Homeomorfismo

En matemáticas , y más específicamente en topología , un homeomorfismo ( del griego , que significa "forma similar", nombre acuñado por Henri Poincaré ), ^{[ 1 ] [ 2 ]} también llamado isomorfismo topológico o función bicontinua , es una función biyectiva y continua entre espacios topológicos que tiene una función inversa continua . Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos ; es decir, son las aplicaciones que preservan todas las propiedades topológicas de un espacio dado. Dos espacios con un homeomorfismo entre ellos se denominan homeomorfos , y desde un punto de vista topológico son idénticos.

En términos generales, un espacio topológico es un objeto geométrico , y un homeomorfismo resulta de una deformación continua del objeto en una nueva forma. Así, un cuadrado y un círculo son homeomorfos entre sí, pero una esfera y un toro no lo son. Sin embargo, esta descripción puede ser engañosa. Algunas deformaciones continuas no producen homeomorfismos, como la deformación de una línea en un punto. Algunos homeomorfismos no resultan de deformaciones continuas, como el homeomorfismo entre un nudo de trébol y un círculo. Homotopía e isotopía son definiciones precisas del concepto informal de deformación continua .

Una función${\displaystyle f:X\to Y}$La relación entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle f}$es una biyección ( uno a uno y sobreyectiva ),
• ${\displaystyle f}$es continuo ,
• la función inversa${\displaystyle f^{-1}}$es continuo (${\displaystyle f}$es un mapeo abierto ).

Un homeomorfismo a veces se denomina función bicontinua . Si existe tal función,${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son homeomorfos . Un autohomeomorfismo es un homeomorfismo de un espacio topológico sobre sí mismo. Ser "homeomorfo" es una relación de equivalencia en espacios topológicos. Sus clases de equivalencia se llaman clases de homeomorfismo .

El tercer requisito, que${\textstyle f^{-1}}$Es esencial que sea continua . Consideremos, por ejemplo, la función${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$(el círculo unitario en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) definido por${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$Esta función es biyectiva y continua, pero no un homeomorfismo (${\textstyle S^{1}}$es compacto pero${\textstyle [0,2\pi )}$no lo es). La función${\textstyle f^{-1}}$no es continuo en el punto${\textstyle (1,0),}$porque aunque${\textstyle f^{-1}}$mapas${\textstyle (1,0)}$a${\textstyle 0,}$cualquier vecindario de este punto también incluye puntos que la función mapea cerca de${\textstyle 2\pi ,}$pero los puntos que asigna a números intermedios se encuentran fuera del vecindario. ^{[ 3 ]}

Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos . Como tal, la composición de dos homeomorfismos es también un homeomorfismo, y el conjunto de todos los autohomeomorfismos${\textstyle X\to X}$forma un grupo , llamado grupo de homeomorfismos de X , a menudo denotado${\textstyle \operatorname {Homeo} (X).}$A este grupo se le puede dar una topología, como la topología compacta-abierta , que bajo ciertas suposiciones lo convierte en un grupo topológico . ^{[ 4 ]}

En algunos contextos, existen objetos homeomorfos que no pueden deformarse continuamente de uno a otro. La homotopía y la isotopía son relaciones de equivalencia que se han introducido para abordar este tipo de situaciones.

De manera similar, como es habitual en la teoría de categorías, dados dos espacios que son homeomorfos, el espacio de homeomorfismos entre ellos,${\textstyle \operatorname {Homeo} (X,Y),}$es un torsor para los grupos de homeomorfismo${\textstyle \operatorname {Homeo} (X)}$y${\textstyle \operatorname {Homeo} (Y),}$y, dado un homeomorfismo específico entre${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y,}$Se han identificado los tres conjuntos.

