Circumcónico e incónico

El centro de la circunfleja general es el punto

${\displaystyle u(-au+bv+cw):v(au-bv+cw):w(au+bv-cw).}$

Las líneas tangentes a la circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}wv+vz&=0,\\uz+wx&=0,\\vx+uy&=0.\end{aligned}}}$

El centro del incónico general es el punto

${\displaystyle cv+bw:aw+cu:bu+av.}$

Las líneas tangentes a la incónica general son las líneas laterales del △ ABC , dadas por las ecuaciones x = 0 , y = 0 , z = 0 .

• Cada circuncónica no circular interseca la circunferencia circunscrita del triángulo ABC en un punto distinto de A, B, C , a menudo llamado el cuarto punto de intersección , dado por coordenadas trilineales.

${\displaystyle (cx-az)(ay-bx):(ay-bx)(bz-cy):(bz-cy)(cx-az)}$

• Si${\displaystyle P=p:q:r}$Si P es un punto en la circuncónica general, entonces la recta tangente a la cónica en P viene dada por

${\displaystyle (vr+wq)x+(wp+ur)y+(uq+vp)z=0.}$

• La circuncónica general se reduce a una parábola si y solo si

${\displaystyle u^{2}a^{2}+v^{2}b^{2}+w^{2}c^{2}-2vwbc-2wuca-2uvab=0,}$

y a una hipérbola rectangular si y solo si

${\displaystyle u\cos A+v\cos B+w\cos C=0.}$

• De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el centroide del que tiene mayor área coincide con el centro de la elipse. ^{[ 3 ] : p.147} La elipse dada, que pasa por los tres vértices de este triángulo y está centrada en el centroide del triángulo, se llama circunelipse de Steiner del triángulo .

• La incónica general se reduce a una parábola si y solo si

${\displaystyle ubc+vca+wab=0,}$

en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y es tangente a las prolongaciones de los otros dos lados .

• Supongamos que ⁠${\displaystyle p_{1}:q_{1}:r_{1}}$y​​${\displaystyle p_{2}:q_{2}:r_{2}}$son puntos distintos, y dejemos

${\displaystyle X=(p_{1}+p_{2}t):(q_{1}+q_{2}t):(r_{1}+r_{2}t).}$

A medida que el parámetro t recorre los números reales , el lugar geométrico de X es una línea. Definir

${\displaystyle X^{2}=(p_{1}+p_{2}t)^{2}:(q_{1}+q_{2}t)^{2}:(r_{1}+r_{2}t)^{2}.}$

El lugar geométrico de X ² es la incónica, necesariamente una elipse , dada por la ecuación

${\displaystyle L^{4}x^{2}+M^{4}y^{2}+N^{4}z^{2}-2M^{2}N^{2}yz-2N^{2}L^{2}zx-2L^{2}M^{2}xy=0,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=q_{1}r_{2}-r_{1}q_{2},\\M&=r_{1}p_{2}-p_{1}r_{2},\\N&=p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}.\end{aligned}}}$

• Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices coinciden con los puntos medios de los lados del triángulo original. ^{[ 3 ] : p.139} Para un punto dado dentro de ese triángulo medial , la inelipse con su centro en ese punto es única. ^{[ 3 ] : p.142}
• La inelipse con la mayor área es la inelipse de Steiner , también llamada inelipse del punto medio, con su centro en el centroide del triángulo . ^{[ 3 ] : p.145} En general, la razón entre el área de la inelipse y el área del triángulo, en términos de las coordenadas baricéntricas de suma unitaria ( α, β, γ ) del centro de la inelipse, es ^{[ 3 ] : p.143}

${\displaystyle {\frac {\text{Área de la elipse}}{\text{Área del triángulo}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$

que se maximiza mediante las coordenadas baricéntricas del centroide α = β = γ = ⅓ .

• Las líneas que conectan los puntos de tangencia de cualquier elipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes. ^{[ 3 ] : p.148}