Teorema de Taylor

La formulación precisa de la versión más básica del teorema de Taylor es la siguiente:

El polinomio que aparece en el teorema de Taylor es el${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$polinomio de Taylor de orden -ésimo

$${\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$$

de la función${\displaystyle f}$en ese punto${\displaystyle a}$El polinomio de Taylor es el único polinomio de "mejor ajuste asintótico" en el sentido de que si existe una función${\displaystyle h_{k}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$y un${\textstyle k}$polinomio de orden -ésimo p tal que

$${\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}$$

entonces${\displaystyle p=P_{k}}$El teorema de Taylor describe el comportamiento asintótico del término restante .

$${\displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$$

que es el error de aproximación al aproximar f con su polinomio de Taylor. Usando la notación de o minúscula , el enunciado del teorema de Taylor se lee como

$${\displaystyle R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}$$

Bajo supuestos de regularidad más estrictos sobre f, existen varias fórmulas precisas para el término restante R _k del polinomio de Taylor, siendo las más comunes las siguientes.

Estos refinamientos del teorema de Taylor se suelen demostrar utilizando el teorema del valor medio , de ahí su nombre. Además, observe que este es precisamente el teorema del valor medio cuando${\textstyle k=0}$También se pueden encontrar otras expresiones similares. Por ejemplo, si G ( t ) es continua en el intervalo cerrado y diferenciable con una derivada no nula en el intervalo abierto entre${\textstyle a}$y${\textstyle x}$, entonces

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}$$

por algún número${\textstyle \xi }$entre${\textstyle a}$y${\textstyle x}$Esta versión cubre las formas de Lagrange y Cauchy del resto como casos especiales, y se demuestra a continuación utilizando el teorema del valor medio de Cauchy . La forma de Lagrange se obtiene tomando${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$y la forma de Cauchy se obtiene tomando${\displaystyle G(t)=t-a}$.

La formulación para la forma integral del resto es más avanzada que las anteriores y requiere la comprensión de la teoría de integración de Lebesgue para su plena generalidad. Sin embargo, también es válida en el sentido de la integral de Riemann, siempre que la derivada ( k  +  1) de f sea continua en el intervalo cerrado [ a , x ].

Debido a la continuidad absoluta de f ^{( k )} en el intervalo cerrado entre${\textstyle a}$y${\textstyle x}$, su derivada f ^{( k +1)} existe como una función L ¹ , y el resultado puede probarse mediante un cálculo formal utilizando el teorema fundamental del cálculo y la integración por partes .

En la práctica, suele ser útil poder estimar el término restante que aparece en la aproximación de Taylor, en lugar de tener una fórmula exacta para él. Supongamos que f es ( k + 1) veces continuamente diferenciable en un intervalo I que contiene a . Supongamos que existen constantes reales q y Q tales que

$${\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}$$

a lo largo de I . Entonces el término restante satisface la desigualdad ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}$$

si x > a , y una estimación similar si x < a . Esta es una simple consecuencia de la forma lagrangiana del resto. En particular, si

$${\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}$$

en un intervalo I = ( a − r , a + r ) con algún${\displaystyle r>0}$, entonces

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}$$

para todo x ∈( a − r , a + r ). La segunda desigualdad se llama estimación uniforme , porque se cumple uniformemente para todo x en el intervalo ( a − r , a + r ).

Supongamos que deseamos encontrar el valor aproximado de la función${\textstyle f(x)=e^{x}}$en el intervalo${\textstyle [-1,1]}$mientras se garantiza que el error en la aproximación no sea mayor que 10⁻⁵ ^. En este ejemplo, suponemos que solo conocemos las siguientes propiedades de la función exponencial:

De estas propiedades se deduce que${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$a pesar de${\textstyle k}$y en particular,${\textstyle f^{(k)}(0)=1}$. Por lo tanto, el${\textstyle k}$Polinomio de Taylor de orden -ésimo${\textstyle f}$en${\textstyle 0}$y su término restante en la forma de Lagrange se dan por

$${\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},}$$

dónde${\textstyle \xi }$es algún número entre 0 y x . Dado que e ^x está aumentando en ( ★ ), podemos simplemente usar${\textstyle e^{x}\leq 1}$para${\textstyle x\in [-1,0]}$estimar el resto en el subintervalo${\displaystyle [-1,0]}$Para obtener una cota superior para el resto en${\displaystyle [0,1]}$, utilizamos la propiedad${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$para${\textstyle 0<\xi <x}$estimar

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}$$

utilizando la expansión de Taylor de segundo orden. Luego resolvemos para e ^x para deducir que

$${\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}$$

simplemente maximizando el numerador y minimizando el denominador . Combinando estas estimaciones para e ^x vemos que

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,}$$

de modo que ciertamente se alcanza la precisión requerida, cuando

$${\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.}$$

(Ver factorial o calcular manualmente los valores)${\textstyle 9!=362880}$y${\textstyle 10!=3628800}$.) Como conclusión, el teorema de Taylor conduce a la aproximación

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}$$

Por ejemplo, esta aproximación proporciona una expresión decimal.${\displaystyle e\approx 2.71828}$, correcto hasta cinco decimales.

