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Lógica trivalente

Una lógica trivalente (también llamada lógica trinaria , trivalente , ternaria o trileana , [ 1 ] a veces abreviada como LTV ) es cualquiera de varios sistemas lógicos multivalu...

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Una lógica trivalente (también llamada lógica trinaria , trivalente , ternaria o trileana , [ 1 ] a veces abreviada como LTV ) es cualquiera de varios sistemas lógicos multivaluados en los que hay tres valores de verdad que indican verdadero , falso y un tercer valor. Esto contrasta con las lógicas bivalentes más conocidas (como la lógica proposicional clásica o la lógica booleana ) que solo contemplan verdadero y falso .

A Emil Leon Post se le atribuye la introducción de grados de verdad lógica adicionales en su teoría de proposiciones elementales de 1921. [ 2 ] La forma conceptual y las ideas básicas de la lógica trivalente fueron publicadas inicialmente por Jan Łukasiewicz y Clarence Irving Lewis . Posteriormente, Grigore Constantin Moisil las reformuló en forma algebraica axiomática y las extendió a lógicas n -valentes en 1945.

Pre-descubrimiento

Hacia 1910, Charles Sanders Peirce definió un sistema lógico multivaluado , pero nunca lo publicó. [ 3 ] Peirce rechazó categóricamente la idea de que todas las proposiciones deban ser verdaderas o falsas; las proposiciones límite, escribe, están "en el límite entre P y no P". [ 4 ] Sin embargo, tan seguro como estaba de que "la lógica triádica es universalmente verdadera", [ 5 ] también anotó que "todo esto está muy cerca del sinsentido". [ 6 ] Solo en 1966, cuando Max Fisch y Atwell Turquette comenzaron a publicar lo que redescubrieron en sus manuscritos inéditos, las ideas triádicas de Peirce se hicieron ampliamente conocidas. [ 7 ]

Motivación

En términos generales, la motivación principal para la investigación de la lógica trivalente es representar el valor de verdad de una afirmación que no puede representarse como verdadera o falsa. [ 8 ] Łukasiewicz desarrolló inicialmente la lógica trivalente para el problema de los contingentes futuros para representar el valor de verdad de las afirmaciones sobre el futuro indeterminado. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] Bruno de Finetti utilizó un tercer valor para representar cuando "un individuo dado no conoce la respuesta [correcta], al menos en un momento dado". [ 12 ] [ 8 ] Hilary Putnam lo utilizó para representar valores que no pueden decidirse físicamente: [ 13 ]

Por ejemplo, si hemos verificado (mediante un velocímetro) que la velocidad de un automóvil es tal o cual, en ese mundo podría ser imposible verificar o refutar ciertas afirmaciones sobre su posición en ese momento. Si sabemos, por referencia a una ley física y ciertos datos de observación, que una afirmación sobre la posición de un automóvil nunca puede ser refutada ni verificada, entonces podría tener sentido no considerar la afirmación como verdadera o falsa, sino como "intermedia". Es solo porque, en la experiencia macrocósmica, todo lo que consideramos una afirmación empíricamente significativa parece ser al menos potencialmente verificable o refutable que preferimos la convención según la cual decimos que toda afirmación de este tipo es verdadera o falsa, pero en muchos casos no sabemos cuál.

De manera similar, Stephen Cole Kleene utilizó un tercer valor para representar predicados que son "indecidibles por [cualquier] algoritmo, ya sean verdaderos o falsos" [ 14 ] [ 8 ].

Representación de valores

Al igual que en la lógica bivalente, los valores de verdad en la lógica ternaria pueden representarse numéricamente utilizando diversas representaciones del sistema numérico ternario . Algunos de los ejemplos más comunes son:

Dentro de una computadora ternaria , los valores ternarios están representados por señales ternarias .

Este artículo ilustra principalmente un sistema de lógica proposicional ternaria que utiliza los valores de verdad {falso, desconocido, verdadero} y extiende los conectores booleanos convencionales a un contexto trivalente.

