Casi en todas partes

En la teoría de la medida (una rama del análisis matemático ), una propiedad se cumple casi en todas partes si, en un sentido técnico, el conjunto para el cual se cumple la propiedad abarca casi todas las posibilidades. La noción de "casi en todas partes" es una noción complementaria al concepto de medida cero y es análoga a la noción de " casi con seguridad" en la teoría de la probabilidad .

Más específicamente, una propiedad se cumple casi en todas partes si se cumple para todos los elementos de un conjunto excepto para un subconjunto de medida cero, ^{[ 1 ] [ 2 ]} o, equivalentemente, si el conjunto de elementos para los que se cumple la propiedad es conull . En los casos en que la medida no es completa , basta con que el conjunto esté contenido dentro de un conjunto de medida cero. Al hablar de conjuntos de números reales , se suele asumir la medida de Lebesgue a menos que se indique lo contrario.

El término se abrevia casi en todas partes como ae ; ^{[ 3 ]} en la literatura antigua se usa pp , para representar la frase francesa equivalente presque partout . ^{[ 4 ]}

Un conjunto de medida completa es aquel cuyo complemento tiene medida cero. En teoría de la probabilidad, los términos «casi seguro» , «casi seguro» y «casi siempre» se refieren a eventos con probabilidad 1, que no necesariamente incluyen todos los resultados. Estos son precisamente los conjuntos de medida completa en un espacio de probabilidad.

En ocasiones, en lugar de decir que una propiedad se cumple casi en todas partes, se dice que la propiedad se cumple para casi todos los elementos (aunque el término " casi todos" también puede tener otros significados).

Si${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$es un espacio de medida , una propiedad${\displaystyle P}$Se dice que se mantiene en casi todas partes.${\displaystyle X}$si existe un conjunto medible${\displaystyle N\in \Sigma }$con${\displaystyle \mu (N)=0}$y todos${\displaystyle x\in X\setminus N}$tener la propiedad${\displaystyle P}$. ^{[ 5 ]} Otra forma común de expresar lo mismo es decir que "casi todos los puntos satisfacen${\displaystyle P\,}$", o que "por casi todos${\displaystyle x}$,${\displaystyle P(x)}$sostiene".

No es necesario que el conjunto${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$tiene medida cero; puede que no sea mensurable. Según la definición anterior, es suficiente que ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$estar contenido en algún conjunto${\displaystyle N}$que es mensurable y tiene medida cero. Sin embargo, este tecnicismo desaparece al considerar un espacio de medida completo : si${\displaystyle X}$entonces está completo${\displaystyle N}$existe con medida cero si y solo si${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$es medible con medida cero.

• Si la propiedad${\displaystyle P}$se cumple en casi todas partes e implica propiedad${\displaystyle Q}$, entonces propiedad${\displaystyle Q}$Se cumple prácticamente en todas partes. Esto se deduce de la monotonicidad de las medidas.
• Si${\displaystyle (P_{n})}$es una secuencia finita o numerable de propiedades, cada una de las cuales se cumple casi en todas partes, entonces su conjunción${\displaystyle \forall nP_{n}}$Se cumple en casi todas partes. Esto se deduce de la subaditividad contable de las medidas.
• Por el contrario, si${\displaystyle (P_{x})_{x\in \mathbf {R} }}$es una familia incontable de propiedades, cada una de las cuales se cumple casi en todas partes, entonces su conjunción${\displaystyle \forall xP_{x}}$No necesariamente se cumple en casi todas partes. Por ejemplo, si${\displaystyle \mu }$es la medida de Lebesgue sobre${\displaystyle X=\mathbf {R} }$y${\displaystyle P_{x}}$es la propiedad de no ser igual a${\displaystyle x}$(es decir${\displaystyle P_{x}(y)}$es cierto si y solo si${\displaystyle y\neq x}$), luego cada uno${\displaystyle P_{x}}$se cumple en casi todas partes, pero la conjunción${\displaystyle \forall xP_{x}}$No se sostiene en ningún lugar.

Como consecuencia de las dos primeras propiedades, a menudo es posible razonar sobre "casi todos los puntos" de un espacio de medida como si se tratara de un punto ordinario en lugar de una abstracción. Esto se suele hacer implícitamente en argumentos matemáticos informales. Sin embargo, hay que tener cuidado con este modo de razonamiento debido al tercer punto mencionado: la cuantificación universal sobre familias no numerables de enunciados es válida para puntos ordinarios, pero no para "casi todos los puntos".

• Si f  : R → R es una función integrable de Lebesgue y${\displaystyle f(x)\geq 0}$casi en todas partes, entonces$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0}$$para todos los números reales${\displaystyle a<b}$con igualdad si y solo si${\displaystyle f(x)=0}$casi en todas partes.
• Si f  : [ a , b ] → R es una función monótona , entonces f es diferenciable casi en todas partes.
• Si f  : R → R es medible según Lebesgue y$${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }$$para todos los números reales${\displaystyle a<b}$, entonces existe un conjunto E (que depende de f ) tal que, si x está en E , la media de Lebesgue$${\displaystyle {\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt}$$converge a f ( x ) cuando${\displaystyle \epsilon }$disminuye a cero. El conjunto E se denomina conjunto de Lebesgue de f . Se puede demostrar que su complemento tiene medida cero. En otras palabras, la media de Lebesgue de f converge a f casi en todas partes.
• Una función acotada f  : [ a , b ] → R es integrable de Riemann si y solo si es continua casi en todas partes.
• Como curiosidad, la expansión decimal de casi todos los números reales en el intervalo [0, 1] contiene el texto completo de las obras de Shakespeare , codificado en ASCII ; de manera similar para cualquier otra secuencia finita de dígitos, véase Número normal .

Fuera del contexto del análisis real, la noción de una propiedad verdadera casi en todas partes se define a veces en términos de un ultrafiltro . Un ultrafiltro en un conjunto X es una colección maximal F de subconjuntos de X tales que:

1. Si U ∈ F y U ⊆ V , entonces V ∈ F
2. La intersección de cualesquiera dos conjuntos en F está en F
3. El conjunto vacío no está en F

Una propiedad P de los puntos en X se cumple casi en todas partes, en relación con un ultrafiltro F , si el conjunto de puntos para los que se cumple P está en F.

Por ejemplo, una construcción del sistema de números hiperreales define un número hiperreal como una clase de equivalencia de secuencias que son iguales casi en todas partes, según lo define un ultrafiltro.

La definición de " casi en todas partes" en términos de ultrafiltros está estrechamente relacionada con la definición en términos de medidas, porque cada ultrafiltro define una medida finitamente aditiva que toma solo los valores 0 y 1, donde un conjunto tiene medida 1 si y solo si está incluido en el ultrafiltro.

Con esta noción de "casi en todas partes", el teorema de Łoś puede entenderse como que una fórmula de primer orden es verdadera en un ultraproducto si y solo si es verdadera en casi todos los factores.

• La función de Dirichlet , una función que es igual a 0 en casi todas partes.
• Función Cantor

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida (3.ª  ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.