0

Según el contexto, se pueden usar diferentes palabras para referirse al número cero o al concepto de cero. Para la simple noción de falta, se suelen usar las palabras " nada " ( aunque esto no es exacto ) y "ninguno". Las palabras inglesas "nought" o "naught" , " nil " y null también son sinónimas. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

A menudo se le llama "o" en el contexto de la lectura de una secuencia de dígitos, como números de teléfono , direcciones postales , números de tarjetas de crédito , hora militar o años. Por ejemplo, el código de área 201 puede pronunciarse "dos cero uno", y el año 1907 se pronuncia a menudo "diecinueve cero siete". La presencia de otros dígitos, que indican que la secuencia contiene solo números, evita la confusión con la letra O. Por esta razón, los sistemas que incluyen secuencias con letras y números (como los códigos postales en el Reino Unido ) pueden excluir el uso de la letra O. ^{[ 7 ]}

Entre las palabras coloquiales para cero se incluyen "zip", "zilch", "nada" y "scratch". ^{[ 8 ]} En el contexto deportivo, a veces se usa "nil", especialmente en inglés británico . Varios deportes tienen palabras específicas para una puntuación de cero, como " love " en tenis —posiblemente del francés l'œuf , "el huevo"— y " duck " en críquet , una abreviatura de "duck's egg" (huevo de pato). "Goose egg" (huevo de ganso) es otro término coloquial general que se usa para cero. ^{[ 8 ]}

En los sistemas de numeración posicional (como la notación decimal habitual para representar números), el dígito 0 actúa como un marcador de posición, indicando que ciertas potencias de la base no contribuyen. Por ejemplo, el número decimal 205 es la suma de dos centenas y cinco unidades, donde el dígito 0 indica que no se suman decenas. Este dígito cumple la misma función en las fracciones decimales y en la representación decimal de otros números reales (indicando si hay décimas, centésimas, milésimas, etc.) y en bases distintas de 10 (por ejemplo, en binario, donde indica qué potencias de 2 se omiten). ^{[ 9 ]}

El número 0 es el entero no negativo más pequeño y el entero no positivo más grande. El número natural que sigue al 0 es 1 y ningún número natural precede al 0. El número 0 puede o no ser considerado un número natural , ^{[ 10 ] [ 11 ]} pero es un entero y, por lo tanto, un número racional y un número real . ^{[ 12 ]} El cero es par ^{[ 13 ]} (es decir, un múltiplo de 2) y también es un múltiplo entero de cualquier otro entero. ^{[ 14 ]} No es ni un número primo ni un número compuesto . ^{[ 15 ]}

El número 0 no se considera ni positivo ni negativo, ^{[ 16 ]} y generalmente se muestra como el origen de una recta numérica . ^{[ 17 ]} Cuando los números reales se extienden para formar los números complejos , 0 se convierte en el origen del plano complejo. ^{[ 18 ]}

A continuación se presentan algunas reglas básicas para trabajar con el número 0. Estas reglas se aplican a cualquier número real o complejo x , a menos que se indique lo contrario.

• Suma : x + 0 = 0 + x = x . Es decir, 0 es un elemento neutro (o elemento neutro) con respecto a la suma. ^{[ 19 ]}
• Resta : x − 0 = x y 0 − x = − x . ^{[ 20 ]}
• Multiplicación : x · 0 = 0 · x = 0. ^{[ 21 ]} También se cumple lo contrario: Si x · y = 0, entonces x=0 o y=0.

• División : ⁠ 0 / x ⁠ = 0, para x distinto de cero . Pero ⁠ x / 0 ⁠ no está definido , porque 0 no tiene inverso multiplicativo (ningún número real multiplicado por 0 produce 1), consecuencia de la regla anterior. ^{[ 22 ]}
• Exponenciación : x₀ ⁼ x / x = 1, excepto que el caso x = 0 se considera indefinido en algunos contextos . Para todo x real positivo , 0 ^x = 0. ^{[ 23 ]}

