Teorema de Pitot

El teorema de Pitot en geometría establece que en un cuadrilátero tangencial los dos pares de lados opuestos tienen la misma longitud total. Recibe su nombre en honor al ingeniero francés Henri Pitot . ^[1]

Un cuadrilátero tangencial se define generalmente como un cuadrilátero convexo cuyos cuatro lados son tangentes al mismo círculo inscrito . El teorema de Pitot establece que, para estos cuadriláteros, las dos sumas de longitudes de lados opuestos son iguales. Ambas sumas de longitudes son iguales al semiperímetro del cuadrilátero. ^[2]

La implicación inversa también es cierta: siempre que un cuadrilátero convexo tenga pares de lados opuestos con las mismas sumas de longitudes, tiene un círculo inscrito. Por lo tanto, esta es una caracterización exacta: los cuadriláteros tangenciales son exactamente los cuadriláteros con sumas iguales de longitudes de lados opuestos. ^[2]

Una forma de demostrar el teorema de Pitot es dividir los lados de cualquier cuadrilátero tangencial dado en los puntos donde su círculo inscrito toca cada lado. Esto divide los cuatro lados en ocho segmentos, entre un vértice del cuadrilátero y un punto de tangencia con el círculo. Dos de estos segmentos que se encuentran en el mismo vértice tienen la misma longitud, formando un par de segmentos de igual longitud. Dos lados opuestos tienen un segmento de cada uno de estos pares. Por lo tanto, los cuatro segmentos en dos lados opuestos tienen las mismas longitudes, y la misma suma de longitudes, que los cuatro segmentos en los otros dos lados opuestos.

Henri Pitot demostró su teorema en 1725, mientras que el recíproco fue demostrado por el matemático suizo Jakob Steiner en 1846. ^[2]

El teorema de Pitot se generaliza a los -gonos tangenciales, en cuyo caso las dos sumas de los lados alternos son iguales. Se aplica la misma idea de prueba. ^[3]${\estilo de visualización 2n}$

• Alexander Bogomolny, "¿Cuándo un cuadrilátero es inscriptible?" en Cut-the-knot
• "Una generalización del teorema de Pitot"