Triángulo central

Una función de centro de triángulo es una función de valor real .${\displaystyle F(u,v,w)}$de tres variables reales u, v, w que tienen las siguientes propiedades:

• Propiedad de homogeneidad :${\displaystyle F(tu,tv,tw)=t^{n}F(u,v,w)}$para alguna constante n y para todo t > 0. La constante n es el grado de homogeneidad de la función .${\displaystyle F(u,v,w).}$⁠
• Propiedad de bisimetría:${\displaystyle F(u,v,w)=F(u,w,v).}$

Dejemos​${\displaystyle f(u,v,w)}$y​​${\displaystyle g(u,v,w)}$Sean dos funciones centrales de triángulos, no idénticamente nulas, con el mismo grado de homogeneidad. Sean a, b, c las longitudes de los lados del triángulo de referencia △ ABC . Un triángulo ( f , g ) -central de Tipo 1 es un triángulo △ A'B'C' cuyas coordenadas trilineales de vértices tienen la siguiente forma: ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}A'=&f(a,b,c)&:&g(b,c,a)&:&g(c,a,b)\\B'=&g(a,b,c)&:&f(b,c,a)&:&g(c,a,b)\\C'=&g(a,b,c)&:&g(b,c,a)&:&f(c,a,b)\end{array}}}$$

Dejemos​${\displaystyle f(u,v,w)}$⁠ sea una función de centro triangular y ⁠${\displaystyle g(u,v,w)}$⁠ sea una función que satisfaga la propiedad de homogeneidad y tenga el mismo grado de homogeneidad que ⁠${\displaystyle f(u,v,w)}$pero sin satisfacer la propiedad de bisimetría. Un triángulo ( f , g ) -central de tipo 2 es un triángulo △ A'B'C' cuyas coordenadas trilineales de vértices tienen la siguiente forma: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}A'=&f(a,b,c)&:&g(b,c,a)&:&g(c,b,a)\\B'=&g(a,c,b)&:&f(b,c,a)&:&g(c,a,b)\\C'=&g(a,b,c)&:&g(b,a,c)&:&f(c,a,b)\end{array}}}$$

Dejemos​${\displaystyle g(u,v,w)}$⁠ sea una función de centro de triángulo. Un triángulo g -central de Tipo 3 es un triángulo △ A'B'C' cuyas coordenadas trilineales de vértices tienen la siguiente forma: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}A'=&0\quad \ \ &:&g(b,c,a)&:&-g(c,b,a)\\B'=&-g(a,c,b)&:&0\quad \ \ &:&g(c,a,b)\\C'=&g(a,b,c)&:&-g(b,a,c)&:&0\quad \ \ \end{array}}}$$

Se trata de un triángulo degenerado en el sentido de que los puntos A', B' y C' son colineales.

• El triángulo excentral del triángulo △ ABC es un triángulo central de tipo 1. Esto se obtiene tomando${\displaystyle f(u,v,w)=-1,\ g(u,v,w)=1.}$

• Sea X el centro de un triángulo definido por la función de centro de triángulo .${\displaystyle g(a,b,c).}$⁠ Entonces el triángulo ceviano de X es un triángulo (0, g ) -central de Tipo 1. ^{[ 3 ]}

• Sea X el centro de un triángulo definido por la función de centro de triángulo .${\displaystyle f(a,b,c).}$⁠ Entonces el triángulo anticeviano de X es untriángulo central ( − f , f ) de Tipo 1. ^{[ 4 ]}

• El triángulo central de Lucas es el triángulo central ( f , g ) con$${\displaystyle f(a,b,c)=a(2S+S_{2}),\quad g(a,b,c)=aS_{A},}$$donde S es el doble del área del triángulo ABC y${\displaystyle S_{A}={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}).}$^{[ 5 ]}

• Sea X el centro de un triángulo. Los triángulos pedal y antipedal de X son triángulos centrales de tipo 2. ^{[ 6 ]}
• Triángulo Central Yff ^{[ 7 ]}