Matriz (matemáticas)

Dos corchetes altos con m filas, cada una con n variables de letra 'a' con subíndice. A cada letra 'a' se le asigna un número de fila y un número de columna como subíndice. — Una matriz $m$ × $n$ $: las m$ filas son horizontales y las $n$ columnas son verticales. Cada elemento de una matriz se suele representar mediante una variable con dos subíndices . Por ejemplo, $2,1 representa el elemento situado en la segunda fila y la$ primera columna de la matriz.

En matemáticas , una matriz ( pl.: matrices ) es una disposición rectangular de números u otros objetos matemáticos con elementos o entradas organizados en filas y columnas, que generalmente satisfacen ciertas propiedades de suma y multiplicación .

Por ejemplo, ${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}$ denota una matriz con dos filas y tres columnas. A menudo se la denomina "matriz de dos por tres", una matriz de 2 × 3 o una matriz de dimensión 2 × 3 .

En álgebra lineal , las matrices se utilizan como transformaciones lineales . En geometría , se emplean para transformaciones geométricas (por ejemplo, rotaciones ) y cambios de coordenadas . En análisis numérico , muchos problemas computacionales se resuelven reduciéndolos a un cálculo matricial, lo que a menudo implica trabajar con matrices de enormes dimensiones. Las matrices se utilizan en la mayoría de las áreas de las matemáticas y las ciencias, ya sea directamente o a través de su aplicación en geometría y análisis numérico.

Las matrices cuadradas , matrices con el mismo número de filas y columnas, desempeñan un papel fundamental en la teoría de matrices. El determinante de una matriz cuadrada es un número asociado a la matriz, que es fundamental para el estudio de una matriz cuadrada; por ejemplo, una matriz cuadrada es invertible si y solo si tiene un determinante distinto de cero y los valores propios de una matriz cuadrada son las raíces de su polinomio característico . $\det(\lambda I-A)$ .

La teoría de matrices es la rama de las matemáticas que se centra en el estudio de las matrices. Inicialmente era una subrama del álgebra lineal, pero pronto se amplió para incluir temas relacionados con la teoría de grafos , el álgebra , la combinatoria y la estadística .

Definición

Una matriz es una disposición rectangular de números (u otros objetos matemáticos), llamados "elementos" de la matriz. Las matrices están sujetas a operaciones estándar como la suma y la multiplicación . ^{[ 1 ]} Lo más común es una matriz sobre un campo. $F$ es una matriz rectangular de elementos de $F$ ⁠ .^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Una matriz real y una matriz compleja son matrices cuyos elementos son, respectivamente, números reales o números complejos . A continuación se describen tipos de elementos más generales. Por ejemplo, esta es una matriz real: $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.$

Los números (u otros objetos) en la matriz se denominan sus entradas o sus elementos . Las líneas horizontales y verticales de las entradas en una matriz se denominan respectivamente filas y columnas . ^{[ 4 ]}

Tamaño

El tamaño de una matriz se define por el número de filas y columnas que contiene. No hay límite para el número de filas y columnas que puede tener una matriz (en el sentido habitual) siempre que sean enteros positivos. Una matriz con $m$ filas y $n$ columnas se denomina matriz $m$ × $n$ , ^{[ 4 ]} o matriz $m$ × $n ,$ ^{[ 5 ]} donde $m$ y $n$ se denominan sus dimensiones . ^{[ 6 ]} Por ejemplo, la matriz ${\mathbf {A} }$ Arriba se muestra una matriz de 3 × 2 .

Las matrices con una sola fila se denominan matrices fila o vectores fila , y las que tienen una sola columna se denominan matrices columna o vectores columna . Una matriz con el mismo número de filas y columnas se denomina matriz cuadrada . ^{[ 7 ]} Una matriz con un número infinito de filas o columnas (o ambas) se denomina matriz infinita . En algunos contextos, como en los programas de álgebra computacional , resulta útil considerar una matriz sin filas ni columnas, denominada matriz vacía . ^{[ 8 ]}

Notación

Las particularidades de la notación simbólica de matrices varían ampliamente, aunque existen algunas tendencias predominantes. Las matrices se suelen escribir entre corchetes o paréntesis , ^{[ 9 ]} de modo que una matriz $m$ × $n$ $\mathbf {A}$ se representa como $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$ Esto puede abreviarse escribiendo solo un término genérico, posiblemente junto con índices, como en $\mathbf {A} =\left(a_{ij}\right),\quad \left[a_{ij}\right],\quad {\text{or}}\quad \left(a_{ij}\right)_{1\leq i\leq m,\;1\leq j\leq n}$ o $\mathbf {A} =(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ en el caso de que $n=m$ ⁠ .

