Hermann Grassmann

Hermann Günther Grassmann ( en alemán: Graßmann , pronunciado [ ˈhɛʁman ˈɡʏntɐ ˈɡʁasman ] ; 15 de abril de 1809 – 26 de septiembre de 1877) fue un polímata alemán conocido en su época como lingüista y ahora también como matemático . Fue además físico , erudito general y editor. Su trabajo matemático pasó prácticamente desapercibido hasta que cumplió sesenta años. Su obra precedió y superó el concepto que hoy se conoce como espacio vectorial . Introdujo el grassmanniano , el espacio que parametriza todos los subespacios lineales k -dimensionales de un espacio vectorial n- dimensional V. En lingüística, contribuyó a separar la historia y la estructura del lenguaje. ^{[ 1 ]}

Hermann Grassmann fue el tercero de doce hijos de Johanne Luise Friederike Medenwald y Justus Günter Grassmann, un ministro ordenado que impartía matemáticas y física en el Stettin Gymnasium , donde Hermann recibió su educación. Su hermano Robert también era matemático. ^{[ 2 ]}

Grassmann fue un estudiante mediocre hasta que obtuvo una nota alta en los exámenes de ingreso a las universidades prusianas . A partir de 1827, estudió teología en la Universidad de Berlín , donde también cursó lenguas clásicas , filosofía y literatura. Al parecer, no cursó matemáticas ni física . ^{[ 2 ]}

Aunque carecía de formación universitaria en matemáticas, este era el campo que más le interesaba cuando regresó a Stettin en 1830 tras completar sus estudios en Berlín. Después de un año de preparación, se presentó a los exámenes necesarios para impartir clases de matemáticas en un gimnasio, pero obtuvo un resultado lo suficientemente bueno como para permitirle enseñar solo en los niveles inferiores. Alrededor de esta época, realizó sus primeros descubrimientos matemáticos significativos, que lo llevaron a las importantes ideas que expuso en su artículo de 1844 Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik , aquí denominado A1 , revisado posteriormente en 1862 como Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet , aquí denominado A2 . ^{[ 2 ]}

En 1834, Grassmann comenzó a impartir clases de matemáticas en la Gewerbeschule de Berlín, puesto que anteriormente había ocupado Jakob Steiner . Un año después, regresó a Stettin para enseñar matemáticas, física, alemán, latín y estudios religiosos en una nueva escuela, la Otto Schule. Durante los siguientes cuatro años, Grassmann aprobó los exámenes que le permitieron impartir clases de matemáticas, física , química y mineralogía en todos los niveles de la enseñanza secundaria. ^{[ 2 ]}

En 1847, fue nombrado «Oberlehrer» o director de escuela. En 1852, fue designado para el puesto de su difunto padre en el Stettin Gymnasium, adquiriendo así el título de profesor. En 1847, solicitó al Ministerio de Educación prusiano que lo considerara para un puesto universitario, tras lo cual dicho Ministerio solicitó la opinión de Ernst Kummer sobre Grassmann. Kummer respondió que el ensayo premiado de Grassmann de 1846 (véase más abajo) contenía «material encomiablemente bueno expresado de forma deficiente». El informe de Kummer acabó con cualquier posibilidad de que Grassmann obtuviera un puesto universitario. Este episodio demostró ser la norma; una y otra vez, las figuras más destacadas de la época de Grassmann no reconocieron el valor de sus matemáticas. ^{[ 2 ]}

A partir de la agitación política en Alemania, entre 1848 y 1849, Hermann y su hermano Robert publicaron un periódico en Stettin, Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben , que abogaba por la unificación alemana bajo una monarquía constitucional . (Esto se concretó en 1871). Después de escribir una serie de artículos sobre derecho constitucional , Hermann se desvinculó del periódico, al encontrarse cada vez más en desacuerdo con su orientación política. ^{[ 2 ]}

En 1849, se casó con Therese Knappe y tuvieron once hijos, siete de los cuales llegaron a la edad adulta. Su hijo Hermann Ernst Grassmann obtuvo un doctorado en matemáticas y se convirtió en profesor de matemáticas en la Universidad de Giessen . ^{[ 2 ]}

Tras la muerte de su padre en 1852, Grassmann fue nombrado para el antiguo puesto de su padre en el Stettin Gymnasium. ^{[ 2 ]}