Lógicas

La lógica booleana permite 2 2 = 4 operadores unarios ; la suma de un tercer valor con dos entradas es 3 2 = 9 y con una tercera entrada en lógica ternaria conduce a un total de 3 3 = 27 operadores distintos en un único conjunto de entradas. (Esto puede quedar claro al considerar todas las tablas de verdad posibles para un operador unario arbitrario. Dados 2 valores posibles TF de la única entrada booleana, hay cuatro patrones de salida diferentes TT, TF, FT, FF que resultan de los siguientes operadores unarios que actúan sobre cada valor: siempre T, Identidad, NOT, siempre F. Dados tres valores posibles de una variable ternaria, cada uno multiplicado por tres resultados posibles de una operación unaria, hay 27 patrones de salida diferentes: TTT, TTU, TTF, TUT, TUU, TUF, TFT, TFU, TFF, UTT, UTU, UTF, UUT, UUU, UUF, UFT, UFU, UFF, FTT, FTU, FTF, FUT, FUU, FUF, FFT, FFU y FFF). De manera similar, donde la lógica booleana tiene 2² × 2 = 16 operadores binarios distintos posibles (operadores con 2 entradas), la lógica ternaria tiene 3³ × 3 = 19 683 de esos operadores. Si bien los operadores booleanos no triviales pueden ser nombrados ( NOT , AND , NAND , OR , NOR , XOR , XNOR ( equivalencia ) y 4 variantes de implicación o desigualdad), con seis operadores triviales que consideran solo entradas 0 o 1, no es razonable intentar nombrar todos más que una pequeña fracción de los posibles operadores ternarios. [ 18 ] Al igual que en la lógica bivalente, donde no todos los operadores reciben nombres y se utilizan subconjuntos de operadores funcionalmente completos , puede haber conjuntos funcionalmente completos de operadores con valores ternarios.

Lógicas de Kleene y Priest

A continuación se muestra un conjunto de tablas de verdad que ilustran las operaciones lógicas de la lógica fuerte de indeterminación de Stephen Cole Kleene y la lógica de la paradoja de Graham Priest .

Si los valores de verdad 1, 0 y −1 se interpretan como números enteros, estas operaciones pueden expresarse con las operaciones aritméticas ordinarias (donde x + y utiliza la suma, xy utiliza la multiplicación y x² utiliza la exponenciación), o mediante las funciones mínimo/máximo:

incógnita∧y=12(incógnita+y−incógnita2−y2+incógnitay+incógnita2y2)=min(incógnita,y)incógnita∨y=12(incógnita+y+incógnita2+y2−incógnitay−incógnita2y2)=máximo(incógnita,y)¬incógnita=−incógnita{\displaystyle {\begin{aligned}x\wedge y&={\frac {1}{2}}(x+yx^{2}-y^{2}+xy+x^{2}y^{2})=\min(x,y)\\x\vee y&={\frac {1}{2}}(x+y+x^{2}+y^{2}-xy-x^{2}y^{2})=\max(x,y)\\\neg x&=-x\end{aligned}}}

En estas tablas de verdad, el estado desconocido puede considerarse ni verdadero ni falso en la lógica de Kleene, o bien verdadero y falso en la lógica de Priest. La diferencia radica en la definición de tautologías. Mientras que en la lógica de Kleene el único valor de verdad designado es V, en la lógica de Priest los valores de verdad designados son V y U. En la lógica de Kleene, no se dispone del conocimiento de si un estado desconocido en particular representa secretamente verdadero o falso en un momento dado. Sin embargo, ciertas operaciones lógicas pueden producir un resultado inequívoco, incluso si implican un operando desconocido . Por ejemplo, dado que verdadero O verdadero es igual a verdadero , y verdadero O falso también es igual a verdadero , entonces verdadero O desconocido también es igual a verdadero . En este ejemplo, como cualquiera de los estados bivalentes podría estar subyacente al estado desconocido , y cualquiera de los estados también produce el mismo resultado, verdadero resulta en los tres casos.