La expresión ⁠ 0 / 0 ⁠ , que puede obtenerse al intentar determinar el límite de una expresión de la forma ⁠ f ( x ) / g ( x ) ⁠ como resultado de aplicar el operador lim independientemente a ambos operandos de la fracción, es una denominada " forma indeterminada ". Esto no significa que el límite buscado sea necesariamente indefinido; más bien, significa que el límite de ⁠ f ( x ) / g ( x ) ⁠ , si existe, debe hallarse mediante otro método, como la regla de l'Hôpital . ^{[ 24 ]}

La suma de 0 números (la suma vacía ) es 0, y el producto de 0 números (el producto vacío ) es 1. El factorial 0! se evalúa como 1, como un caso especial del producto vacío. ^{[ 25 ]}

El papel del 0 como el número de conteo más pequeño puede generalizarse o extenderse de varias maneras. En la teoría de conjuntos , 0 es la cardinalidad del conjunto vacío (denotado como "{ }", "${\textstyle \emptyset }$", o "∅"): si uno no tiene ninguna manzana, entonces tiene 0 manzanas. De hecho, en ciertos desarrollos axiomáticos de las matemáticas de la teoría de conjuntos, 0 se define como el conjunto vacío. ^{[ 26 ]} Cuando se hace esto, el conjunto vacío es la asignación cardinal de von Neumann para un conjunto sin elementos, que es el conjunto vacío. ^{[ 27 ]}

Asimismo, en la teoría de conjuntos, 0 es el número ordinal más bajo , que corresponde al conjunto vacío considerado como un conjunto bien ordenado . En la teoría del orden (y especialmente en su subcampo, la teoría de retículos ), 0 puede denotar el elemento más pequeño de un retículo u otro conjunto parcialmente ordenado .

El papel del 0 como identidad aditiva se generaliza más allá del álgebra elemental. En álgebra abstracta , el 0 se usa comúnmente para denotar un elemento cero , que es el elemento identidad para la suma (si está definido en la estructura en consideración) y un elemento absorbente para la multiplicación (si está definido). Ejemplos incluyen elementos identidad de grupos aditivos y espacios vectoriales . Otro ejemplo es la función cero (o aplicación cero ) en un dominio D. Esta es la función constante con 0 como su único valor de salida posible, es decir, es la función f definida por f ( x ) = 0 para todo x en D. Como función de los números reales a los números reales, la función cero es la única función que es a la vez par e impar .

El número 0 también se utiliza de varias otras maneras dentro de diversas ramas de las matemáticas:

• Un cero de una función f es un punto x en el dominio de la función tal que f ( x ) = 0 .
• En lógica proposicional , el 0 puede usarse para denotar el valor de verdad falso.
• En teoría de la probabilidad , 0 es el valor mínimo permitido para la probabilidad de cualquier evento. ^{[ 28 ]}
• La teoría de categorías introduce la idea de un objeto cero , a menudo denotado como 0, y el concepto relacionado de morfismos cero , que generalizan la función cero. ^{[ 29 ]}

Los numerales del antiguo Egipto eran de base 10. [ ^{30 ] Utilizaban} jeroglíficos para los dígitos y no eran posicionales . En un papiro escrito alrededor del 1770 a. C. , un escriba registró los ingresos y gastos diarios de la corte del faraón , utilizando el jeroglífico nfr para indicar los casos en que la cantidad de alimento recibida era exactamente igual a la cantidad desembolsada. El egiptólogo Alan Gardiner sugirió que el jeroglífico nfr se utilizaba como símbolo del cero. ^{[ 31 ]} El mismo símbolo también se utilizaba para indicar el nivel de la base en dibujos de tumbas y pirámides, y las distancias se medían en relación con la línea de base como por encima o por debajo de esta línea. ^{[ 32 ]}

A mediados del segundo milenio a. C., las matemáticas babilónicas contaban con un sofisticado sistema de numeración posicional de base 60 , pero el valor posicional cero se indicaba mediante un espacio entre los números . En una tablilla desenterrada en Kish (que data de alrededor del 700 a. C. ), el escriba Bêl-bân-aplu utilizó tres ganchos como marcador de posición. ^{[ 33 ]} Hacia el 300 a. C. , un símbolo de puntuación (dos cuñas inclinadas) se reutilizó como marcador de posición. ^{[ 34 ] [ 35 ]} Sin embargo, es significativo que estos signos de marcador de posición no se consideraran un valor numérico; nunca se usaban solos. «Por lo tanto, no pueden interpretarse como representaciones del concepto o del número cero». ^{[ 36 ]} Tampoco se escribían al final de un número (por lo que 1, 60 y 60×60 se escribían como ). ^{[ 37 ]}

