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cónicas de Kiepert

En geometría triangular , las cónicas de Kiepert son dos cónicas especiales asociadas al triángulo de referencia. Una de ellas es una hipérbola , llamada hipérbola de Kiepert , ...

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En geometría triangular , las cónicas de Kiepert son dos cónicas especiales asociadas al triángulo de referencia. Una de ellas es una hipérbola , llamada hipérbola de Kiepert , y la otra es una parábola , llamada parábola de Kiepert . Las cónicas de Kiepert se definen de la siguiente manera:

Si los tres triángulosA′Bdo{\displaystyle A^{\prime }BC},AB′do{\displaystyle AB^{\prime }C}yABdo′{\displaystyle ABC^{\prime }}, construido sobre los lados de un triánguloABdo{\displaystyle ABC}como bases, son semejantes, isósceles y situados de manera similar, entonces los triángulosABdo{\displaystyle ABC}yA′B′do′{\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}están en perspectiva . A medida que el ángulo base de los triángulos isósceles varía entre−π/2{\displaystyle -\pi /2}yπ/2{\displaystyle \pi /2}, el lugar geométrico del centro de perspectiva de los triángulosABdo{\displaystyle ABC}y A′B′do′{\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}es una hipérbola llamada hipérbola de Kiepert y la envolvente de su eje de perspectiva es una parábola llamada parábola de Kiepert.

Se ha demostrado que la hipérbola de Kiepert es la hipérbola que pasa por los vértices, el centroide y el ortocentro del triángulo de referencia, y la parábola de Kiepert es la parábola inscrita en el triángulo de referencia que tiene la recta de Euler como directriz y el centro del triángulo X 110 como foco . [ 1 ] La siguiente cita de un artículo de RH Eddy y R. Fritsch es suficiente testimonio para establecer la importancia de las cónicas de Kiepert en el estudio de la geometría del triángulo: [ 2 ]

Si un visitante de Marte deseara aprender la geometría del triángulo, pero solo pudiera permanecer en la atmósfera relativamente densa de la Tierra el tiempo suficiente para una sola lección, sin duda, a los matemáticos terrestres les resultaría muy difícil satisfacer esta petición. En este artículo, creemos tener una solución óptima al problema: las cónicas de Kiepert...

hipérbola de Kiepert

La hipérbola de Kiepert fue descubierta por Ludvig Kiepert mientras investigaba la solución del siguiente problema propuesto por Emile Lemoine en 1868: «Construir un triángulo, dados los vértices de los triángulos equiláteros construidos sobre sus lados». Ludvig Kiepert publicó una solución al problema en 1869, la cual contenía una observación que, en efecto, establecía la definición de lugar geométrico de la hipérbola de Kiepert a la que se había aludido anteriormente. [ 2 ]

Datos básicos

Dejara,b,do{\displaystyle a,b,c}sean las longitudes de los lados yA,B,do{\displaystyle A,B,C}los ángulos del vértice del triángulo de referenciaABdo{\displaystyle ABC}.

Ecuación

La ecuación de la hipérbola de Kiepert en coordenadas baricéntricasincógnita:y:z{\displaystyle x:y:z}es

b2−do2incógnita+do2−a2y+a2−b2z=0.{\displaystyle {\frac {b^{2}-c^{2}}{x}}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{y}}+{\frac {a^{2}-b^{2}}{z}}=0.}

Centro, asíntotas

  • El centro de la hipérbola de Kiepert es el centro del triángulo X(115). Las coordenadas baricéntricas del centro son
(b2−do2)2:(do2−a2)2:(a2−b2)2{\displaystyle (b^{2}-c^{2})^{2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2}}.

Propiedades

  1. El centro de la hipérbola de Kiepert se encuentra en el círculo de nueve puntos . El centro es el punto medio del segmento de línea que une los centros isogónicos del triángulo.ABdo{\displaystyle ABC}que son los centros de los triángulos X(13) y X(14) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos .
  2. La imagen de la hipérbola de Kiepert bajo la transformación isogonal es el eje de Brocard del triánguloABdo{\displaystyle ABC}que es la línea que une el punto simediano y el circuncentro .
  3. DejarPAG{\displaystyle P}ser un punto en el plano de un triángulo no equiláteroABdo{\displaystyle ABC}y dejarpag{\displaystyle p}sea ​​el polar trilineal dePAG{\displaystyle P}con respecto aABdo{\displaystyle ABC}. El lugar geométrico de los puntosPAG{\displaystyle P}de tal manera quepag{\displaystyle p}es perpendicular a la línea de Euler deABdo{\displaystyle ABC}es la hipérbola de Kiepert.

parábola de Kiepert

La parábola de Kiepert fue estudiada por primera vez en 1888 por un profesor de matemáticas alemán, Augustus Artzt, en un "programa escolar". [ 2 ] [ 3 ]

Datos básicos

  • La ecuación de la parábola de Kiepert en coordenadas baricéntricasincógnita:y:z{\displaystyle x:y:z}es
F2incógnita2+gramo2y2+h2z2−2Fgramoincógnitay−2gramohyz−2hFzincógnita=0{\displaystyle f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-2fgxy-2ghyz-2hfzx=0} dóndeF=(b2−do2)/a,gramo=(do2−a2)/b,h=(a2−b2)/do{\displaystyle f=(b^{2}-c^{2})/a,g=(c^{2}-a^{2})/b,h=(a^{2}-b^{2})/c}.
  • El foco de la parábola de Kiepert es el centro del triángulo X(110). Las coordenadas baricéntricas del foco son
a2/(b2−do2):b2/(do2−a2):do2/(a2−b2){\displaystyle a^{2}/(b^{2}-c^{2}):b^{2}/(c^{2}-a^{2}):c^{2}/(a^{2}-b^{2})}
  • La directriz de la parábola de Kiepert es la recta de Euler del triánguloABdo{\displaystyle ABC}.

Imágenes

Véase también

  • Weisstein, Eric W. "Hipérbola de Kiepert" . MathWorld--Un recurso web de Wolfram . Consultado el 5 de febrero de 2022 .
  • Weisstein, Eric W. "Parábola de Kiepert" . MathWorld--Un recurso web de Wolfram . Consultado el 5 de febrero de 2022 .

Referencias

  1. ↑ Kimberling, C. "X(110)=Foco de la parábola de Kiepert" . Enciclopedia de centros de triángulos . Consultado el 4 de febrero de 2022 .
  2. 1 2 3 Eddy, RH; Fritsch, R. (1994). "Las cónicas de Ludwig Kiepert: una lección completa sobre la geometría del triángulo". Math. Mag . 67 (3): 188– 205. doi : 10.1080/0025570X.1994.11996212 .
  3. ^ Sharp, J. (2015). "Parábolas de Artzt de un triángulo". La Gaceta Matemática . 99 (546): 444– 463. doi : 10.1017/mag.2015.81 . S2CID 123814409 . 
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