Semiperímetro

En cualquier triángulo, cualquier vértice y el punto donde la excircunferencia opuesta toca el triángulo dividen el perímetro del triángulo en dos longitudes iguales, creando así dos caminos, cada uno de los cuales tiene una longitud igual al semiperímetro. Si A, B, B', C' son como se muestra en la figura, entonces los segmentos que conectan un vértice con la tangencia de la excircunferencia opuesta ( AA' , BB' , CC' , mostrados en rojo en el diagrama) se conocen como divisores , y

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|\\&=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.\end{aligned}}}$

Los tres divisores coinciden en el punto Nagel del triángulo.

Un segmento de recta que divide un triángulo es aquel que biseca su perímetro y cuyo extremo se encuentra en el punto medio de uno de sus tres lados. Por lo tanto, este segmento, al igual que cualquier divisor, divide el triángulo en dos caminos, cada uno de los cuales tiene una longitud igual al semiperímetro. Los tres segmentos coinciden en el centro del círculo de Spieker , que es la circunferencia inscrita en el triángulo medial ; el centro de Spieker es el centro de masa de todos los puntos situados en las aristas del triángulo.

Una línea que pasa por el incentro del triángulo biseca el perímetro si y solo si también biseca el área.

El semiperímetro de un triángulo es igual al perímetro de su triángulo medial .

Según la desigualdad triangular , la longitud del lado más largo de un triángulo es menor que su semiperímetro.

El área A de cualquier triángulo es el producto de su radio de circunferencia inscrita (el radio de la circunferencia inscrita en él) y su semiperímetro:

${\displaystyle A=rs.}$

El área de un triángulo también se puede calcular a partir de su semiperímetro y las longitudes de sus lados a, b, c utilizando la fórmula de Herón :

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(sa\right)\left(sb\right)\left(sc\right)}}.}$

El radio de la circunferencia circunscrita R de un triángulo también se puede calcular a partir del semiperímetro y las longitudes de los lados:

${\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}}.}$

Esta fórmula se puede derivar de la ley de los senos .

El radio interno es

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}}.}$

La ley de las cotangentes proporciona las cotangentes de los semiángulos en los vértices de un triángulo en función del semiperímetro, los lados y el radio de la circunferencia inscrita.

La longitud de la bisectriz interna del ángulo opuesto al lado de longitud a es ^{[ 1 ]}

${\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}}.}$

En un triángulo rectángulo , el radio de la excircunferencia sobre la hipotenusa es igual al semiperímetro. El semiperímetro es la suma del radio de la circunferencia inscrita y el doble del radio de la circunferencia circunscrita. El área del triángulo rectángulo es${\displaystyle (sa)(sb)}$donde a y b son las piernas.

La fórmula para el semiperímetro de un cuadrilátero con lados de longitudes a, b, c, d es

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Una de las fórmulas de área de triángulo que involucra el semiperímetro también se aplica a los cuadriláteros tangenciales , que tienen un círculo inscrito y en los que (según el teorema de Pitot ) pares de lados opuestos tienen longitudes que suman el semiperímetro ; es decir, el área es el producto del radio inscrito y el semiperímetro:

${\displaystyle K=rs.}$

La forma más simple de la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico tiene una forma similar a la de la fórmula de Herón para el área de un triángulo:

${\displaystyle K={\sqrt {\left(sa\right)\left(sb\right)\left(sc\right)\left(sd\right)}}.}$

La fórmula de Bretschneider generaliza esto a todos los cuadriláteros convexos :

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},}$

en la que α y γ son dos ángulos opuestos.

Los cuatro lados de un cuadrilátero bicéntrico son las cuatro soluciones de una ecuación cuártica parametrizada por el semiperímetro, el radio inscrito y el radio circunscrito .

El área de un polígono regular convexo es el producto de su semiperímetro y su apotema .