El calendario de Cuenta Larga mesoamericano, desarrollado en el centro-sur de México y Centroamérica, requería el uso del cero como marcador de posición dentro de su sistema de numeración posicional vigesimal (base 20). Se utilizaron muchos glifos diferentes, incluido el cuadrifolio parcial , como símbolo de cero para estas fechas de la Cuenta Larga, la más antigua de las cuales (en la Estela 2 de Chiapa de Corzo, Chiapas ) tiene una fecha de 36  a. C. ^{[ a ] ​​[ 38 ]}

Dado que las ocho fechas más antiguas de la Cuenta Larga aparecen fuera del territorio maya, ^{[ 39 ]} se cree generalmente que el uso del cero en América precedió a los mayas y posiblemente fue una invención de los olmecas . ^{[ 40 ]} Muchas de las fechas más antiguas de la Cuenta Larga se encontraron en el corazón del territorio olmeca, aunque la civilización olmeca terminó en el siglo IV a. C. , ^{[ 41 ]} varios siglos antes de las fechas más antiguas conocidas de la Cuenta Larga. ^{[ 42 ]}

Aunque el cero se convirtió en parte integral de los numerales mayas , con una forma diferente y vacía de " caparazón" de tortuga utilizada para muchas representaciones del numeral "cero", se supone que no influyó en los sistemas de numeración del Viejo Mundo . ^{[ 43 ]}

El quipu , un dispositivo de cuerda anudada, utilizado en el Imperio Inca y sus sociedades predecesoras en la región andina para registrar información contable y otros datos digitales, está codificado en un sistema posicional de base diez . El cero se representa por la ausencia de un nudo en la posición correspondiente. ^{[ 44 ]}

El primer ejemplo citado con certeza del uso griego del cero helenístico aparece en Hiparco en el año 140 d.C.

La Grecia arcaica no tenía símbolo para el cero (μηδέν, pronunciado mēdén ), y no usaba un marcador de posición para él. ^{[ 45 ]} Según el matemático Charles Seife , después de que el marcador de posición babilónico cero apareciera poco después del 500 a. C., los astrónomos griegos comenzaron a usar la letra griega minúscula ό ( όμικρον : ómicron ) como marcador de posición o representación del valor de grado nulo/nivel base. ^{[ 46 ]} Sin embargo, después de usar el marcador de posición babilónico cero para cálculos astronómicos, normalmente convertían los números de nuevo a numerales griegos . Al igual que con el rechazo de los infinitesimales por Pitágoras, los griegos parecen mantener una oposición filosófica al uso del cero como número. ^{[ 47 ]} "Todo el universo griego descansaba sobre este pilar: No hay vacío". ^{[ 48 ]} Nieder fecha la aparición del cero en los textos astronómicos griegos después del 400 a. C. y el matemático Robert Kaplan especifica además que debió haber sido después de las conquistas de Alejandro . ^{[ 49 ] [ 50 ]}

Los griegos parecían inseguros sobre el estatus del cero como número. Algunos se preguntaban: "¿Cómo puede existir lo que no existe?", lo que dio lugar a debates filosóficos y, en la época medieval , religiosos sobre la naturaleza y la existencia del cero y el vacío . Las paradojas de Zenón de Elea dependen en gran medida de la interpretación incierta del cero. ^{[ 51 ]}