Sea I ⊂ R un intervalo abierto . Por definición, una función f  : I → R es analítica real si está definida localmente por una serie de potencias convergente . Esto significa que para cada a  ∈ I existe algún r > 0 y una sucesión de coeficientes c _k ∈ R tales que ( a − r , a + r ) ⊂ I y     

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.}$$

En general, el radio de convergencia de una serie de potencias se puede calcular a partir de la fórmula de Cauchy-Hadamard.

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.}$$

Este resultado se basa en la comparación con una serie geométrica , y el mismo método muestra que si la serie de potencias basada en a converge para algún b ∈ R , debe converger uniformemente en el intervalo cerrado.${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$, dónde${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$. Aquí solo se considera la convergencia de la serie de potencias, y bien podría ser que ( a − R , a + R ) se extienda más allá del dominio I de f .

Los polinomios de Taylor de la función analítica real f en a son simplemente las truncaciones finitas.

$${\displaystyle P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}}$$

de su serie de potencias definitoria local, y los términos restantes correspondientes vienen dados localmente por las funciones analíticas.

$${\displaystyle R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.}$$

Aquí están las funciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\[1ex]&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}}$$

También son analíticas, ya que sus series de potencias definitorias tienen el mismo radio de convergencia que la serie original. Suponiendo que [ a − r , a + r ] ⊂ I y r  < R , todas estas series convergen uniformemente en ( a − r , a + r ) . Naturalmente, en el caso de funciones analíticas se puede estimar el término restante. ${\textstyle R_{k}(x)}$por la cola de la secuencia de las derivadas f′ ( a ) en el centro de la expansión, pero utilizando análisis complejo también surge otra posibilidad, que se describe a continuación .

La serie de Taylor de f convergerá en algún intervalo en el que todas sus derivadas estén acotadas y no crezcan demasiado rápido cuando k tiende a infinito. (Sin embargo, incluso si la serie de Taylor converge, podría no converger a f , como se explica más adelante; en ese caso, se dice que f no es analítica ).

Uno podría pensar en la serie Taylor.

$${\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots }$$

de una función infinitamente diferenciable f  : R → R como su "polinomio de Taylor de orden infinito" en a . Ahora bien, las estimaciones para el resto implican que si, para cualquier r , las derivadas de f están acotadas sobre ( a  − r , a + r ), entonces para cualquier orden k y para cualquier r > 0 existe una constante M _k,r > 0 tal que     

para todo x  ∈  ( a  − r , a + r ). A veces, las constantes M _k,r se pueden elegir de tal manera que M _k,r esté acotada superiormente, para un r fijo y todo k . Entonces, la serie de Taylor de f converge uniformemente a alguna función analítica   

$${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}}$$

(También se obtiene convergencia incluso si M _k,r no está acotada superiormente, siempre que crezca lo suficientemente lento).

La función límite T _f es, por definición, siempre analítica, pero no necesariamente igual a la función original f , incluso si f es infinitamente diferenciable. En este caso, decimos que f es una función suave no analítica , por ejemplo, una función plana :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Utilizando repetidamente la regla de la cadena por inducción matemática , se demuestra que para cualquier orden k , 

$${\displaystyle f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}$$

para algún polinomio p _k de grado 2( k − 1). La función${\displaystyle e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}$tiende a cero más rápido que cualquier polinomio como${\textstyle x\to 0}$, por lo que f es infinitamente diferenciable y f ^{( k )} (0) = 0 para todo entero positivo k . Todos los resultados anteriores se cumplen en este caso:

• La serie de Taylor de f converge uniformemente a la función cero T _f ( x )  =  0, que es analítica con todos los coeficientes iguales a cero.
• La función f es diferente de esta serie de Taylor y, por lo tanto, no es analítica.
• Para cualquier orden k  ∈ N y radio r > 0 existe M _k,r > 0 que satisface la cota del resto ( ★★ ) anterior.      

Sin embargo, a medida que k aumenta para un r fijo , el valor de M _k,r crece más rápidamente que r ^k , y el error no tiende a cero .

