Perspectiva (geometría)

Dos figuras en un plano se consideran en perspectiva desde un punto O , llamado centro de perspectiva , si las líneas que unen los puntos correspondientes de las figuras convergen en O. De manera similar , se dice que las figuras se consideran en perspectiva desde una línea si los puntos de intersección de las líneas correspondientes se encuentran sobre una misma línea. Este concepto se aplica a la geometría proyectiva, donde no existen casos especiales debido a líneas paralelas, ya que todas las líneas convergen. Si bien aquí se describe para figuras en un plano, el concepto se extiende fácilmente a dimensiones superiores.

La línea que pasa por los puntos donde se intersecan los lados correspondientes de la figura se conoce como eje de perspectiva , eje de homología o, arcaicamente, perspectrix . Se dice que las figuras están en perspectiva desde este eje. El punto donde se intersecan las líneas que unen los vértices correspondientes de las figuras en perspectiva se llama centro de perspectiva , centro de homología , polo o, arcaicamente, perspector . Se dice que las figuras están en perspectiva desde este centro. ^{[ 1 ]}

Si cada una de las figuras en perspectiva consta de todos los puntos de una línea (un rango ), entonces la transformación de los puntos de un rango en otro se denomina perspectividad central . Una transformación dual, que lleva todas las líneas que pasan por un punto (un lápiz ) a otro lápiz mediante un eje de perspectiva, se denomina perspectividad axial . ^{[ 2 ]}

Un caso especial importante se da cuando las figuras son triángulos . Dos triángulos que están en perspectiva desde un punto se denominan en perspectiva central y se llaman pareja central . Dos triángulos que están en perspectiva desde una línea se denominan en perspectiva axial y pareja axial . ^{[ 3 ]}

Karl von Staudt introdujo la notación${\displaystyle ABC\doublebarwedge abc}$para indicar que los triángulos ABC y abc están en perspectiva. ^{[ 4 ]}

El teorema de Desargues afirma que un par de triángulos centrales son axiales. La afirmación recíproca, que un par de triángulos axiales son centrales, es equivalente (una puede usarse para demostrar la otra). El teorema de Desargues puede demostrarse en el plano proyectivo real y, con las modificaciones adecuadas para casos especiales, en el plano euclidiano . Los planos proyectivos en los que la perspectividad central y axial de los triángulos es equivalente se denominan planos desarguesianos .

Existen diez puntos asociados a estos dos tipos de perspectiva: seis en los dos triángulos, tres en el eje de perspectiva y uno en el centro de perspectiva. De igual modo , existen diez líneas asociadas a dos triángulos de perspectiva: tres lados de los triángulos, tres líneas que pasan por el centro de perspectiva y el eje de perspectiva. Estos diez puntos y diez líneas forman una instancia de la configuración de Desargues .

Si dos triángulos son un par central de al menos dos maneras diferentes (con dos asociaciones diferentes de vértices correspondientes y dos centros de perspectiva diferentes), entonces son de perspectiva de tres maneras. Esta es una de las formas equivalentes del teorema de Pappus (hexagonal) . ^{[ 5 ]} Cuando esto sucede, los nueve puntos asociados (seis vértices del triángulo y tres centros) y las nueve líneas asociadas (tres que pasan por cada centro de perspectiva) forman una instancia de la configuración de Pappus .

La configuración de Reye está formada por cuatro tetraedros con perspectiva cuádruple, de forma análoga a la configuración de Pappus.

• Perspectiva curvilínea
• Perspectiva (gráfica)

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2.ª  ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930 
• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275 
• Young, John Wesley (1930), Geometría proyectiva , The Carus Mathematical Monographs (#4), Mathematical Association of America