Las matrices se suelen simbolizar utilizando letras mayúsculas (como ${\mathbf {A} }$ en los ejemplos anteriores), ^{[ 10 ]} mientras que las letras minúsculas correspondientes , con dos índices subíndices (por ejemplo, ⁠ $a_{11}$ , o $a_{1,1}$ ⁠ ), representan las entradas.^{[ 11 ]} Además de usar letras mayúsculas para simbolizar matrices, muchos autores usan un estilo tipográfico especial , comúnmente negrita romana (no cursiva), para distinguir aún más las matrices de otros objetos matemáticos. Una notación alternativa implica el uso de un doble subrayado con el nombre de la variable, con o sin estilo de negrita, como en ⁠ ${\underline {\underline {A}}}$ ⁠ .^{[ 12 ]}

La entrada en la $i$ -ésima fila y $j$ -ésima columna de una matriz $A$ a veces se denomina ${i,j}$ o $(i,j)$ entrada de la matriz, y comúnmente denotada por $a_{i,j}$ o $a_{ij}$ ⁠ .^{[ 13 ]} Las notaciones alternativas para esa entrada son ${\mathbf {A} [i,j]}$ y $\mathbf {A} _{i,j}$ ⁠ . Por ejemplo, el $(1,3)$ Entrada de la siguiente matriz $\mathbf {A}$ es $5$ (también denotado ⁠ $a_{13}$ , $a_{1,3}$ ⁠ , $\mathbf {A} [1,3]$ o ${\mathbf {A} }_{1,3}$ ⁠ ): $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}$

A veces, las entradas de una matriz se pueden definir mediante una fórmula como por ejemplo : $a_{i,j}=f(i,j)$ ⁠ . Por ejemplo, cada una de las entradas de la siguiente matriz $\mathbf {A}$ se determina mediante la fórmula $a_{ij}=i-j$ ⁠ . $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}$ En este caso, la matriz misma a veces se define mediante esa fórmula, entre corchetes o paréntesis dobles. Por ejemplo, la matriz anterior se define como ${\mathbf {A} }=[i-j]$ o $\mathbf {A} =((i-j))$ ⁠ . Si el tamaño de la matriz es $m$ × $n$ , la fórmula mencionada anteriormente $f(i,j)$ es válido para cualquier $i=1,\dots ,m$ y cualquier $j=1,\dots ,n$ ⁠ . Esto se puede especificar por separado o indicar usando $m$ × $n$ como subíndice. Por ejemplo, la matriz $\mathbf {A}$ arriba es 3 × 4 y se puede definir como ${\mathbf {A} }=[i-j](i=1,2,3;j=1,\dots ,4)$ o $\mathbf {A} =[i-j]_{3\times 4}$ ⁠ .

Algunos lenguajes de programación utilizan matrices con doble índice (o matrices de matrices) para representar una matriz { $m$ × $n }$ . Algunos lenguajes de programación comienzan la numeración de los índices de las matrices en cero, en cuyo caso las entradas de una matriz $m$ × $n$ se indexan por $0\leq i\leq m-1$ y $0\leq j\leq n-1$ ⁠ .^{[ 14 ]} Este artículo sigue la convención más común en la escritura matemática donde la enumeración comienza desde $1$ .