Si se asignan valores numéricos, por ejemplo valores ternarios balanceados , a falso , desconocido y verdadero de manera que falso sea menor que desconocido y desconocido sea menor que verdadero , entonces A Y B Y C... = MÍN(A, B, C ...) y A O B O C ... = MÁX(A, B, C...).

La implicación material para la lógica de Kleene se puede definir como:

A→B =dmiF O( NO(A), B){\displaystyle A\rightarrow B\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\mbox{O}}(\ {\mbox{NOT}}(A),\ B)}y su tabla de verdad es

lo cual difiere de la lógica de Łukasiewicz (que se describe a continuación).

La lógica de Kleene no tiene tautologías (fórmulas válidas) porque siempre que a todos los componentes atómicos de una fórmula bien formada se les asigna el valor Desconocido, la fórmula misma también debe tener el valor Desconocido. (Y el único valor de verdad designado para la lógica de Kleene es Verdadero). Sin embargo, la falta de fórmulas válidas no significa que carezca de argumentos válidos y/o reglas de inferencia. Un argumento es semánticamente válido en la lógica de Kleene si, siempre que (para cualquier interpretación/modelo) todas sus premisas sean Verdaderas, la conclusión también debe ser Verdadera. (La lógica de la paradoja (LP) tiene las mismas tablas de verdad que la lógica de Kleene, pero tiene dos valores de verdad designados en lugar de uno: Verdadero y Ambos (el análogo de Desconocido), por lo que la LP sí tiene tautologías, pero tiene menos reglas de inferencia válidas). [ 19 ]

Lógica de Łukasiewicz

La lógica Łukasiewicz Ł3 tiene las mismas tablas para AND, OR y NOT que la lógica Kleene mencionada anteriormente, pero difiere en su definición de implicación, ya que "lo desconocido implica lo desconocido" es verdadero . Esta sección sigue la presentación del capítulo de Malinowski en el Manual de Historia de la Lógica , vol. 8. [ 20 ]

La implicación material para la tabla de verdad de la lógica de Łukasiewicz es

De hecho, utilizando la implicación y la negación de Łukasiewicz, los demás conectores habituales pueden derivarse de la siguiente manera:

  • A ∨ B = ( A → B ) → B
  • A ∧ B = ¬(¬ A ∨ ¬ B )
  • A ⇔ B = ( A → B ) ∧ ( B → A )

También es posible derivar otros operadores unarios útiles (derivados por primera vez por Tarski en 1921):

  • M A = ¬ A → A
  • L A = ¬ M ¬ A
  • I A = M A ∧ ¬ L A

Tienen las siguientes tablas de verdad:

M se lee como "no es falso que..." o, en el intento (fallido) de Tarski-Łukasiewicz de axiomatizar la lógica modal mediante una lógica trivalente, "es posible que...". L se lee como "es cierto que..." o "es necesario que...". Finalmente, I se lee como "se desconoce que..." o "es contingente que...".

En la Ł3 de Łukasiewicz, el valor designado es Verdadero, lo que significa que solo una proposición que tenga este valor en todas partes se considera una tautología . Por ejemplo, A → A y A ↔ A son tautologías en Ł3 y también en la lógica clásica. No todas las tautologías de la lógica clásica se extienden a Ł3 "tal cual". Por ejemplo, la ley del tercero excluido , A ∨ ¬ A , y la ley de no contradicción , ¬( A ∧ ¬ A ), no son tautologías en Ł3. Sin embargo, utilizando el operador que definí anteriormente, es posible enunciar tautologías que son sus análogas:

Lógica RM3

La tabla de verdad para la implicación material de R-mingle 3 (RM3) es

Una característica definitoria de RM3 es la falta del axioma de debilitamiento:

  • ( A → ( B → A ))

lo cual, por adjunción, es equivalente a la proyección del producto:

  • ( A ⊗ B ) → A

RM3 es una categoría monoide cerrada simétrica no cartesiana; el producto, que es adjunto izquierdo a la implicación, carece de proyecciones válidas y tiene a U como identidad monoide. Esta lógica es equivalente a una lógica paraconsistente "ideal" que también obedece a la contrapositiva.

lógica HT

La lógica de aquí y allá ( HT , también conocida como lógica de Smetanich SmT o como lógica de Gödel G3), introducida por Heyting en 1930 [ 21 ] como un modelo para estudiar la lógica intuicionista , es una lógica intermedia trivalente donde el tercer valor de verdad NF (no falso) tiene la semántica de una proposición que puede probarse intuicionistamente como no falsa, pero no tiene una prueba intuicionista de corrección.

Se puede definir añadiendo uno de los dos axiomas equivalentes (¬ q → p ) → ((( p → q ) → p ) → p ) o, equivalentemente , p ∨(¬ q )∨( p → q ) a los axiomas de la lógica intuicionista , o bien mediante tablas de verdad explícitas para sus operaciones. En particular, la conjunción y la disyunción son las mismas que en la lógica de Kleene y Łukasiewicz, mientras que la negación es diferente.

La lógica HT es el único concepto en la red de lógicas intermedias. En este sentido, puede considerarse la segunda lógica intermedia más fuerte después de la lógica clásica.

Lógica de Bochvar

Esta lógica también se conoce como una forma débil de la lógica trivalente de Kleene.

Lógica de postprocesamiento ternario

La lógica ternaria de Post, un caso particular de la familia más general de lógicas de Post , es una lógica trivalente que utiliza una operación de negación cíclica, definida como:
Junto con funciones mínimas y máximas para definir conectores de conjunción y disyunción, respectivamente:

Estas funciones también pueden expresarse con expresiones aritméticas. Dado el conjunto de valores de verdad es{0,12,1}{\displaystyle \{0,{\frac {1}{2}},1\}}ellos son:

¬incógnita:=12(6incógnita2−7incógnita+2):=(1,0,12)incógnita∧y:=4y2incógnita2−4yincógnita2−4y2incógnita+5yincógnita:=min(incógnita,y)incógnita∨y:=−4y2incógnita2+4yincógnita2+4y2incógnita−5yincógnita+incógnita+y:=máximo(incógnita,y){\displaystyle {\begin{aligned}{\neg }x&:={\frac {1}{2}}(6x^{2}-7x+2):=(1,0,{\frac {1}{2}})\\x\wedge y&:=4y^{2}x^{2}-4yx^{2}-4y^{2}x+5yx:=\min(x,y)\\[6pt]x\vee y&:=-4y^{2}x^{2}+4yx^{2}+4y^{2}x-5yx+x+y:=\max(x,y)\end{aligned}}}
A diferencia del sistema anterior de lógicas trivalentes, la lógica trivalente de Post es funcionalmente completa utilizando solo la operación NEG y al menos una de las operaciones MIN o MAX. Esto significa que cualquier función{0,12,1}norte→{0,12,1}:norte∈norte+{\displaystyle \{0,{\frac {1}{2}},1\}^{n}\rightarrow \{0,{\frac {1}{2}},1\}:n\in \mathbb {N^{+}} }se puede expresar como una composición utilizando solo las tres funciones definidas anteriormente (o cualesquiera dos, siempre que una de ellas sea la negación).

Álgebras modulares

Algunas aritméticas modulares 3VL se han introducido más recientemente, motivadas por problemas de circuitos más que por cuestiones filosóficas: [ 22 ]

  • Álgebra de Cohn
  • Álgebra de Pradhan
  • Dubrova [ 23 ] y álgebra de Muzio

Aplicaciones

SQL

El lenguaje de consulta de bases de datos SQL implementa la lógica ternaria para gestionar comparaciones con campos de contenido nulo . SQL utiliza un fragmento común de la lógica Kleene K3, restringido a tablas AND, OR y NOT.