El teorema de Taylor se generaliza a funciones f  : C → C que son diferenciables en el sentido complejo en un subconjunto abierto U  ⊂ C del plano complejo . Sin embargo, su utilidad se ve eclipsada por otros teoremas generales del análisis complejo . En concreto, se pueden deducir versiones más fuertes de resultados relacionados para funciones diferenciables en el sentido complejo f : U → C utilizando la fórmula integral de Cauchy como sigue.     

Sea r  >  0 tal que el disco cerrado B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) esté contenido en U . Entonces la fórmula integral de Cauchy con una parametrización positiva γ ( t ) = z + re ^it del círculo S ( z , r ) con    ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ da

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.}$$

Aquí todos los integrandos son continuos en el círculo S ( z , r ), lo que justifica la diferenciación bajo el signo integral. En particular, si f es una vez diferenciable compleja en el conjunto abierto U , entonces es infinitas veces diferenciable compleja en U . También se obtiene la estimación de Cauchy ^{[ 12 ].} 

$${\displaystyle |f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|}$$

para cualquier z  ∈ U y r > 0 tal que B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . La estimación implica que la serie de Taylor compleja         

$${\displaystyle T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}}$$

de f converge uniformemente en cualquier disco abierto${\textstyle B(c,r)\subset U}$con${\textstyle S(c,r)\subset U}$en alguna función T _f . Además, utilizando las fórmulas integrales de contorno para las derivadas f ^{( k )} ( c ),

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw\\&=f(z),\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, cualquier función diferenciable compleja f en un conjunto abierto U  ⊂ C es de hecho analítica compleja . Todo lo que se dice aquí para las funciones analíticas reales también se aplica a las funciones analíticas complejas con el intervalo abierto I reemplazado por un subconjunto abierto U ∈ C y los intervalos centrados en a ( a − r , a + r ) reemplazados por discos centrados en c B ( c , r ). En particular, el desarrollo de Taylor se cumple en la forma         

$${\displaystyle f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},}$$

donde el término restante R _k es analítico complejo. Los métodos de análisis complejo proporcionan algunos resultados poderosos con respecto a las expansiones de Taylor. Por ejemplo, utilizando la fórmula integral de Cauchy para cualquier curva de Jordan orientada positivamente.${\textstyle \gamma }$que parametriza el límite${\textstyle \partial W\subset U}$de una región${\textstyle W\subset U}$Se obtienen expresiones para las derivadas f ^{( j )} ( c ) como se indicó anteriormente, y modificando ligeramente el cálculo para T _f ( z ) = f ( z ) , se llega a la fórmula exacta.

$${\displaystyle R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.}$$

La característica importante aquí es la calidad de la aproximación mediante un polinomio de Taylor en la región.${\textstyle W\subset U}$está dominado por los valores de la función f misma en el límite${\textstyle \partial W\subset U}$De manera similar, al aplicar las estimaciones de Cauchy a la expresión en serie para el resto, se obtienen las estimaciones uniformes.

$${\displaystyle |R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.}$$

La función

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}$$

es analítica real , es decir, determinada localmente por su serie de Taylor. Esta función se graficó arriba para ilustrar el hecho de que algunas funciones elementales no pueden aproximarse mediante polinomios de Taylor en entornos del centro de expansión que son demasiado grandes. Este tipo de comportamiento se entiende fácilmente en el marco del análisis complejo. Es decir, la función f se extiende a una función meromorfa.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}}$$

en el plano complejo compactificado. Tiene polos simples en${\textstyle z=i}$y${\textstyle z=-i}$y es analítica en otros lugares. Ahora bien, su serie de Taylor centrada en z ₀ converge en cualquier disco B ( z ₀ , r ) con r < | z  − z ₀ |, donde la misma serie de Taylor converge en z ∈ C . Por lo tanto, la serie de Taylor de f centrada en 0 converge en B (0, 1) y no converge para ningún z ∈ C con | z | > 1 debido a los polos en i y − i . Por la misma razón, la serie de Taylor de f centrada en 1 converge en     ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$y no converge para ningún z  ∈ C con ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$.

Una función f : R ⁿ → R es diferenciable en a ∈ R ⁿ si y solo si existe un funcional lineal L  : R ⁿ → R y una función h  : R ⁿ → R tales que

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.}$$

Si este es el caso, entonces${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$es el diferencial (definido de forma única) de f en el punto a . Además, entonces las derivadas parciales de f existen en a y el diferencial de f en a viene dado por

$${\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.}$$

Introduzca la notación de índice múltiple.