Uno de los muchos exámenes a los que se presentó Grassmann requería la presentación de un ensayo sobre la teoría de las mareas. En 1840, lo hizo, tomando la teoría básica del Traité de mécanique céleste de Laplace y de la Mécanique analytique de Lagrange , pero exponiendo esta teoría mediante los métodos vectoriales que había estado meditando desde 1832. Este ensayo, publicado por primera vez en las Obras Completas de 1894-1911, contiene la primera aparición conocida de lo que hoy se denomina álgebra lineal y la noción de espacio vectorial . Posteriormente desarrolló estos métodos en su Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik ( A1 ) y su revisión posterior Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet ( A2 ).

En 1844, Grassmann publicó su obra maestra ( A1 ), comúnmente conocida como Ausdehnungslehre , que se traduce como «teoría de la extensión» o «teoría de las magnitudes extensivas». Dado que A1 proponía una nueva base para todas las matemáticas, la obra comenzaba con definiciones bastante generales de carácter filosófico. Grassmann demostró entonces que, una vez que la geometría se expresa en la forma algebraica que él defendía, el número tres no tiene un papel privilegiado como número de dimensiones espaciales ; de hecho, el número de dimensiones posibles es ilimitado.

Fearnley-Sander describe los fundamentos del álgebra lineal de Grassmann de la siguiente manera: ^{[ 3 ]}

La definición de espacio lineal ( espacio vectorial ) [...] se popularizó alrededor de 1920, cuando Hermann Weyl y otros publicaron definiciones formales. De hecho, Peano , quien conocía a fondo la obra matemática de Grassmann, ya había dado una definición similar treinta años antes. Grassmann no plasmó una definición formal —el lenguaje no existía—, pero no cabe duda de que comprendía el concepto.

Partiendo de una colección de «unidades» e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., define efectivamente el espacio lineal libre que generan; es decir, considera combinaciones lineales formales a ₁ e ₁ + a ₂ e ₂ + a ₃ e ₃ + ... donde los a _j son números reales, define la suma y la multiplicación por números reales [de la forma habitual] y demuestra formalmente las propiedades del espacio lineal para estas operaciones. ... A continuación, desarrolla la teoría de la independencia lineal de una manera sorprendentemente similar a la presentación que se encuentra en los textos modernos de álgebra lineal. Define las nociones de subespacio , independencia lineal , espacio generado , dimensión , unión e intersección de subespacios, y proyecciones de elementos sobre subespacios.

[...] pocos se han acercado tanto como Hermann Grassmann a crear, por sí solo, un nuevo tema.

Siguiendo una idea del padre de Grassmann, A1 también definió el producto exterior , también llamado "producto combinatorio" (en alemán: kombinatorisches Produkt o äußeres Produkt "producto exterior"), la operación clave de un álgebra ahora llamada álgebra exterior . (Cabe recordar que en la época de Grassmann, la única teoría axiomática era la geometría euclidiana , y la noción general de un álgebra abstracta aún no se había definido). En 1878, William Kingdon Clifford unió esta álgebra exterior a los cuaterniones de William Rowan Hamilton reemplazando la regla de Grassmann e _p e _p = 0 por la regla e _p e _p = 1. (Para los cuaterniones , tenemos la regla i ² = j ² = k ² = −1). Para más detalles, véase Álgebra exterior .

A1 fue un texto revolucionario, demasiado adelantado a su tiempo para ser apreciado. Cuando Grassmann lo presentó para solicitar una cátedra en 1847, el ministerio solicitó un informe a Ernst Kummer . Kummer aseguró que contenía buenas ideas, pero consideró que la exposición era deficiente y desaconsejó otorgarle a Grassmann un puesto universitario. Durante los siguientes diez años, Grassmann escribió diversos trabajos aplicando su teoría de la extensión, incluyendo su obra de 1845, Neue Theorie der Elektrodynamik , y varios artículos sobre curvas y superficies algebraicas , con la esperanza de que estas aplicaciones llevaran a otros a tomar en serio su teoría.