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Trilean (API JavaNLP de Stanford)" . Universidad de Stanford . Grupo de PNL de Stanford. Archivado del original el 3 de mayo de 2023.
  2. ↑ Post, Emil L. (1921). "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales" . American Journal of Mathematics . 43 (3): 163– 185. doi : 10.2307/2370324 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t9j450f7q . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2370324 .  
  3. ↑ "Lógica deductiva de Peirce > Lógica trivalente de Peirce (Enciclopedia de filosofía de Stanford/Edición de verano de 2020)" . plato.stanford.edu . Consultado el 15 de mayo de 2024 .
  4. ↑ Lane, R. (2001). "Lógica triádica" . Commens . Archivado del original el 6 de diciembre de 2023.
  5. ↑ Peirce, Charles S. (1839–1914). "Lógica : cuaderno manuscrito autógrafo, 12 de noviembre de 1865-1 de noviembre de 1909" . hollisarchives.lib.harvard.edu/repositories/24/digital_objects/63983 . Biblioteca Houghton, Universidad de Harvard . Recuperado el 15 de mayo de 2023. La lógica triádica es universalmente verdadera. Pero la lógica diádica no es absolutamente falsa . 
  6. ↑ Peirce, Charles S. (1839–1914). "Lógica : cuaderno manuscrito autógrafo, 12 de noviembre de 1865-1 de noviembre de 1909" . hollisarchives.lib.harvard.edu/repositories/24/digital_objects/63983 . Biblioteca Houghton, Universidad de Harvard . Consultado el 15 de mayo de 2023 . 
  7. ↑ Lane, Robert. "Lógica triádica" . www.digitalpeirce.fee.unicamp.br . Consultado el 30 de julio de 2020 .
  8. 1 2 3 Cobreros, Pablo; Égré, Paul; Ripley, David; Rooij, Robert van (2 de enero de 2014). "Prólogo: Lógicas trivalentes y sus aplicaciones". Journal of Applied Non-Classical Logics . 24 ( 1– 2): 1– 11. doi : 10.1080/11663081.2014.909631 .
  9. ↑ Prior, AN (1953). "Lógica trivalente y contingentes futuros" . The Philosophical Quarterly . 3 (13): 317– 326. doi : 10.2307/2217099 . ISSN 0031-8094 . 
  10. ↑ Taylor, Richard (1957). "El problema de las contingencias futuras" . The Philosophical Review . 66 (1): 1– 28. doi : 10.2307/2182851 . ISSN 0031-8108 . 
  11. ↑ Rybaříková, Zuzana (1 de mayo de 2021). "Łukasiewicz, el determinismo y el sistema lógico de cuatro valores". Semiótica . 2021 (240): 129– 143. doi : 10.1515/sem-2019-0115 .
  12. ↑ de Finetti, Bruno (1 de enero de 1995). "La lógica de la probabilidad (traducida)". Estudios filosóficos . 77 (1): 181– 190. doi : 10.1007/BF00996317 . Pero hay una segunda forma posible de concebir las lógicas multivaluadas: que si bien una proposición, en sí misma, solo puede tener dos valores, verdadero o falso, es decir, dos respuestas, sí o no, puede suceder que un individuo dado no conozca la respuesta [correcta], al menos en un momento dado; por lo tanto, para el individuo hay una tercera actitud posible hacia una proposición. Esta tercera actitud no corresponde a un tercer valor distinto de sí o de no, sino simplemente a una duda entre sí o no.
  13. ↑ Putnam, Hilary (1 de octubre de 1957). "Lógica trivalente". Philosophical Studies . 8 (5): 73– 80. doi : 10.1007/BF02304905 . Sin embargo, no es cierto que "medio" signifique "ni verificado ni falsificado en el momento presente". Como hemos visto, "verificado" y "falsificado" son predicados epistémicos, es decir, son relativos a la evidencia en un momento particular, mientras que "medio", al igual que "verdadero" y "falso", no es relativo a la evidencia.