$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha$$ !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}

para α ∈ N ⁿ y x ∈ R ⁿ . Si todos los${\textstyle k}$Las derivadas parciales de orden -ésimo de f  : R ⁿ → R son continuas en a ∈ R ⁿ , entonces por el teorema de Clairaut , se puede cambiar el orden de las derivadas mixtas en a , por lo que la notación abreviada

$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial {\boldsymbol {x}}^{\alpha }}}={\frac {\partial ^{\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

para las derivadas parciales de orden superior está justificado en esta situación. Lo mismo es cierto si todas las derivadas parciales de orden ( k − 1 ) de f existen en algún entorno de a y son diferenciables en a . ^{[ 13 ]} Entonces decimos que f es k veces diferenciable en el punto a  .

Utilizando las notaciones de la sección anterior, se obtiene el siguiente teorema.

Si la función f  : R ⁿ → R es k + 1 veces continuamente diferenciable en una bola cerrada${\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}}$para algunos${\displaystyle r>0}$, entonces se puede derivar una fórmula exacta para el resto en términos de derivadas parciales de orden ( k +1 ) de f en este entorno. ^{[ 15 ]} A saber,

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha$$ !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta  !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}

En este caso, debido a la continuidad de las derivadas parciales de orden ( k +1 ) en el conjunto compacto B , se obtienen inmediatamente las estimaciones uniformes.

$${\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta$$ !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}

Por ejemplo, el polinomio de Taylor de tercer orden de una función suave${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$es, denotando${\displaystyle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}}$,

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}$$

Sea ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}$$

donde, como en el enunciado del teorema de Taylor,

$${\displaystyle P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

Basta con demostrar que

$${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$$

La demostración aquí se basa en la aplicación repetida de la regla de L'Hôpital . Nótese que, para cada${\textstyle j=0,1,...,k-1}$,${\displaystyle f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)}$. Por lo tanto, cada uno de los primeros${\textstyle k-1}$derivadas del numerador en${\displaystyle h_{k}(x)}$desaparece en${\displaystyle x=a}$y lo mismo ocurre con el denominador. Además, dado que la condición es que la función${\textstyle f}$ser${\textstyle k}$tiempos diferenciables en un punto requiere diferenciabilidad hasta orden${\textstyle k-1}$en un vecindario de dicho punto (esto es cierto, porque la diferenciabilidad requiere que una función esté definida en todo un vecindario de un punto), el numerador y su${\textstyle k-2}$Las derivadas son diferenciables en un entorno de${\textstyle a}$. Claramente, el denominador también satisface dicha condición y, además, no desaparece a menos que${\textstyle x=a}$Por lo tanto, se cumplen todas las condiciones necesarias para la regla de L'Hôpital y su uso está justificado. Así pues,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&=\cdots \\[1ex]&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}$$

donde la penúltima igualdad se deduce de la definición de la derivada en${\textstyle x=a}$.

Dejar${\displaystyle f(x)}$Sea cualquier función continua de valor real que se aproxime mediante el polinomio de Taylor.

Paso 1: Dejar${\textstyle F}$y${\textstyle G}$ser funciones. Establecer${\textstyle F}$y${\textstyle G}$ser

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}}$$

Paso 2: Propiedades de${\textstyle F}$y${\textstyle G}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}(a-a)^{n-1}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}}$$

Similarmente,

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {f''(a)}{(2-1)!}}(a-a)^{(2-1)}-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-2)!}}(a-a)^{n-2}=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}}$$

Paso 3: Utilizar el teorema del valor medio de Cauchy.

Dejar${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle g_{1}}$ser funciones continuas en${\displaystyle [a,b]}$. Desde${\displaystyle a<x<b}$para que podamos trabajar con el intervalo${\displaystyle [a,x]}$. Dejar${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle g_{1}}$ser diferenciable en${\displaystyle (a,x)}$. Asumir${\displaystyle g_{1}'(x)\neq 0}$a pesar de${\displaystyle x\in (a,b)}$Entonces existe${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$de tal manera que

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

Nota:${\displaystyle G'(x)\neq 0}$en${\displaystyle (a,b)}$y${\displaystyle F(a),G(a)=0}$entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

para algunos${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$.

Esto también se puede realizar para${\displaystyle (a,c_{1})}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}}$$

para algunos${\displaystyle c_{2}\in (a,c_{1})}$Esto puede continuarse${\displaystyle c_{n}}$.

Esto da una partición en${\displaystyle (a,b)}$:

$${\displaystyle a<c_{n}<c_{n-1}<\dots <c_{1}<x}$$

con

$${\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}=\dots ={\frac {F^{(n)}(c_{n})}{G^{(n)}(c_{n})}}.}$$

Colocar${\displaystyle c=c_{n}}$:

$${\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}}$$

Paso 4: Sustituir de nuevo

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}{(x-a)^{n}}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}\end{aligned}}}$$