Perspectiva curvilínea

La perspectiva curvilínea , también conocida como perspectiva de cinco puntos , es una proyección gráfica utilizada para dibujar objetos 3D sobre superficies 2D, en la que las líneas (rectas) del objeto 3D se proyectan sobre curvas en la superficie 2D que generalmente no son rectas (de ahí el calificativo "curvilínea" ). Fue formalmente codificada en 1968 por los artistas e historiadores del arte André Barre y Albert Flocon en el libro La Perspective curviligne , ^{[ 1 ]} que fue traducido al inglés en 1987 como Curvilinear Perspective: From Visual Space to the Constructed Image y publicado por la University of California Press . ^{[ 2 ]}

La perspectiva curvilínea a veces se denomina coloquialmente perspectiva de ojo de pez , por analogía con una lente de ojo de pez . En animación por computadora y gráficos en movimiento , también se la puede llamar perspectiva de planeta pequeño .

Un ejemplo temprano de perspectiva curvilínea aproximada de cinco puntos se encuentra en el Retrato de Arnolfini (1434) del pintor flamenco primitivo Jan van Eyck . Ejemplos posteriores pueden hallarse en el Autorretrato en un espejo convexo (c. 1524) del pintor manierista Parmigianino y en Vista de Delft (1652) del pintor holandés de la Edad de Oro Carel Fabritius .

En 1959, Flocon adquirió un ejemplar de Grafiek en tekeningen de M. C. Escher , quien lo impresionó profundamente con su uso de la perspectiva curva y distorsionada, la cual influyó en la teoría que Flocon y Barre estaban desarrollando. Iniciaron una larga correspondencia, en la que Escher llamó a Flocon un "alma gemela". ^{[ 2 ]}

Comparación del mismo objeto mostrado a la izquierda utilizando una perspectiva curvilínea de cinco puntos y a la derecha, utilizando una perspectiva de tres puntos.

El sistema utiliza tanto líneas de perspectiva curvas como una serie de líneas rectas convergentes para aproximar la imagen en la retina del ojo, que es esférica, con mayor precisión que la perspectiva lineal tradicional , que solo utiliza líneas rectas pero está muy distorsionada en los bordes.

Utiliza cuatro, cinco o más puntos de fuga :

• En perspectiva de cinco puntos ( ojo de pez ): Se colocan cuatro puntos de fuga en un círculo, denominados N, O, S, E, más un punto de fuga en el centro del círculo.
• La perspectiva de cuatro puntos, o de infinitos puntos, es la que (posiblemente) más se aproxima a la perspectiva del ojo humano, a la vez que resulta eficaz para crear espacios imposibles, mientras que la de cinco puntos es el equivalente curvilíneo de la perspectiva de un punto, y la de cuatro puntos es el equivalente de la perspectiva de dos puntos.

Esta técnica, al igual que la perspectiva de dos puntos, utiliza una línea vertical como horizonte, creando simultáneamente una vista a ras de suelo y una vista aérea. Emplea cuatro o más puntos equidistantes a lo largo del horizonte; todas las líneas verticales son perpendiculares a este, mientras que las ortogonales se crean con un compás trazando una línea perpendicular a cada uno de los cuatro puntos de fuga.

Las distancias a y c entre el observador y la pared son mayores que la distancia b , por lo que, adoptando el principio de que cuando un objeto está a mayor distancia del observador, se vuelve más pequeño, la pared se reduce y, por lo tanto, aparece distorsionada en los bordes.

Si un punto tiene las coordenadas cartesianas 3D ( x , y , z ):

${\displaystyle P_{\mathrm {3D} }=(x,y,z)}$

Denotando la distancia desde el punto al origen por d = √ x ² + y ² + z ² ,

Entonces, la transformación del punto a un sistema de referencia curvilíneo de radio R es

${\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)}$

(Si d = 0, entonces el punto está en el origen, lo que significa que su proyección no está definida).

Esto se obtiene proyectando primero el punto 3D sobre una esfera de radio R centrada en el origen, de modo que obtenemos una imagen del punto que tiene coordenadas

${\displaystyle P_{\mathrm {sphere} }=(x,y,z)*\left({\frac {R}{d}}\right)}$

Luego, realizamos una proyección paralela que es paralela al eje z para proyectar el punto en la esfera sobre el papel en z = R , obteniendo así

${\displaystyle P_{\mathrm {image} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}},R\right)}$

Dado que no nos preocupa el hecho de que el papel esté apoyado en el plano z = R , ignoramos la coordenada z del punto imagen, obteniendo así

${\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)=R*\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}$

Desde que cambié${\displaystyle R}$Esto solo equivale a una escala, generalmente se define como la unidad, lo que simplifica aún más la fórmula a:

${\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {x}{d}},{\frac {y}{d}}\right)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}$

Una línea que no pasa por el origen se proyecta sobre un círculo máximo en la esfera, el cual a su vez se proyecta sobre una elipse en el plano. La elipse tiene la propiedad de que su eje mayor es un diámetro del círculo que la delimita.

• 
  Detalle de un espejo convexo en el Retrato de Arnolfini de Jan van Eyck , 1434.
• 
  Jean Fouquet , Llegada del emperador Carlos IV a la Basílica de Saint-Denis , c. 1455-1460
• 
  Parmigianino , Autorretrato en espejo convexo , c. 1524
• 
  Carel Fabritius , Una vista de Delft , 1652

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• MC Escher
• Coordenadas curvilíneas

• Dibujo de cómics: perspectiva de 5 puntos
• La casa de las escaleras de M. C. Escher