Angulos internos y externos

En geometría , un ángulo de un polígono está formado por dos lados adyacentes . En el caso de un polígono simple (que no se interseca consigo mismo), independientemente de que sea convexo o no convexo , este ángulo se denomina ángulo interno (o ángulo interior) si un punto dentro del ángulo está en el interior del polígono. Un polígono tiene exactamente un ángulo interno por vértice .

Si cada ángulo interno de un polígono simple es menor que un ángulo recto ( π radianes o 180°), entonces el polígono se llama convexo .

Por el contrario, un ángulo externo (también llamado ángulo de giro o ángulo exterior) es un ángulo formado por un lado de un polígono simple y una línea extendida desde un lado adyacente . ^{[1] : pp. 261–264}

• La suma del ángulo interno y el ángulo externo en el mismo vértice es π radianes (180°).
• La suma de todos los ángulos internos de un polígono simple es π( n −2) radianes o 180( n –2) grados, donde n es el número de lados. La fórmula se puede demostrar mediante inducción matemática : comenzando con un triángulo, para el cual la suma de los ángulos es 180°, luego reemplazando un lado con dos lados conectados en otro vértice, y así sucesivamente.
• La suma de los ángulos externos de cualquier polígono simple, si sólo se supone uno de los dos ángulos externos en cada vértice, es 2π radianes (360°).
• La medida del ángulo exterior en un vértice no se ve afectada por el lado que se extiende: los dos ángulos exteriores que se pueden formar en un vértice al extender alternativamente un lado o el otro son ángulos verticales y, por lo tanto, son iguales.

El concepto de ángulo interior se puede extender de manera consistente a polígonos cruzados , como los polígonos estrellados , utilizando el concepto de ángulos dirigidos. En general, la suma de los ángulos interiores en grados de cualquier polígono cerrado, incluidos los cruzados (autointersecantes), viene dada por 180( n –2 k )°, donde n es el número de vértices y el entero estrictamente positivo k es el número de revoluciones totales (360°) que uno experimenta al caminar alrededor del perímetro del polígono. En otras palabras, la suma de todos los ángulos exteriores es 2π k radianes o 360 k grados. Ejemplo: para polígonos convexos ordinarios y polígonos cóncavos , k = 1, ya que la suma de los ángulos exteriores es 360° y uno experimenta solo una revolución completa al caminar alrededor del perímetro.

• Ángulos internos de un triángulo
• Suma de ángulos interiores de polígonos: una fórmula general: proporciona una actividad interactiva de Java que extiende la fórmula de suma de ángulos interiores para polígonos cerrados simples para incluir polígonos cruzados (complejos).