Función suave no analítica

En análisis real , una función suave es infinitamente diferenciable en cada punto de su dominio , mientras que una función analítica real es, en cada punto de su dominio, el límite de una serie de potencias convergente en un entorno de dicho punto. Todas las funciones analíticas reales son suaves, pero existen funciones reales suaves que no son analíticas reales, como se muestra a continuación.

La existencia de funciones suaves pero no analíticas representa una de las principales diferencias entre la geometría diferencial y la geometría analítica . En términos de la teoría de haces , esta diferencia se puede expresar de la siguiente manera: el haz de funciones diferenciables en una variedad diferenciable es fino , a diferencia del caso analítico.

Funciones reales suaves con dominio${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y con soporte de cierre compacto ( funciones bump ) no son analíticas en cada punto límite del cierre de su soporte. Una de las aplicaciones más importantes de las funciones suaves con soporte de cierre compacto es la construcción de los llamados suavizadores , que son importantes en teorías de funciones generalizadas , como la teoría de distribuciones de Laurent Schwartz .

Las funciones que se describen a continuación se utilizan generalmente para construir particiones de la unidad en variedades diferenciables.

Un ejemplo más patológico es una función infinitamente diferenciable que no es analítica en ningún punto . Se puede construir mediante una serie de Fourier de la siguiente manera. Definimos para todo${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}\cos(2^{k}x)\ .}$

Desde la serie${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}}$converge para todos${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, se puede ver fácilmente que esta función es de clase C ^∞ , mediante una aplicación inductiva estándar de la prueba M de Weierstrass para demostrar la convergencia uniforme de cada serie de derivadas.

Ahora demostramos que${\displaystyle F(x)}$no es analítica en ningún múltiplo racional diádico de π, es decir, en ningún${\displaystyle x:=\pi \cdot p\cdot 2^{-q}}$con${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$. Dado que la suma de los primeros${\displaystyle q}$Los términos son analíticos, solo necesitamos considerar${\displaystyle F_{>q}(x)}$, la suma de los términos con${\displaystyle k>q}$. Para todos los órdenes de derivación${\displaystyle n=2^{m}}$con${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$,${\displaystyle m\geq 2}$y${\displaystyle m>q/2}$tenemos

${\displaystyle F_{>q}^{(n)}(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\cos(2^{k}x)=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\geq e^{-n}n^{2n}\quad (\mathrm {as} \;n\to \infty )}$

donde utilizamos el hecho de que${\displaystyle \cos(2^{k}x)=1}$a pesar de${\displaystyle 2^{k}>2^{q}}$y acotamos la primera suma por debajo mediante el término con${\displaystyle 2^{k}=2^{2m}=n^{2}}$. En consecuencia, en cualquier momento de este tipo${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left({\frac {|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}}\right)^{1/n}=+\infty \,,}$

de modo que el radio de convergencia de la serie de Taylor de ${\displaystyle F_{>q}}$ en ${\displaystyle x}$ es 0 por la fórmula de Cauchy-Hadamard . Dado que el conjunto de analiticidad de una función es un conjunto abierto, y dado que los racionales diádicos son densos , concluimos que ${\displaystyle F_{>q}}$y por lo tanto${\displaystyle F}$, no es analítico en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Para cada sucesión α₀ _, α₁ _, α₂ _, ...  de números  reales o complejos , la siguiente construcción demuestra la existencia de una función suave F en la recta real cuyas derivadas en el origen son estos números. ^{[ 1 ]} En particular, toda sucesión de números puede aparecer como los coeficientes de la serie de Taylor de una función suave. Este resultado se conoce como el lema de Borel , en honor a Émile Borel .

Con la función de transición suave g como se indicó anteriormente, defina

${\displaystyle h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in \mathbb {R} .}$

Esta función h también es suave; es igual a 1 en el intervalo cerrado [ − 1,1 ] y se anula fuera del intervalo abierto ( − 2,2 ). Usando h , defina para cada número natural n (incluido el cero) la función suave

${\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}\,h(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

que coincide con el monomio x ⁿ en [ − 1,1 ] y se anula fuera del intervalo ( − 2,2). Por lo tanto, la k -ésima derivada de ψ _n en el origen satisface

${\displaystyle \psi _{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}n!&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\quad k,n\in \mathbb {N} _{0},}$

y el teorema de acotación implica que ψ _n y cada derivada de ψ _n están acotadas. Por lo tanto, las constantes

${\displaystyle \lambda _{n}=\max {\bigl \{}1,|\alpha _{n}|,\|\psi _{n}\|_{\infty },\|\psi _{n}^{(1)}\|_{\infty },\ldots ,\|\psi _{n}^{(n)}\|_{\infty }{\bigr \}},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},}$

que involucran la norma suprema de ψ _n y sus primeras n derivadas, son números reales bien definidos. Definimos las funciones escaladas

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n}}}\psi _{n}(\lambda _{n}x),\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} .}$

Mediante la aplicación repetida de la regla de la cadena ,

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\psi _{n}^{(k)}(\lambda _{n}x),\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} ,}$

y, utilizando el resultado anterior para la k -ésima derivada de ψ _n en cero,

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}\alpha _{n}&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0}.}$

Queda por demostrar que la función

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

está bien definido y puede diferenciarse término por término infinitas veces. ^{[ 2 ]} Para ello, observe que para cada k

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}^{(k)}\|_{\infty }\leq \sum _{n=0}^{k+1}{\frac {|\alpha _{n}|}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }+\sum _{n=k+2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {\frac {1}{\lambda _{n}^{n-k-2}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {|\alpha _{n}|}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}<\infty ,}$

donde la serie infinita restante converge según el criterio de la razón .

Para cada radio r  >  0,

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\ni x\mapsto \Psi _{r}(x)=f(r^{2}-\|x\|^{2})}$

con norma euclidiana || x || define una función suave en el espacio euclidiano n- dimensional con soporte en la bola de radio r , pero${\displaystyle \Psi _{r}(0)>0}$.

This pathology cannot occur with differentiable functions of a complex variable rather than of a real variable. Indeed, all holomorphic functions are analytic, so that the failure of the function f defined in this article to be analytic in spite of its being infinitely differentiable is an indication of one of the most dramatic differences between real-variable and complex-variable analysis.

Note that although the function f has derivatives of all orders over the real line, the analytic continuation of f from the positive half-line x > 0 to the complex plane, that is, the function

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto e^{-{\frac {1}{z}}}\in \mathbb {C} ,}$

has an essential singularity at the origin, and hence is not even continuous, much less analytic. By the great Picard theorem, it attains every complex value (with the exception of zero) infinitely many times in every neighbourhood of the origin.

• Bump function
• Fabius function
• Flat function
• Mollifier

• "Infinitely-differentiable function that is not analytic". PlanetMath.