• El intervalo abierto${\textstyle (a,b)}$es homeomorfo a los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$para cualquier${\textstyle a<b.}$(En este caso, se da una aplicación bicontinua hacia adelante por${\textstyle f(x)={\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{bx}}}$mientras que otras asignaciones de este tipo vienen dadas por versiones escaladas y trasladadas de las funciones tan o arg tanh ).
• El disco de unidad cerrada${\textstyle D^{2}}$centrado en el origen y el cuadrado${\textstyle [-1,1]^{2}}$en​${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$son homeomorfos; puesto que el disco unitario puede deformarse en el cuadrado unitario. Un ejemplo de una aplicación bicontinua del cuadrado al disco es, en coordenadas polares ,$${\displaystyle (\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).}$$
• La gráfica de una función diferenciable es homeomorfa al dominio de la función.
• Una parametrización diferenciable de una curva es un homeomorfismo entre el dominio de la parametrización y la curva.
• Un gráfico de una variedad es un homeomorfismo entre un subconjunto abierto de la variedad y un subconjunto abierto de un espacio euclidiano .
• La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre la esfera unitaria en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$⁠ con un solo punto eliminado y el conjunto de todos los puntos en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$( un plano bidimensional).
• Si${\displaystyle G}$es un grupo topológico , su mapa de inversión${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$es un homeomorfismo. Además, para cualquier${\displaystyle x\in G,}$la traducción de la izquierda${\displaystyle y\mapsto xy,}$la traducción correcta${\displaystyle y\mapsto yx,}$y el automorfismo interno${\displaystyle y\mapsto xyx^{-1}}$son homeomorfismos.

• Dos espacios homeomorfos comparten las mismas propiedades topológicas . Por ejemplo, si uno es compacto , el otro también lo es; si uno es conexo , el otro también lo es; si uno es Hausdorff , el otro también lo es; sus grupos de homotopía y homología coincidirán. Sin embargo, cabe destacar que esto no se extiende a las propiedades definidas mediante una métrica ; existen espacios métricos que son homeomorfos aunque uno sea completo y el otro no.
• Un homeomorfismo es simultáneamente una aplicación abierta y una aplicación cerrada ; es decir, asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos y conjuntos cerrados a conjuntos cerrados.
• Cada autohomeomorfismo en${\displaystyle S^{1}}$puede extenderse a un autohomeomorfismo de todo el disco${\displaystyle D^{2}}$( El truco de Alejandro ).

El criterio intuitivo de estirar, doblar, cortar y volver a unir requiere cierta práctica para aplicarse correctamente ; por ejemplo , puede que no resulte obvio a partir de la descripción anterior que deformar un segmento de línea hasta un punto sea inadmisible. Por lo tanto, es importante comprender que lo que importa es la definición formal dada anteriormente. En este caso, por ejemplo, el segmento de línea posee infinitos puntos y, por consiguiente, no puede biyectarse con un conjunto que contenga solo un número finito de puntos, incluido un único punto.

Esta caracterización de un homeomorfismo suele generar confusión con el concepto de homotopía , que en realidad se define como una deformación continua, pero de una función a otra, en lugar de de un espacio a otro. En el caso de un homeomorfismo, visualizar una deformación continua es una herramienta mental para recordar qué puntos del espacio X corresponden a qué puntos del espacio Y ; simplemente se siguen a medida que X se deforma. En el caso de la homotopía, la deformación continua de una aplicación a otra es esencial, y además es menos restrictiva, ya que ninguna de las aplicaciones involucradas necesita ser biyectiva o sobreyectiva. La homotopía sí da lugar a una relación en los espacios: la equivalencia homotópica .

Existe un nombre para el tipo de deformación que implica la visualización de un homeomorfismo. Es (excepto cuando se requiere cortar y volver a pegar) una isotopía entre el mapa identidad en X y el homeomorfismo de X a Y.

• Homeomorfismo local : función matemática reversible cerca de cada punto. 
• Difeomorfismo – Isomorfismo de variedades diferenciables 
• Isomorfismo uniforme : un homeomorfismo uniformemente continuo es un isomorfismo entre espacios uniformes. 
• Isomorfismo isométrico : transformación matemática que preserva la distancia. Las páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección son un isomorfismo entre espacios métricos. 
• grupo de homeomorfismo
• Torsión de Dehn : término en topología geométrica. 
• Homeomorfismo (teoría de grafos) : grafos que difieren únicamente por la subdivisión de aristas (estrechamente relacionado con la subdivisión de grafos). 
• Homotopía#Isotopía – Deformación continua entre dos funciones continuas 
• Grupo de clases de mapeo : grupo de clases de isotopía de un grupo de automorfismos topológicos. 
• Conjetura de Poincaré – Teorema en topología geométrica 
• homeomorfismo universal

• "Homeomorfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]