Espacio extremadamente desconectado

En matemáticas, un espacio extremadamente disconexo es un espacio topológico en el que la clausura de cada conjunto abierto es abierta. (El término "extremadamente disconexo" es correcto, aunque la palabra "extremadamente" no aparece en la mayoría de los diccionarios, ^{[ 1 ]} y a veces los correctores ortográficos la confunden con el homófono "extremadamente  disconexo ").

Un espacio extremadamente disconexo que también es compacto y Hausdorff se denomina a veces espacio stoneano . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Esto no es lo mismo que un espacio Stone , que es un espacio Hausdorff compacto totalmente disconexo . Todo espacio stoneano es un espacio Stone, pero no a la inversa. En la dualidad entre espacios Stone y álgebras booleanas , los espacios stoneanos corresponden a las álgebras booleanas completas .

Un espacio de Hausdorff primeramente numerable y extremadamente disconexo debe ser discreto . En particular, para espacios métricos , la propiedad de ser extremadamente disconexo (la clausura de cada conjunto abierto es abierta) es equivalente a la propiedad de ser discreto (cada conjunto es abierto).

• Todo espacio discreto es extremadamente desconectado. Todo espacio indiscreto es a la vez extremadamente desconectado y conectado.
• La compactificación de Stone-Čech de un espacio discreto es extremadamente desconectada.
• El espectro de un álgebra de von Neumann abeliana es extremadamente disconexo.
• Cualquier álgebra AW* conmutativa es isomorfa a${\displaystyle C(X)}$, por algún espacio${\displaystyle X}$que es extremadamente desconectado, compacto y Hausdorff.
• Cualquier espacio infinito con topología cofinita es a la vez extremadamente desconectado y conexo . De forma más general, todo espacio hiperconexo es extremadamente desconectado.
• El espacio en tres puntos con base${\displaystyle \{\{x,y\},\{x,y,z\}\}}$proporciona un ejemplo finito de un espacio que es a la vez extremadamente disconexo y conexo. Otro ejemplo lo proporciona el espacio de Sierpinski , ya que es finito, conexo e hiperconexo.

Los siguientes espacios no están desconectados de forma extrema:

• El conjunto de Cantor no está extremadamente desconectado. Sin embargo, está totalmente desconectado.

Un teorema de Gleason (1958) afirma que los objetos proyectivos de la categoría de espacios compactos de Hausdorff son precisamente los espacios compactos de Hausdorff extremamente disconexos. Rainwater (1959) ofrece una demostración simplificada de este hecho .

Un espacio de Hausdorff compacto es extremadamente disconexo si y solo si es una retracción de la compactificación de Stone-Čech de un espacio discreto. ^{[ 4 ]}

Hartig (1983) demuestra el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani reduciéndolo al caso de espacios extremadamente disconexos, en cuyo caso el teorema de representación puede demostrarse por medios elementales.

• Espacio totalmente desconectado

• AV Arkhangelskii (2001) [1994], "Espacio extremadamente desconectado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Dales, HG; Dashiell, FK; Lau, AT-M.; Strauss, D. (2016). Espacios de Banach de funciones continuas como espacios duales . Springer. ISBN 978-3-319-32347-3.
• Gleason, Andrew M. (1958), "Espacios topológicos proyectivos", Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482– 489, doi : 10.1215/ijm/1255454110 , MR 0121775 
• Hartig, Donald G. (1983), "Revisión del teorema de representación de Riesz", American Mathematical Monthly , 90 (4): 277– 280, doi : 10.2307/2975760 , JSTOR 2975760 
• Johnstone, Peter T. (1982). Espacios de piedra . Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
• Rainwater, John (1959), "Una nota sobre resoluciones proyectivas", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 10 (5): 734– 735, doi : 10.2307/2033466 , JSTOR 2033466 
• Semadeni, Zbigniew (1971), Espacios de Banach de funciones continuas. Vol. I , PWN---Editorial Científica Polaca, Varsovia, MR 0296671