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Función plana

La función es plana en . y ( incógnita ≠ 0 ) = mi − 1 / incógnita 2 , {\displaystyle y(x\neq 0)=e^{-1/x^{2}},} y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0} incógnita = 0 {\displaystyle x=...

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La función es plana en . y ( incógnita ≠ 0 ) = mi − 1 / incógnita 2 , {\displaystyle y(x\neq 0)=e^{-1/x^{2}},} y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0} incógnita = 0 {\displaystyle x=0}

En matemáticas , especialmente en análisis real , una función real es plana si todas sus derivadas existen y son iguales a 0 . incógnita 0 estilo de visualización x_{0}} incógnita 0 estilo de visualización x_{0}}

Una función que es plana en no es analítica en a menos que sea constante en un entorno de (ya que una función analítica debe ser igual a la suma de su serie de Taylor ). incógnita 0 estilo de visualización x_{0}} incógnita 0 estilo de visualización x_{0}} incógnita 0 estilo de visualización x_{0}}

Un ejemplo de una función plana en 0 es la función tal que y para F ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} F ( incógnita ) = mi − 1 / incógnita 2 {\estilo de texto f(x)=e^{-1/x^{2}}} incógnita ≠ 0. {\displaystyle x\neq 0.}

La función no necesita ser plana en un solo punto. Trivialmente, las funciones constantes en son planas en todas partes. Pero también hay otros ejemplos menos triviales; por ejemplo, la función tal que para y para R {\displaystyle \mathbb {R}} F ( incógnita ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} incógnita ≤ 0 {\displaystyle x\leq 0} F ( incógnita ) = mi − 1 / incógnita 2 {\estilo de texto f(x)=e^{-1/x^{2}}} incógnita > 0. {\displaystyle x>0.}

Ejemplo

La función definida por

F ( incógnita ) = { mi − 1 / incógnita 2 si  incógnita ≠ 0 0 si  incógnita = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{si }}x\neq 0\\0&{\text{si }}x=0\end{cases}}}

es plana en . Por lo tanto, este es un ejemplo de una función suave no analítica . La naturaleza patológica de este ejemplo se ilustra parcialmente por el hecho de que su extensión a los números complejos , de hecho, no es diferenciable . incógnita = 0 {\displaystyle x=0}

Referencias

  • Glaister, P. (diciembre de 1991), Una función plana con algunas propiedades interesantes y una aplicación , The Mathematical Gazette, vol. 75, núm. 474, págs. 438-440, JSTOR  3618627
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