El conjunto de todas las matrices reales de $m$ por $n$ se suele denotar como ${\mathcal {M}}(m,n)$ , o ${\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {R} )$ ⁠ . El conjunto de todas $las matrices m$ × $n$ sobre otro cuerpo , o sobre un anillo $R$ , se denota de manera similar ⁠ ${\mathcal {M}}(m,n,R)$ , o ${\mathcal {M}}_{m\times n}(R)$ ⁠ . Si $m = n$ , como en el caso de matrices cuadradas , no se repite la dimensión: ⁠ ${\mathcal {M}}(n,R)$ , o ${\mathcal {M}}_{n}(R)$ ⁠ .^{[ 15 ]} A menudo, ⁠ $M$ , o $\operatorname {Mat}$ ⁠ , se utiliza en lugar de ⁠ ${\mathcal {M}}$ ⁠ .^{[ 16 ]}

Operaciones básicas

Se pueden aplicar varias operaciones básicas a las matrices. Algunas, como la transposición y la submatriz, no dependen de la naturaleza de sus entradas. Otras, como la suma de matrices , la multiplicación escalar , la multiplicación de matrices y las operaciones de fila , implican operaciones sobre las entradas de la matriz y, por lo tanto, requieren que estas sean números o pertenezcan a un cuerpo o un anillo . ^{[ 17 ]}

En esta sección, se supone que las entradas de la matriz pertenecen a un anillo fijo, que normalmente es un cuerpo de números.

Suma

La suma y la resta de matrices requieren matrices de tamaño consistente y se calculan elemento por elemento. La suma $A + B$ y la diferencia $A - B$ de dos matrices $m$ × $n son:$ ^{[ 18 ]}

${\begin{aligned}({\mathbf {A}}+{\mathbf {B}})_{i,j}={\mathbf {A}}_{i,j}+{\mathbf {B}}_{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.\\({\mathbf {A}}-{\mathbf {B}})_{i,j}={\mathbf {A}}_{i,j}-{\mathbf {B}}_{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.\end{aligned}}$

Por ejemplo,

${\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}$

Las propiedades familiares de los números se extienden a estas operaciones en matrices: por ejemplo, la suma es conmutativa , es decir, la suma ^de la matriz no depende del orden de los sumandos: $A + B = B + A.$ ^[¹⁹ ]

Multiplicación escalar

El producto $c A$ de un número $c$ (también llamado escalar en este contexto) y una matriz $A$ se calcula multiplicando cada entrada de $A$ por $c$ : ^{[ 20 ]} $(c{\mathbf {A}})_{i,j}=c\cdot {\mathbf {A}}_{i,j}$ Esta operación se llama multiplicación escalar , pero su resultado no se denomina "producto escalar" para evitar confusiones, ya que "producto escalar" se usa a menudo como sinónimo de " producto interno ". ^{[ 21 ]} Por ejemplo:

$2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

La resta de matrices es consistente con la composición de la suma de matrices con la multiplicación escalar por $-1$ : ^{[ 22 ]}

$\mathbf {A} -\mathbf {B} =\mathbf {A} +(-1)\cdot \mathbf {B}$

Transponer

La transpuesta de una matriz $m$ × $n$ $A$ es la matriz $n$ × $m$ $A T$ (también denotada $A tr$ o $t A$ ) formada al convertir filas en columnas y viceversa: $\left({\mathbf {A}}^{\rm {T}}\right)_{i,j}={\mathbf {A}}_{j,i}.$ Por ejemplo: ${\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}$

La transpuesta es compatible con la suma y la multiplicación escalar, como se expresa en $(c A) T = c (A T)$ y $(A + B) T = A T + B T$ . Finalmente, $(A T) T = A$ . ^{[ 23 ]}

multiplicación de matrices

Representación esquemática del producto matricial $AB$ de dos matrices $A$ y $B.$

La multiplicación de dos matrices corresponde a la composición de transformaciones lineales representadas por cada matriz. Se define si y solo si el número de columnas de la matriz izquierda es igual al número de filas de la matriz derecha. Si $A$ es una matriz $m$ × $n$ y $B$ es una matriz $n$ × $p$ , entonces su producto matricial $AB$ es la matriz $m$ × $p$ cuyas entradas vienen dadas por el producto escalar de la fila correspondiente de $A$ y la columna correspondiente de $B$ : ^{[ 24 ]} $[\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},$ donde $1 \leq i \leq m$ y $1 \leq j \leq p$ . ^{[ 25 ]} Por ejemplo, la entrada subrayada 2340 en el producto se calcula como $(2 \times 1000) + (3 \times 100) + (4 \times 10) = 2340:$ ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