En 1846, Möbius invitó a Grassmann a participar en un concurso para resolver un problema propuesto originalmente por Leibniz : idear un cálculo geométrico desprovisto de coordenadas y propiedades métricas (lo que Leibniz denominó analysis situs ). El trabajo de Grassmann , Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik , fue el ganador (y el único participante). Möbius, como uno de los jueces, criticó la forma en que Grassmann introdujo nociones abstractas sin ofrecer al lector ninguna intuición sobre la utilidad de dichas nociones.

En 1853, Grassmann publicó una teoría sobre cómo se mezclan los colores; las cuatro leyes del color de su teoría todavía se enseñan como las leyes de Grassmann . El trabajo de Grassmann sobre este tema fue inconsistente con el de Helmholtz . ^{[ 4 ]} Grassmann también escribió sobre cristalografía , electromagnetismo y mecánica .

En 1861, Grassmann sentó las bases para la axiomatización de la aritmética de Peano en su Lehrbuch der Arithmetik . ^{[ 5 ]} En 1862, Grassmann publicó una segunda edición completamente revisada de A1 , con la esperanza de obtener un reconocimiento tardío para su teoría de la extensión, y que contenía la exposición definitiva de su álgebra lineal . El resultado, Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet ( A2 ), no tuvo mejor suerte que A1 , a pesar de que la forma de exposición de A2 anticipa los libros de texto del siglo XX.

En la década de 1840, los matemáticos generalmente no estaban preparados para comprender las ideas de Grassmann. ^{[ 6 ]} En las décadas de 1860 y 1870, varios matemáticos llegaron a ideas similares a las de Grassmann, pero Grassmann ya no estaba interesado en las matemáticas. ^{[ 6 ] : 46}

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant desarrolló un cálculo vectorial similar al de Grassmann, que publicó en 1845. Posteriormente, entabló una disputa con Grassmann sobre quién de los dos había concebido primero las ideas. Grassmann había publicado sus resultados en 1844, pero Saint-Venant afirmaba haber desarrollado estas ideas por primera vez en 1832.

Uno de los primeros matemáticos en apreciar las ideas de Grassmann durante su vida fue Hermann Hankel , cuya Theorie der complexen Zahlensysteme de 1867 . ^{[ 7 ]}

[…], desarrolló […] algunas de las álgebras de Hermann Grassmann y los cuaterniones de W. R. Hamilton . Hankel fue el primero en reconocer la importancia de los escritos de Grassmann, largamente olvidados, y se vio fuertemente influenciado por ellos.

En 1872, Victor Schlegel publicó la primera parte de su Sistema de la teoría espacial , que utilizaba el enfoque de Grassmann para derivar resultados antiguos y modernos en geometría plana . Felix Klein escribió una reseña negativa del libro de Schlegel, citando su carácter incompleto y la falta de perspectiva sobre Grassmann. En 1875, Schlegel publicó la segunda parte de su Sistema según Grassmann, desarrollando en esta ocasión la geometría de dimensiones superiores. Mientras tanto, Klein avanzaba en su programa de Erlangen , que también amplió el alcance de la geometría. ^{[ 8 ]}

La comprensión de Grassmann dependía del concepto de espacios vectoriales , que luego podría expresar el álgebra multilineal de su teoría de la extensión. Para establecer la prioridad de Grassmann sobre Hamilton, Josiah Willard Gibbs instó a los herederos de Grassmann a publicar el ensayo de 1840 sobre las mareas. ^{[ 9 ]} La primera monografía de A. N. Whitehead , el Álgebra Universal (1898), incluyó la primera exposición sistemática en inglés de la teoría de la extensión y el álgebra exterior . Con el auge de la geometría diferencial, el álgebra exterior se aplicó a las formas diferenciales .

En 1995, Lloyd C. Kannenberg publicó una traducción al inglés de The Ausdehnungslehre and Other works. Para una introducción al papel del trabajo de Grassmann en la física matemática contemporánea, véase The Road to Reality de Roger Penrose . ^{[ 10 ]}

