.

En consecuencia, todos los triángulos heronianos primitivos cuyo perímetro es cuatro veces un número primo pueden generarse mediante

${\displaystyle a=m^{2}+2n^{2}}$

${\displaystyle b=m^{2}+4n^{2}}$

${\displaystyle c=2(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})}$

para números enteros${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle m^{2}+2n^{2}}$es un número primo.

Además, la factorización del área es${\displaystyle 2mnp}$dónde${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$es primo. Sin embargo, el área de un triángulo heroniano siempre es divisible por${\displaystyle 6}$. Esto da como resultado que aparte de cuando${\displaystyle m=1}$y${\displaystyle n=1,}$lo cual da${\displaystyle p=3,}$todos los demás emparejamientos de${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$debe tener${\displaystyle m}$impar con solo uno de ellos divisible por${\displaystyle 3}$.

Si en un triángulo heroniano la bisectriz del ángulo${\displaystyle w_{a}}$del ángulo${\displaystyle \alpha }$, la bisectriz del ángulo${\displaystyle w_{b}}$del ángulo${\displaystyle \beta }$y la bisectriz del ángulo${\displaystyle w_{c}}$del ángulo${\displaystyle \gamma }$tener una relación racional con las tres partes entonces no solo${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$pero también${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$,${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$y${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$deben ser ángulos heronianos . Es decir, si ambos ángulos${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$y${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$son heronianos entonces${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$, el complemento de${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta }$, también debe ser un ángulo heroniano, de modo que las tres bisectrices de ángulos sean racionales. Esto también es evidente si se multiplica:

${\displaystyle w_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)}}\cdot {\sqrt {bc}}}{b+c}}\quad w_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-b)}}\cdot {\sqrt {ac}}}{a+c}}\quad w_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-c)}}\cdot {\sqrt {ab}}}{a+b}}}$

juntos. Es decir, mediante esto se obtiene:

${\displaystyle w_{a}\cdot w_{b}\cdot w_{c}={\frac {8s\cdot J\cdot a\cdot b\cdot c}{(a+b)(a+c)(b+c)}},}$

dónde${\displaystyle s}$denota el semiperímetro y${\displaystyle J}$el área del triángulo.

Todas las clases de semejanza de triángulos heronianos con bisectrices de ángulos racionales son generadas por ^{[ 18 ].}

${\displaystyle a=mn(p^{2}+q^{2})}$

${\displaystyle b=pq(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle c=(mq+np)(mp-nq)}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mp(mq+np)}$

${\displaystyle s-a=mq(mp-nq)}$

${\displaystyle s-b=np(mp-nq)}$

${\displaystyle s-c=nq(mq+np)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=J=mnpq(mq+np)(mp-nq)}$

dónde${\displaystyle m,n,p,q}$son tales que

${\displaystyle m=t^{2}-u^{2}}$

${\displaystyle n=2tu}$

${\displaystyle p=v^{2}-w^{2}}$

${\displaystyle q=2vw}$

dónde${\displaystyle t,u,v,w}$son enteros arbitrarios tales que

${\displaystyle t}$y${\displaystyle u}$coprimo,

${\displaystyle v}$y${\displaystyle w}$coprimo.

Hay infinitos triángulos heronianos primitivos (no pitagóricos) descomponibles e infinitos indescomponibles con radios enteros para el círculo inscrito y cada círculo exscrito . ^{[ 19 ] : Teoremas 3 y 4} Una familia de triángulos descomponibles viene dada por

${\displaystyle a=4n^{2}}$

${\displaystyle b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1)}$

${\displaystyle c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1)}$

${\displaystyle r=2n-1}$

${\displaystyle r_{a}=2n+1}$

${\displaystyle r_{b}=2n^{2}}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);}$

y una familia de elementos indescomponibles viene dada por

${\displaystyle a=5(5n^{2}+n-1)}$

${\displaystyle b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1)}$

${\displaystyle c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2)}$

${\displaystyle r=5n-2}$

${\displaystyle r_{a}=5n+3}$

${\displaystyle r_{b}=5n^{2}+n-1}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).}$