La multiplicación de matrices satisface las reglas $(AB) C = A (BC)$ ( asociatividad ) y $(A + B) C = AC + BC$ , así como $C (A + B) = CA + CB$ ( distributividad izquierda y derecha ), siempre que el tamaño de las matrices sea tal que los diversos productos estén definidos. ^{[ 26 ]} El producto $AB$ puede estar definido sin que $BA$ esté definido, es decir, si $A$ y $B$ son matrices $m$ × $n$ y $n$ × $k$ , respectivamente, y $m \neq k .$ Incluso si ambos productos están definidos, generalmente no tienen por qué ser iguales, es decir: ^{[ 27 ]} ${\mathbf {AB}}\neq {\mathbf {BA}}.$

En otras palabras, la multiplicación de matrices no es conmutativa , en marcado contraste con los números (racionales, reales o complejos), cuyo producto es independiente del orden de los factores. ^{[ 24 ]} Un ejemplo de dos matrices que no conmutan entre sí es: ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},$ mientras ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.$

Además de la multiplicación de matrices ordinaria que acabamos de describir, existen otras operaciones menos frecuentes sobre matrices que pueden considerarse formas de multiplicación, como el producto de Hadamard y el producto de Kronecker . ^{[ 28 ]} Estas surgen al resolver ecuaciones matriciales como la ecuación de Sylvester . ^{[ 29 ]}

Operaciones en fila

Hay tres tipos de operaciones de fila: ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

adición de filas, es decir, agregar una fila a otra.
multiplicación de filas, es decir, multiplicar todas las entradas de una fila por una constante distinta de cero;
intercambio de filas, es decir, intercambiar dos filas de una matriz;

Estas operaciones se utilizan de varias maneras, incluyendo la resolución de ecuaciones lineales y el cálculo de inversas de matrices mediante la eliminación de Gauss y la eliminación de Gauss - Jordan, respectivamente. ^{[ 32 ]}

Submatriz

Una submatriz de una matriz es una matriz obtenida al eliminar cualquier conjunto de filas, columnas o ambas. ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}^{[ 35 ]} Por ejemplo, a partir de la siguiente matriz de 3 × 4 , podemos construir una submatriz de 2 × 3 eliminando la fila 3 y la columna 2: $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&\color {red}{2}&3&4\\5&\color {red}{6}&7&8\\\color {red}{9}&\color {red}{10}&\color {red}{11}&\color {red}{12}\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}.$

Los menores y cofactores de una matriz se obtienen calculando el determinante de ciertas submatrices. ^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}

Una submatriz principal es una submatriz cuadrada obtenida al eliminar ciertas filas y columnas. La definición varía según el autor. Según algunos autores, una submatriz principal es aquella en la que el conjunto de índices de fila restantes es el mismo que el conjunto de índices de columna restantes. ^{[ 37 ]}^{[ 38 ]} Otros autores definen una submatriz principal como aquella en la que las primeras $k$ filas y columnas, para algún número $k$ , son las que permanecen; ^{[ 39 ]} este tipo de submatriz también se ha denominado submatriz principal principal . ^{[ 40 ]}

Ecuaciones lineales

Las matrices se pueden usar para escribir y trabajar de forma compacta con múltiples ecuaciones lineales, es decir, sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, si $A$ es una matriz $m$ × $n$ , $x$ designa un vector columna (es decir, una matriz $n$ × 1 ) de $n$ variables $x 1, x 2, ..., x n,$ y $b$ es un vector columna $m$ × 1 , entonces la ecuación matricial es: $\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$ es equivalente al sistema de ecuaciones lineales ^{[ 41 ]} ${\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}$

Usando matrices, esto se puede resolver de manera más compacta que si se escribieran todas las ecuaciones por separado. Si $n = m$ y las ecuaciones son independientes , entonces esto se puede hacer escribiendo ^{[ 42 ].} $\mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b}$ donde $A -1$ es la matriz inversa de $A.$ Si $A$ no tiene inversa, las soluciones —si las hay— se pueden encontrar utilizando su inversa generalizada . ^{[ 43 ]}