  14. ↑ Kleene, Stephen Cole (1952). Introducción a la metamatemática . North-Holland Publishing Co., Ámsterdam, y P. Noordhoff, Groningen. pág. 336. La lógica fuerte trivalente se puede aplicar a predicados completamente definidos Q(x) y R(x), a partir de los cuales se forman predicados compuestos usando ̅, V, &, ->, ≡ en los significados bivalentes habituales, por lo tanto, (iii) Supongamos que hay algoritmos fijos que deciden la verdad o falsedad de Q(x) y de R(x), cada uno en un subconjunto de los números naturales (como ocurre, por ejemplo, después de completar las definiciones de dos predicados recursivos parciales de forma clásica). Sea t, f, u el significado de 'decidible por los algoritmos (es decir, mediante el uso únicamente de la información sobre Q(x) y R(x) que se puede obtener mediante los algoritmos) como verdadero', 'decidible por los algoritmos como falso', 'indecidible por los algoritmos sea verdadero o falso'. (iv) Supongamos un estado fijo de conocimiento sobre Q(x) y R(x) (como ocurre, por ejemplo, después de seguir algoritmos para cada uno de ellos hasta una etapa dada). Sea t, f, u el significado de 'se sabe que es verdadero', 'se sabe que es falso', 'se desconoce si es verdadero o falso'. 
  15. ↑ Knuth, Donald E. (1981). El arte de la programación informática Vol. 2. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. pág. 190. 
  16. ↑ Hayes, Brian (noviembre-diciembre de 2001). "Tercera base" (PDF) . American Scientist . 89 (6). Sigma Xi , la Sociedad de Investigación Científica: 490–494 . doi : 10.1511/2001.40.3268 . Archivado (PDF) del original el 30 de octubre de 2019. Recuperado el 12 de abril de 2020 .
  17. ↑ Nelson, David (2008). The Penguin Dictionary of Mathematics. Cuarta edición . Londres, Inglaterra: Penguin Books. Entrada para «lógica trivalente». ISBN 9780141920870.
  18. ↑ Douglas W. Jones, Lógica ternaria estándar , 11 de febrero de 2013.
  19. ↑ "Más allá de la lógica proposicional"
  20. ↑ Grzegorz Malinowski, « Lógica multivaluada y su filosofía » en Dov M. Gabbay, John Woods (eds.) Manual de historia de la lógica, volumen 8. El giro multivaluado y no monótono en lógica , Elsevier, 2009
  21. ^ Heyting (1930). "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik". Siéntate. Berlín . 42-56 .
  22. ↑ Miller, D. Michael; Thornton, Mitchell A. (2008). Lógica multivaluada: conceptos y representaciones . Conferencias de síntesis sobre circuitos y sistemas digitales. Vol. 12. Morgan & Claypool Publishers. pp. 41–42 . ISBN   978-1-59829-190-2.
  23. ↑ Dubrova, Elena (2002). Síntesis y optimización de lógica multivaluada , en Hassoun S. y Sasao T., editores, Síntesis y verificación de lógica , Kluwer Academic Publishers, pp. 89-114

Lecturas adicionales

  • Bergmann, Merrie (2008). Introducción a la lógica difusa y multivaluada: semántica, álgebras y sistemas de derivación . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88128-9Consultado el 24 de agosto de 2013 .capítulos 5-9
  • Mundici, D. Las C*-álgebras de la lógica trivalente. Coloquio de Lógica '88, Actas del Coloquio celebrado en Padua 61–77 (1989). doi : 10.1016/s0049-237x(08)70262-3
  • Reichenbach, Hans (1944). Fundamentos filosóficos de la mecánica cuántica . University of California Press. Dover 1998: ISBN 0-486-40459-5