Existen tetraedros con volumen entero y triángulos de Herón como caras . Un ejemplo tiene una arista de 896, la opuesta de 190 y las otras cuatro de 1073; dos caras tienen áreas de 436800 y las otras dos de 47120, mientras que el volumen es de 62092800. ^{[ 9 ] : p.107}

Una red bidimensional es una disposición regular de puntos aislados donde, si se elige un punto cualquiera como origen cartesiano (0, 0), entonces todos los demás puntos se encuentran en ( x, y ), donde x e y abarcan todos los enteros positivos y negativos. Un triángulo reticular es cualquier triángulo dibujado dentro de una red bidimensional de manera que todos sus vértices se encuentren sobre puntos de la red. Según el teorema de Pick , un triángulo reticular tiene un área racional que es un entero o un semientero (con denominador 2). Si el triángulo reticular tiene lados enteros, entonces es heroniano con área entera. ^{[ 20 ]}

Además, se ha demostrado que todos los triángulos heronianos pueden dibujarse como triángulos reticulados. ^{[ 21 ] [ 22 ]} En consecuencia, un triángulo entero es heroniano si y solo si puede dibujarse como un triángulo reticulado.

Existen infinitos triángulos heronianos primitivos (no pitagóricos) que pueden colocarse en una red entera con todos los vértices, el incentro y los tres excentros en puntos de la red. Dos familias de dichos triángulos son las que tienen parametrizaciones dadas anteriormente en #Triángulos heronianos con inradius y exradii enteros . ^{[ 19 ] : Teorema 5}

Una familia de triángulos con lados enteros${\displaystyle a,b,c}$y con bisectriz racional${\displaystyle d}$El ángulo A viene dado por ^{[ 24 ]}

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2}),}$

${\displaystyle b=(k-m)^{2},}$

${\displaystyle c=(k+m)^{2},}$

${\displaystyle d={\frac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},}$

con números enteros${\displaystyle k>m>0}$.

Existen infinitos triángulos no semejantes en los que los tres lados y las bisectrices de cada uno de los tres ángulos son números enteros. ^{[ 25 ]}

Existen infinitos triángulos no semejantes en los que los tres lados y las dos trisectrices de cada uno de los tres ángulos son enteros. ^{[ 25 ]}

Sin embargo, para n > 3 no existen triángulos en los que los tres lados y los ( n  – 1) n- sectores de cada uno de los tres ángulos sean enteros. ^{[ 25 ]}

Los triángulos enteros con un ángulo en el vértice A que tienen un coseno racional dado h / k ( h < 0 o > 0; k > 0) vienen dados por ^{[ 26 ].}

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle c=2qk(p-qh),}$

donde p y q son cualesquiera enteros positivos coprimos tales que p > qk . Todas las soluciones primitivas se pueden obtener dividiendo a , b y c por su máximo común divisor.

Para enteros coprimos positivos h y k , el triángulo con los siguientes lados tiene ángulos${\displaystyle h\alpha }$,${\displaystyle k\alpha }$, y${\displaystyle \pi -(h+k)\alpha }$y por lo tanto dos ángulos en la razón h  : k , y sus lados son enteros: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

dónde${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\!{\frac {p}{q}}}$y p y q son cualesquiera enteros coprimos tales que${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1}$.

El único triángulo entero con tres ángulos racionales (números racionales de grados, o fracciones racionales equivalentes de una vuelta completa) es el triángulo equilátero . ^{[ 2 ]} Esto se debe a que los lados enteros implican tres cosenos racionales por la ley de los cosenos , y por el teorema de Niven , un coseno racional coincide con un ángulo racional si y solo si el coseno es igual a 0, ±1/2 o ±1. Los únicos de estos que dan un ángulo estrictamente entre 0° y 180° son el valor del coseno 1/2 con el ángulo de 60°, el valor del coseno –1/2 con el ángulo de 120° y el valor del coseno 0 con el ángulo de 90°. La única combinación de tres de estos, que permite el uso múltiple de cualquiera de ellos y suma 180°, son tres ángulos de 60°.