Transformaciones lineales

Las matrices y la multiplicación de matrices revelan sus características esenciales cuando se relacionan con transformaciones lineales , también conocidas como aplicaciones lineales . Una matriz real $A$ $de m$ × $n$ da lugar a una transformación lineal. $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ mapeando cada vector $x$ en $\mathbb {R} ^{n}$ al producto (matricial) $Ax$ , que es un vector en $\mathbb {R} ^{m}.$ Por el contrario, cada transformación lineal $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ surge de una matriz $A$ $única de m$ × $n$ : explícitamente, la entrada $($ $i$ $,$ $j$ $) de$ $A$ es la $i-$ ésima coordenada de $f$ $($ $e$ $j$ $)$ , donde $e$ $j$ $= (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)$ es el vector unitario con $1$ en la $j$ -ésima posición y $0$ en las demás. Se dice que la matriz $A$ representa la aplicación lineal $f$ , y $A$ se denomina matriz de transformación de $f$ . ^{[ 44 ]}

Por ejemplo, la matriz de 2 × 2 $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ puede verse como la transformación del cuadrado unitario en un paralelogramo con vértices en $(0, 0)$ , $(a, b)$ , $(a + c, b + d)$ y $(c, d)$ . El paralelogramo que se muestra a la derecha se obtiene multiplicando $A$ por cada uno de los vectores columna . $\left[{\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}}\right]$ , $\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]$ , $\left[{\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}}\right]$ y $\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]$ a su vez. Estos vectores definen los vértices del cuadrado unitario.^{[ 45 ]} La siguiente tabla muestra varias matrices reales de 2 × 2 con las aplicaciones lineales asociadas de $\mathbb {R} ^{2}$ El original azul se proyecta sobre lacuadrícula y las formas verdes . El origen $(0, 0)$ está marcado con un punto negro.

Bajo la correspondencia uno a uno entre matrices y aplicaciones lineales, la multiplicación de matrices corresponde a la composición de aplicaciones: ^{[ 50 ]} si una matriz $B$ $de k$ por $m$ representa otra aplicación lineal ⁠ $g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}$ ⁠ , entonces la composición $g \circ f$ está representada por $BA$ ya que^{[ 51 ]} $(g\circ f)({\mathbf {x}})=g(f({\mathbf {x}}))=g({\mathbf {Ax}})={\mathbf {B}}({\mathbf {Ax}})=({\mathbf {BA}}){\mathbf {x}}.$

La última igualdad se deduce de la asociatividad de la multiplicación de matrices mencionada anteriormente.

El rango de una matriz $A$ es el número máximo de vectores fila linealmente independientes de la matriz, que es igual al número máximo de vectores columna linealmente independientes. ^{[ 52 ]} De forma equivalente , es la dimensión de la imagen de la transformación lineal representada por $A.$ ^{[ 53 ]} El teorema de rango-nulidad establece que la dimensión del núcleo de una matriz más el rango es igual al número de columnas de la matriz. ^{[ 54 ]}

Matriz cuadrada

Una matriz cuadrada es una matriz con el mismo número de filas y columnas. Una matriz $de n$ × $n$ se conoce como matriz cuadrada de orden $n$ . Dos matrices cuadradas cualesquiera del mismo orden se pueden sumar y multiplicar. Los elementos $a₁ , b₂,$ ^c₃ $,$ d₄, n₅, n₆ ^,^n₇

Las matrices cuadradas de una dimensión dada forman un anillo no conmutativo , que es uno de los ejemplos más comunes de un anillo no conmutativo. ^{[ 56 ]}

Tipos principales

Matriz diagonal y triangular

Si todos los elementos de $A$ que se encuentran debajo de la diagonal principal son cero, $A$ se denomina matriz triangular superior . De manera similar, si todos los elementos de $A$ que se encuentran encima de la diagonal principal son cero, $A$ se denomina matriz triangular inferior . ^{[ 57 ]} Si todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero, $A$ se denomina matriz diagonal . ^{[ 58 ]}

Matriz identidad

La matriz identidad $I n$ de tamaño $n$ es la matriz $n$ por $n$ en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a $1$ y todos los demás elementos son iguales a $0$ , ^{[ 59 ]} por ejemplo, ${\begin{aligned}\mathbf {I} _{1}&={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\\[4pt]\mathbf {I} _{2}&={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\\[4pt]\vdots &\\[4pt]\mathbf {I} _{n}&={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ Es una matriz cuadrada de orden $n$ , y también un tipo especial de matriz diagonal . Se llama matriz identidad porque la multiplicación con ella deja una matriz sin cambios: ^{[ 59 ]} ${\mathbf {AI}}_{n}={\mathbf {I}}_{m}{\mathbf {A}}={\mathbf {A}}$ para cualquier matriz $A$ $de m$ por $n$ .