Las ideas matemáticas de Grassmann comenzaron a difundirse solo hacia el final de su vida. Treinta años después de la publicación de A1, el editor le escribió a Grassmann: «Su libro Die Ausdehnungslehre lleva algún tiempo agotado. Dado que su obra apenas se vendió, aproximadamente 600 copias se utilizaron en 1864 como papel de desecho y las pocas copias restantes ya se han agotado, con la excepción de la única copia que tenemos en nuestra biblioteca». ^{[ 6 ] : 45} Decepcionado por la recepción de su obra en los círculos matemáticos, Grassmann perdió sus contactos con los matemáticos, así como su interés por la geometría. En los últimos años de su vida se volcó en la lingüística histórica y el estudio del sánscrito . Escribió libros sobre gramática alemana , recopiló canciones populares y aprendió sánscrito. Escribió un diccionario de 2000 páginas y una traducción del Rigveda (más de 1000 páginas). En los estudios modernos del Rigveda , la obra de Grassmann se cita con frecuencia. En 1955 se publicó una tercera edición de su diccionario. ^{[ 6 ] : 46}

Grassmann también observó y presentó una regla fonológica presente tanto en sánscrito como en griego . En su honor, esta regla fonológica se conoce como la ley de Grassmann . Su descubrimiento fue revolucionario para la lingüística histórica de la época, ya que desafió la noción generalizada de que el sánscrito era un predecesor más antiguo de otras lenguas indoeuropeas. ^{[ 11 ]} Esta era una suposición generalizada debido a la estructura más aglutinante del sánscrito, por la que se creía que lenguas como el latín y el griego habían pasado para alcanzar su estructura sintética más "moderna". Sin embargo, el trabajo de Grassmann demostró que, al menos en un patrón fonológico, el alemán era de hecho "más antiguo" (es decir, menos sintético) que el sánscrito. Esto significó que las clasificaciones genealógicas y tipológicas de las lenguas se separaron finalmente de forma correcta en lingüística, lo que permitió un progreso significativo para los lingüistas posteriores. ^{[ 12 ]}

Estos logros filológicos fueron reconocidos durante su vida. Fue elegido miembro de la Sociedad Oriental Americana y en 1876 recibió un doctorado honoris causa de la Universidad de Tubinga . ^{[ 2 ]}

• A1 :
  • Grassmann, Hermann (1844). Die Lineale Ausdehnungslehre (en alemán). Leipzig: Otto Wigand.
  • Grassmann, Hermann (1994). Una nueva rama de las matemáticas . Traducido por Kannenberg, Lloyd C. Open Court . págs. 9–297 . ISBN  9780812692761.
• Grassmann, Hermann (1847). Análisis Geometrische (en alemán). Leipzig: Weidmannsche Buchhandlung .
• Grassmann, Hermann (1861). Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten . vol.  1: Aritmética. Berlín: Adolph Enslin.
• A2 :
  • 1862. Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form begründet. . Berlín: Enslin.
  • Traducción al inglés, 2000, por Lloyd Kannenberg, Teoría de la extensión , Sociedad Matemática Americana ISBN 0-8126-9275-6, ISBN 0-8126-9276-4
• 1873. Wörterbuch zum Rig-Veda . Leipzig: Brockhaus.
• 1876–1877. Rig-Veda . Leipzig: Brockhaus. Traducción en dos volúmenes: el volumen 1 se publicó en 1876 y el volumen 2 en 1877.
• Grassmann, Hermann (1878). Ueber den Abfall vom Glauben: Mahnungen an die wissenschaftlich Gebildeten der Neuzeit (en alemán). Otto Brandner.
• 1894-1911. Gesammelte mathematische und physikalische Werke , en 3 vols. Federico Engel ed. Leipzig: BG Teubner. ^{[ 13 ]} Reimpreso en 1972, Nueva York: Johnson.

• Ley de fuerza de Ampère
• Notación Bra-ket (Grassmann fue su precursora)
• álgebra geométrica
• álgebra multilineal
• Lista de cosas que llevan el nombre de Hermann Grassmann

