círculo ortocentroide

En geometría , el círculo ortocentroide de un triángulo no equilátero es aquel cuyos centros ortocentro y baricentro se encuentran en extremos opuestos de su diámetro . Este diámetro también contiene el centro de nueve puntos del triángulo y es un subconjunto de la recta de Euler , cuyo circuncentro se encuentra fuera del círculo ortocentroide.

Andrew Guinand demostró en 1984 que el incentro del triángulo debe estar en el interior del círculo ortocentroide, pero sin coincidir con el centro de nueve puntos; es decir, debe caer en el disco ortocentroide abierto perforado en el centro de nueve puntos. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] : pp. 451–452} El incentro podría ser cualquiera de esos puntos, dependiendo del triángulo específico que tenga ese disco ortocentroide en particular. ^{[ 3 ]}

Además, ^{[ 2 ]} el punto de Fermat , el punto de Gergonne y el punto simediano se encuentran en el disco ortocentroide abierto perforado en su propio centro (y podrían estar en cualquier punto dentro de él), mientras que el segundo punto de Fermat y el punto de Feuerbach se encuentran en el exterior del círculo ortocentroide. El conjunto de ubicaciones potenciales de uno u otro de los puntos de Brocard también es el disco ortocentroide abierto. ^{[ 6 ]}

El cuadrado del diámetro del círculo ortocentroide es ^{[ 7 ] : p.102}${\displaystyle D^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),}$donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y D es el diámetro de su circunferencia circunscrita .

El círculo ortocentroide, el círculo circunscrito, el círculo de nueve puntos , el círculo polar y el círculo circunscrito del triángulo tangente son coaxiales y todos se intersecan en el eje radical común si el triángulo no es agudo. El eje radical es el eje órtico . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

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