Un múltiplo escalar de una matriz identidad se denomina matriz escalar . ^{[ 60 ]}

Matriz simétrica o antisimétrica

Una matriz cuadrada $A$ igual a su transpuesta, es decir, $A = A T$ , es una matriz simétrica . Si, en cambio, $A$ es igual al negativo de su transpuesta, es decir, $A = - A T$ , entonces $A$ es una matriz antisimétrica . En matrices complejas, la simetría suele sustituirse por el concepto de matrices hermíticas , que satisface $A * = A$ , donde el asterisco denota la transpuesta conjugada de la matriz, es decir, la transpuesta de la matriz conjugada compleja de $A$ . ^{[ 61 ]}

Según el teorema espectral , las matrices simétricas reales y las matrices hermíticas complejas tienen una base de autovectores ; es decir, todo vector puede expresarse como una combinación lineal de autovectores. En ambos casos, todos los autovalores son reales. ^{[ 62 ]} Este teorema puede generalizarse a situaciones de dimensión infinita relacionadas con matrices con un número infinito de filas y columnas. ^{[ 63 ]}

Matriz invertible y su inversa

Una matriz cuadrada $A$ se denomina invertible o no singular si existe una matriz $B$ tal que ^{[ 64 ]}^{[ 65 ]} ${\mathbf {AB}}={\mathbf {BA}}={\mathbf {I}}_{n},$ donde $I n$ es la matriz identidad $n$ × $n$ con $1$ para cada entrada en la diagonal principal y $0$ en el resto. Si $B$ existe, es única y se denomina matriz inversa de $A$ , denotada $A$ $-1$ . ^[⁶⁶^]

Existen numerosos algoritmos para comprobar si una matriz cuadrada es invertible y, en caso afirmativo, calcular su inversa. Uno de los más antiguos, que aún se utiliza con frecuencia, es la eliminación gaussiana . ^{[ 67 ]}

Matriz definida

Una matriz real simétrica $A$ se denomina definida positiva si la forma cuadrática asociada $f({\mathbf {x}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ax}}$ tiene un valor positivo para cada vector x $distinto$ de cero en $\mathbb {R} ^{n}$ Si $f (x)$ produce solo valores negativos, entoncesA $es$ definida negativa ; si $f$ produce valores tanto negativos como positivos, entonces $A$ es indefinida .^{[ 68 ]} Si la forma cuadrática $f$ produce solo valores no negativos (positivos o cero), la matriz simétrica se denomina semidefinida positiva (o si solo produce valores no positivos, entonces semidefinida negativa); por lo tanto, la matriz es indefinida precisamente cuando no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa.^{[ 69 ]}

Una matriz simétrica es definida positiva si y solo si todos sus autovalores son positivos, es decir, la matriz es semidefinida positiva e invertible. ^{[ 70 ]} La tabla de la derecha muestra dos posibilidades para matrices de 2x2. Los autovalores de una matriz diagonal son simplemente las entradas de la diagonal, ^{[ 71 ]} y, por lo tanto, en estos ejemplos, los autovalores se pueden leer directamente de las propias matrices. La primera matriz tiene dos autovalores que son ambos positivos, mientras que la segunda tiene uno que es positivo y otro que es negativo.

Si se permiten como entrada dos vectores diferentes, se obtiene la forma bilineal asociada a $A$ : ^{[ 72 ]} $B_{\mathbf {A}}({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ay}}.$

En el caso de matrices complejas, se aplican la misma terminología y los mismos resultados, ^reemplazando respectivamente la matriz simétrica , la forma cuadrática , la forma bilineal y la transpuesta $x T$ por la matriz hermitiana , la forma hermitiana , la forma sesquilineal y la transpuesta conjugada $x H.$ ^[⁷³ ]

Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada con entradas reales cuyas columnas y filas son vectores unitarios ortogonales (es decir, vectores ortonormales ). ^[⁷⁴^] De forma equivalente, una matriz $A$ es ortogonal si su transpuesta es igual a su inversa : $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1},\,$ lo cual implica $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n},$ donde $I n$ es la matriz identidad de tamaño $n$ . ^{[ 75 ]}

