Categoría Simplex

En matemáticas , la categoría simplex (o categoría simplicial o categoría ordinal finita no vacía ) es la categoría de ordinales finitos no vacíos y aplicaciones que preservan el orden . Se utiliza para definir objetos simpliciales y cosimpliciales.

La categoría simplex se suele denotar por${\displaystyle \Delta }$Existen varias descripciones equivalentes de esta categoría.${\displaystyle \Delta }$puede describirse como la categoría de ordinales finitos no vacíos como objetos, pensados ​​como conjuntos totalmente ordenados, y funciones que preservan el orden (no estrictamente) como morfismos . Los objetos se denotan comúnmente${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots ,n\}}$(de modo que${\displaystyle [n]}$es el ordinal${\displaystyle n+1}$La categoría se genera mediante mapas de cofaces y codegeneración, que consisten en insertar o eliminar elementos de los ordenamientos. (Véase el conjunto simplicial para conocer las relaciones entre estos mapas).

Un objeto simplicial es un prehaz en${\displaystyle \Delta }$, que es un functor contravariante de${\displaystyle \Delta }$a otra categoría. Por ejemplo, los conjuntos simpliciales son contravariantes con la categoría de codominio siendo la categoría de conjuntos. Un objeto cosimplicial se define de manera similar como un functor covariante originado desde${\displaystyle \Delta }$.

La categoría simplex aumentada , denotada por${\displaystyle \Delta _{+}}$es la categoría de todos los ordinales finitos y aplicaciones que preservan el orden , por lo tanto${\displaystyle \Delta _{+}=\Delta \cup [-1]}$, dónde${\displaystyle [-1]=\emptyset }$Por consiguiente, esta categoría también podría denominarse FinOrd . La categoría simplex aumentada se conoce ocasionalmente como categoría simplex de algebristas, y la versión anterior se denomina categoría simplex de topólogos.

Un functor contravariante definido en${\displaystyle \Delta _{+}}$se denomina objeto simplicial aumentado y functor covariante de${\displaystyle \Delta _{+}}$se denomina objeto cosimplicial aumentado ; cuando la categoría del codominio es la categoría de conjuntos, por ejemplo, se denominan conjuntos simpliciales aumentados y conjuntos cosimpliciales aumentados respectivamente.

La categoría simplex aumentada, a diferencia de la categoría simplex, admite una estructura monoidal natural . El producto monoidal se obtiene mediante la concatenación de órdenes lineales, y la unidad es el ordinal vacío.${\displaystyle [-1]}$(la falta de una unidad impide que esto califique como una estructura monoide en${\displaystyle \Delta }$). De hecho,${\displaystyle \Delta _{+}}$es la categoría monoide generada libremente por un único objeto monoide , dado por${\displaystyle [0]}$con la única unidad y multiplicación posibles. Esta descripción es útil para comprender cómo cualquier objeto comonoide en una categoría monoidal da lugar a un objeto simplicial, ya que entonces puede verse como la imagen de un functor de${\displaystyle \Delta _{+}^{\text{op}}}$a la categoría monoidal que contiene el comonoide; al olvidar la ampliación obtenemos un objeto simplicial. De manera similar, esto también ilumina la construcción de objetos simpliciales a partir de mónadas (y por lo tanto functores adjuntos ) ya que las mónadas pueden verse como objetos monoides en categorías endofunctoras .

• Categoría simplicial
• PROP (teoría de categorías)
• complejo simplicial abstracto

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Teoría de la homotopía simplicial . Progress in Mathematics. Vol.  174. Basilea-Boston-Berlín: Birkhäuser. doi : 10.1007/978-3-0348-8707-6 . ISBN 978-3-7643-6064-1. MR 1711612 . 

• Categoría Simplex en el Laboratorio n
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