Hacia el año  150 d. C., Ptolomeo , influenciado por Hiparco y los babilonios , utilizaba un símbolo para el cero ( — ° ) ^{[ 52 ] [ 53 ]} en su obra sobre astronomía matemática llamada Syntaxis Mathematica , también conocida como Almagesto . ^{[ 54 ]} Este cero helenístico fue quizás el primer uso documentado de un numeral que representa el cero en el Viejo Mundo . ^{[ 55 ]} Ptolomeo lo utilizó muchas veces en su Almagesto (VI.8) para la magnitud de los eclipses solares y lunares . Representaba el valor tanto de los dígitos como de los minutos de inmersión en el primer y último contacto. Los dígitos variaban continuamente de 0 a 12 a 0 a medida que la Luna pasaba sobre el Sol (un pulso triangular), donde doce dígitos eran el diámetro angular del Sol. Los minutos de inmersión se tabularon de 0 ′ 0 ″ a 31 ′ 20 ″ a 0 ′ 0 ″ , donde 0 ′ 0 ″ usaba el símbolo como marcador de posición en dos posiciones de su sistema de numeración posicional sexagesimal , ^{[ b ]} mientras que la combinación significaba un ángulo cero. Los minutos de inmersión también eran una función continua ⁠ 1 / 12 ⁠ 31 ′ 20″ √ d(24−d) (un pulso triangular con lados convexos ), donde d era la función de dígito y 31 ′ 20 ″ era la suma de los radios de los discos del Sol y la Luna. ^{[ 56 ]} El símbolo de Ptolomeo era un marcador de posición así como un número usado por dos funciones matemáticas continuas, una dentro de otra, por lo que significaba cero, no ninguno. Con el tiempo, el cero de Ptolomeo tendió a aumentar de tamaño y a perder la línea superior , representándose a veces como un ómicron grande y alargado con forma de 0, "Ο", o como un ómicron con línea superior, "ō", en lugar de un punto con línea superior. ^{[ 57 ]}

El primer uso del cero en el cálculo de la Pascua juliana ocurrió antes del año  311 d. C., en la primera entrada de una tabla de epactas conservada en un documento etíope para los años 311 a 369, usando una palabra ge'ez para "ninguno" (la traducción al inglés es "0" en otros lugares) junto con numerales ge'ez (basados ​​en numerales griegos), que fue traducida de una tabla equivalente publicada por la Iglesia de Alejandría en griego medieval . ^{[ 58 ]} Este uso se repitió en 525 en una tabla equivalente, que fue traducida a través del latín nulla ("ninguno") por Dionisio el Exiguo , junto con numerales romanos . ^{[ 59 ]} Cuando la división producía cero como resto, se usaba nihil , que significa "nada". Estos ceros medievales fueron utilizados por todos los futuros calculadores medievales de la Pascua . La "N" inicial fue utilizada como símbolo de cero en una tabla de numerales romanos por Beda —o sus colegas— alrededor del año  725 d. C. ^{[ 60 ]}

El Sūnzĭ Suànjīng , de fecha desconocida pero que se estima data de los siglos I al V d. C. , describe cómo el sistema chino de varillas de conteo del siglo IV a. C. permitía realizar cálculos decimales posicionales . ^{[ 62 ] [ 63 ]} Como se señala en el Xiahou Yang Suanjing (425–468 d. C.), para multiplicar o dividir un número por 10, 100, 1000 o 10000, todo lo que se necesita hacer, con las varillas en el tablero de conteo, es moverlas hacia adelante o hacia atrás 1, 2, 3 o 4 lugares. ^{[ 64 ]} Las varillas daban la representación decimal de un número, con un espacio vacío denotando cero. ^{[ 61 ] [ 65 ]} Un manual de alrededor del año 190 d. C., las "Notas suplementarias sobre el arte de las figuras", de Xu Yue , también describe las técnicas para sumar, restar, multiplicar y dividir números que contienen valores cero en una potencia decimal, en dispositivos de conteo , que incluyen varillas de conteo y ábaco. ^{[ 66 ] [ 67 ]} Los autores chinos estaban familiarizados con la idea de los números negativos y las fracciones decimales, para la dinastía Han (siglo II d. C.) , como se ve en Los nueve capítulos sobre el arte matemático . ^{[ 68 ]} El Tratado matemático en nueve secciones de Qin Jiǔsháo de 1247 es el texto matemático chino más antiguo que se conserva que utiliza un símbolo redondo '〇' para el cero. ^{[ 69 ]} El origen de este símbolo es desconocido; puede que se haya producido modificando un símbolo cuadrado. ^{[ 70 ]} En aquel entonces, el cero no se trataba como un número, sino como una "posición vacante". ^{[ 71 ]}