Una matriz ortogonal $A$ es necesariamente invertible (con inversa $A - 1 = A T$ ), unitaria ( $A - 1 = A *$ ) y normal ( $A * A = AA *$ ). El determinante de cualquier matriz ortogonal es $+1$ o $-1$ . Una matriz ortogonal especial es una matriz ortogonal con determinante $+1$ . Como transformación lineal , toda matriz ortogonal con determinante $+1$ es una rotación pura sin reflexión, es decir, la transformación conserva la orientación de la estructura transformada, mientras que toda matriz ortogonal con determinante $-1$ invierte la orientación, es decir, es una composición de una reflexión pura y una rotación (posiblemente nula). Las matrices identidad tienen determinante $1$ y son rotaciones puras con un ángulo cero. ^{[ 76 ]}

El análogo complejo de una matriz ortogonal es una matriz unitaria . ^{[ 77 ]}

Operaciones principales

Rastro

La traza , $tr(A),$ de una matriz cuadrada $A$ es la suma de sus entradas diagonales. Si bien la multiplicación de matrices no es conmutativa, como se mencionó anteriormente , la traza del producto de dos matrices es independiente del orden de los factores: ^{[ 78 ]} $\operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).$ Esto se desprende inmediatamente de la definición de multiplicación de matrices: ^{[ 79 ]} $\operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).$ De ello se deduce que la traza del producto de más de dos matrices es independiente de las permutaciones cíclicas de las matrices; sin embargo, esto no se aplica en general a permutaciones arbitrarias. Por ejemplo, $tr(ABC) \neq tr(BAC)$ , en general. ^{[ 80 ]} Además, la traza de una matriz es igual a la de su transpuesta, ^{[ 81 ]} es decir, $\operatorname {tr} ({\mathbf {A}})=\operatorname {tr} ({\mathbf {A}}^{\rm {T}}).$

Determinante

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} — Una transformación lineal en ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ dada por la matriz indicada. El determinante de esta matriz es −1 $, ya que$ el área del paralelogramo verde de la derecha es $1$ , pero el mapa invierte la orientación , puesto que convierte la orientación antihoraria de los vectores en una orientación horaria.

El determinante de una matriz cuadrada $A$ (denotado $det(A)$ o $| A |$ ) es un número que codifica ciertas propiedades de la matriz. Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. ^{[ 82 ]} Su valor absoluto es igual al área ( en $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ ) o volumen (en ⁠ $\mathbb {R} ^{3}$ ⁠ ) de la imagen del cuadrado unitario (o cubo), mientras que su signo corresponde a la orientación del mapeo lineal correspondiente: el determinante es positivo si y solo si se conserva la orientación.^{[ 83 ]}

El determinante de matrices de 2 × 2 viene dado por ^{[ 84 ].} $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$ El determinante de matrices de 3 × 3 consta de seis términos ( regla de Sarrus ). La fórmula de Leibniz, más extensa, generaliza estas dos fórmulas a todas las dimensiones. ^{[ 85 ]}

El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes: $\det({\mathbf {AB}})=\det({\mathbf {A}})\cdot \det({\mathbf {B}}),$ o utilizando notación alternativa: ^{[ 86 ]} $|{\mathbf {AB}}|=|{\mathbf {A}}|\cdot |{\mathbf {B}}|.$ Sumar un múltiplo de cualquier fila a otra fila, o un múltiplo de cualquier columna a otra columna, no cambia el determinante. Intercambiar dos filas o dos columnas afecta al determinante multiplicándolo por $-1$ . ^{[ 87 ]} Usando estas operaciones, cualquier matriz puede transformarse en una matriz triangular inferior (o superior), y para tales matrices, el determinante es igual al producto de las entradas en la diagonal principal; esto proporciona un método para calcular el determinante de cualquier matriz. Finalmente, la expansión de Laplace expresa el determinante en términos de menores , es decir, determinantes de matrices más pequeñas. ^{[ 88 ]} Esta expansión puede usarse para una definición recursiva de determinantes (tomando como caso inicial el determinante de una matriz de 1 × 1 , que es su única entrada, o incluso el determinante de una matriz de 0 × 0 $, que es 1$ ), que puede verse como equivalente a la fórmula de Leibniz. Los determinantes se pueden usar para resolver sistemas lineales usando la regla de Cramer , donde la división de los determinantes de dos matrices cuadradas relacionadas es igual al valor de cada una de las variables del sistema. ^{[ 89 ]}

