Apotema

La apotema (a veces abreviada como apo ^[1] ) de un polígono regular es un segmento de línea desde el centro hasta el punto medio de uno de sus lados. Equivalentemente, es la línea trazada desde el centro del polígono que es perpendicular a uno de sus lados. La palabra "apotema" también puede referirse a la longitud de ese segmento de línea y proviene del griego antiguo ἀπόθεμα ("guardar, dejar de lado"), hecho de ἀπό ("fuera, lejos") y θέμα ("lo que está tendido"), lo que indica una línea genérica escrita. ^[2] Los polígonos regulares son los únicos polígonos que tienen apotemas. Debido a esto, todas las apotemas en un polígono serán congruentes .

La apotema a se puede utilizar para encontrar el área de cualquier polígono regular de n lados con longitud de lado s de acuerdo con la siguiente fórmula, que también establece que el área es igual a la apotema multiplicada por la mitad del perímetro ya que ns  =  p .

${\displaystyle A={\frac {nsa}{2}}={\frac {pa}{2}}.}$

Esta fórmula se puede obtener dividiendo el polígono de n lados en n triángulos isósceles congruentes y luego notando que la apotema es la altura de cada triángulo y que el área de un triángulo es igual a la mitad de la base por la altura. Las siguientes formulaciones son todas equivalentes:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot {\frac { \pi }{n}}=na^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}}$

La apotema de un polígono regular siempre será el radio del círculo inscrito . También es la distancia mínima entre cualquier lado del polígono y su centro.

Esta propiedad también se puede utilizar para derivar fácilmente la fórmula para el área de un círculo, porque a medida que el número de lados se acerca al infinito, el área del polígono regular se aproxima al área del círculo inscrito de radio r  =  a .

${\displaystyle A={\frac {pa}{2}}={\frac {(2\pi r)r}{2}}=\pi r^{2}}$

La apotema de un polígono regular se puede encontrar de múltiples maneras.

La apotema a de un polígono regular de n lados con longitud de lado s , o circunradio R , se puede encontrar utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle a={\frac {s}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}.}$

La apotema también se puede encontrar por

${\displaystyle a={\frac {s}{2}}\tan {\frac {\pi(n-2)}{2n}}.}$

Estas fórmulas se pueden seguir utilizando incluso si solo se conocen el perímetro p y el número de lados n porque s  =  ⁠pag/norte⁠ .

• Cuerda (trigonometría)
• Circunradio de un polígono regular
• Sagitta (geometría)
• Altura de inclinación

• Apotema de un polígono regular Con animación interactiva
• Apotema de pirámide o pirámide truncada Archivado 2021-04-21 en Wayback Machine.
• Pegg, Ed Jr. "Sagita, apotema y acorde". El proyecto de demostraciones de Wolfram .