• Browne, John (octubre de 2012). Álgebra de Grassmann . Vol.  I: Fundamentos. Eltham, Australia: Barnard Publishing. ISBN 978-1479197637.
• Browne, John (agosto de 2020). Multiplanos y multiesferas: Notas sobre un enfoque de álgebra de Grassmann con Mathematica . Eltham, Australia: Barnard Publishing. ISBN 979-8657325379.
• Cantù, Paola (13 de febrero de 2003). La matematica da scienza delle grandezze a teoria delle forme: l ' Ausdehnungslehre di H. Grassmann [ De las matemáticas de las cantidades a la ciencia de las formas: El Ausdehnungslehre de H. Grassmann ] (PDF) (tesis doctoral) (en italiano). Universidad de Génova.
• Crowe, Michael J. (1967). Historia del análisis vectorial . University of Notre Dame Press . ISBN 0-486-64955-5.
• Fearnley-Sander, Desmond (marzo de 1982). "Hermann Grassmann y la prehistoria del álgebra universal". The American Mathematical Monthly . 89 (3). Mathematical Association of America: 161– 166. doi : 10.2307/2320198 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2320198 .  
• Fearnley-Sander, Desmond; Stokes, Timothy (1997). "Área en la geometría de Grassmann". En Wang, Dongming (ed.). Deducción automatizada en geometría . Taller internacional sobre deducción automatizada en geometría 1996. Lecture Notes in Computer Science. Vol.  1360. Toulouse, Francia: Springer. pp. 141–170 . doi : 10.1007/BFb0022724 . ISBN  978-3-540-69717-6ISSN 0302-9743​​ 
• Grattan-Guinness, Ivor (2000). La búsqueda de las raíces matemáticas, 1870-1940: lógicas, teorías de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas desde Cantor hasta Russell y Gödel . Princeton University Press . ISBN 9780691058580. JSTOR j.ctt7rp8j . 
• Petsche, Hans-Joachim (2006). Fellmann, Emil A. (ed.). Graßmann . Vita Mathematica (en alemán). Vol.  13. Basilea, Suiza: Birkhäuser. ISBN 3-7643-7257-5.
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• Petsche, Hans-Joachim; Kannenberg, Lloyd C.; Keßler, Gottfried; Liskowacka, Jolanta, eds. (2009). Hermann Graßmann – Raíces y huellas . Basilea, Suiza: Birkhäuser. doi : 10.1007/978-3-0346-0155-9 . ISBN 978-3-0346-0155-9. LCCN 2009930234 . 
• Petsche, Hans-Joachim; Liesen, Jörg; Lewis, Alberto C.; Russ, Steve, eds. (Septiembre de 2011). Del pasado al futuro: la obra de Graßmann en contexto . Conferencia del Bicentenario de Graßmann . Potsdam-Szczecin: Birkhäuser. doi : 10.1007/978-3-0346-0405-5 . ISBN 978-3-0346-0404-8.
• Lenke, Peter C.; Petsche, Hans-Joachim, eds. (2010). Conferencia internacional Grassmann: Potsdam y Szczecin (DVD). Universitätsverlag Potsdam. ISBN 978-3-86956-093-9.
• Schlegel, Víctor (1878). Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke (en alemán). Leipzig, Alemania: Friedrich Arnold Brockhaus .
• Schubring, Gert, ed. (1996). Hermann Günther Graßmann (1809–1877): Matemático visionario, científico y erudito neohumanista . Boston Studies in the Philosophy of Science. Vol.  187. Springer. doi : 10.1007/978-94-015-8753-2 . ISBN 978-94-015-8753-2ISSN 0068-0346​​ 

Nota: Amplia bibliografía en línea que revela un considerable interés contemporáneo por la vida y obra de Grassmann. Se citan las referencias de cada capítulo de Schubring.

• El archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor:
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Hermann Grassmann" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
  • Espacios lineales abstractos. Analiza el papel de Grassmann y otras figuras del siglo XIX en la invención del álgebra lineal y los espacios vectoriales.
• Página principal de Fearnley-Sander .
• Conferencia del Bicentenario de Grassmann (1809-1877), 16-19 de septiembre de 2009, Potsdam/Szczecin (Alemania/Polonia) : Del pasado al futuro: La obra de Grassmann en contexto.
• "El método Grassmann en geometría proyectiva" – Una recopilación de traducciones al inglés de tres notas de Cesare Burali-Forti sobre la aplicación del álgebra exterior de Grassmann a la geometría proyectiva.
• C. Burali-Forti, "Introducción a la geometría diferencial, siguiendo el método de H. Grassmann" (traducción al inglés de un libro de un discípulo temprano de Grassmann)
• "Mecánica, según los principios de la teoría de la extensión" – Traducción al inglés de uno de los artículos de Grassmann sobre las aplicaciones del álgebra exterior.