Pingala ( c. siglo III o II a. C.), ^{[ 72 ]} un erudito en prosodia sánscrita , ^{[ 73 ]} utilizó secuencias binarias , en forma de sílabas cortas y largas (estas últimas de igual longitud que dos sílabas cortas), para identificar los posibles metros sánscritos válidos , una notación similar al código Morse . ^{[ 74 ]} Pingala utilizó la palabra sánscrita śūnya explícitamente para referirse al cero. ^{[ 72 ]}

En India se desarrolló un grafema de valor posicional decimal para el cero . ^{[ 76 ]}

El Lokavibhāga , un texto jainista sobre cosmología que se conserva en una traducción medieval al sánscrito del original en prácrito , datado internamente en el año 458 d. C. ( era Saka 380), utiliza un sistema de numeración decimal , que incluye el cero. En este texto, śūnya («vacío») también se usa para referirse al cero. ^{[ 77 ]}

El Aryabhatiya ( c. 499) afirma sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt "de un lugar a otro, cada uno es diez veces el anterior". ^{[ 78 ] [ 79 ] [ 80 ]}

Las reglas que rigen el uso del cero aparecieron en el Brahmasputha Siddhanta de Brahmagupta (siglo VII), que establece que la suma de cero consigo mismo es cero, y describe incorrectamente la división por cero de la siguiente manera: ^{[ 81 ] [ 82 ]}

Un número positivo o negativo, al dividirse entre cero, es una fracción cuyo denominador es cero. Cero dividido entre un número negativo o positivo es cero, o bien se expresa como una fracción con cero como numerador y la cantidad finita como denominador. Cero dividido entre cero es cero.

El tratado Līlāvatī de Bhāskara II del siglo XII propuso en cambio que la división por cero da como resultado una cantidad infinita, ^{[ 83 ]}

Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracción cuyo denominador es cero. Esta fracción se denomina cantidad infinita. En esta cantidad, cuyo divisor es cero, no hay alteración alguna, aunque se puedan insertar o extraer muchas; del mismo modo que no se produce ningún cambio en el Dios infinito e inmutable cuando se crean o destruyen mundos, aunque se absorban o surjan numerosos órdenes de seres.

Epigrafía asiática temprana

Inscripción de Sambor

El uso más antiguo y documentado del cero como cifra decimal se encuentra en la inscripción de Sambor. El número "605" está escrito en numerales jemeres (arriba), en referencia al año de su creación: 605 de la era Saka (683 d. C.). El fragmento, inscrito en jemer antiguo , formó parte de la puerta de un templo y fue hallado en la provincia de Kratié , Camboya .

Hay numerosas inscripciones en placas de cobre con la misma o minúscula, algunas posiblemente datadas en el siglo VI, pero su fecha o autenticidad pueden ser dudosas. ^{[ 33 ]}

Una tablilla de piedra hallada en las ruinas de un templo cerca de Sambor, en el río Mekong , provincia de Kratié , Camboya , incluye la inscripción "605" en numerales jemeres (un conjunto de glifos numéricos del sistema de numeración indoarábigo ). El número corresponde al año de la inscripción en la era Saka , que se sitúa en el año 683 d. C. ^{[ 84 ]}

El primer uso conocido de glifos especiales para los dígitos decimales que incluye la aparición indudable de un símbolo para el dígito cero, un pequeño círculo, aparece en una inscripción de piedra encontrada en el templo Chaturbhuj, Gwalior , en la India, fechada en el año 876 d. C. ^{[ 85 ] [ 86 ]}

El cero, representado por un punto negro, se utiliza a lo largo del manuscrito Bakhshali , un manual práctico de aritmética para comerciantes. La Biblioteca Bodleiana informó sobre los resultados de la datación por radiocarbono de seis folios del manuscrito, que indican que pertenecen a siglos diferentes, pero que datan el manuscrito entre los años 799 y 1102 d. C. ^{[ 75 ]}

En zoología comparada y ciencia cognitiva , el reconocimiento de que algunos animales muestran conciencia del concepto de cero lleva a la conclusión de que la capacidad de abstracción numérica surgió tempranamente en la evolución de las especies. ^{[ 114 ]}

En la era del calendario a. C. , el año 1 a. C. es el primer año anterior al 1 d. C.; no existe un año cero . Por el contrario, en la numeración astronómica de los años , el año 1 a. C. se numera como 0, el año 2 a. C. como −1, y así sucesivamente. ^{[ 115 ]}