Valores propios y vectores propios

Un número ${\textstyle \lambda }$ y un vector no nulo $v$ que satisface $\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ se denominan valor propio y vector propio de $A$ , respectivamente. ^{[ 90 ]}^{[ 91 ]} El número $λ$ es un valor propio de una matriz $n$ × $n$ $A$ si y solo si $(A - λ I n)$ no es invertible, lo cual es equivalente a ^{[ 92 ]} $\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.$ El polinomio $p A$ en una indeterminada $X$ dado por la evaluación del determinante $det(X I n - A)$ se llama polinomio característico de $A.$ Es un polinomio mónico de grado $n$ . Por lo tanto, la ecuación polinómica $p A (λ) = 0$ tiene como máximo $n$ soluciones diferentes, es decir, valores propios de la matriz. ^{[ 93 ]} Pueden ser complejos incluso si las entradas de $A$ son reales. ^{[ 94 ]} Según el teorema de Cayley-Hamilton , $p A (A) = 0$ , es decir, el resultado de sustituir la propia matriz en su polinomio característico produce la matriz cero . ^{[ 95 ]}

Aspectos computacionales

Los cálculos matriciales a menudo se pueden realizar con diferentes técnicas. Muchos problemas se pueden resolver tanto mediante algoritmos directos como mediante enfoques iterativos. Por ejemplo, los autovectores de una matriz cuadrada se pueden obtener encontrando una secuencia de vectores $x n$ que converja a un autovector cuando $n$ tiende a infinito . ^{[ 96 ]}

Para elegir el algoritmo más apropiado para cada problema específico, es importante determinar tanto la efectividad como la precisión de todos los algoritmos disponibles. El campo que estudia estos asuntos se llama álgebra lineal numérica . ^{[ 97 ]} Al igual que en otras situaciones numéricas, dos aspectos principales son la complejidad de los algoritmos y su estabilidad numérica .

Determinar la complejidad de un algoritmo significa encontrar límites superiores o estimaciones de cuántas operaciones elementales, como sumas y multiplicaciones de escalares, son necesarias para realizar un algoritmo determinado, por ejemplo, la multiplicación de matrices. Calcular el producto matricial de dos matrices $n$ × $n$ utilizando la definición anterior requiere $n³ multiplicaciones$ , ya que para cualquiera de las $n²$ entradas del producto, son necesarias $n$ multiplicaciones. El algoritmo de Strassen supera a este algoritmo "ingenuo"; solo necesita $n²$ $,$ $807$ multiplicaciones. ^{[ 98 ]} Se han desarrollado algoritmos de multiplicación de matrices teóricamente más rápidos pero poco prácticos , ^{[ 99 ]} así como aceleraciones de este problema utilizando algoritmos paralelos o sistemas de computación distribuida como MapReduce . ^{[ 100 ]}

En muchas situaciones prácticas, se dispone de información adicional sobre las matrices involucradas. Un caso importante se refiere a las matrices dispersas , es decir, matrices cuyas entradas son mayoritariamente cero. Existen algoritmos específicamente adaptados para, por ejemplo, resolver sistemas lineales $Ax = b$ para matrices dispersas $A$ , como el método del gradiente conjugado . ^{[ 101 ]}

Un algoritmo es, en términos generales, numéricamente estable si pequeñas desviaciones en los valores de entrada no producen grandes desviaciones en el resultado. Por ejemplo, se puede calcular la inversa de una matriz calculando su matriz adjunta : ${\mathbf {A}}^{-1}=\operatorname {adj} ({\mathbf {A}})/\det({\mathbf {A}}).$ Sin embargo, esto puede provocar errores de redondeo significativos si el determinante de la matriz es muy pequeño. La norma de una matriz puede utilizarse para capturar el condicionamiento de problemas de álgebra lineal, como el cálculo de la inversa de una matriz. ^{[ 102 ]}

Descomposición

Existen varios métodos para convertir matrices en formatos más accesibles. Generalmente se les conoce como técnicas de descomposición o factorización de matrices . Estas técnicas son de interés porque facilitan los cálculos.

La descomposición LU factoriza las matrices como un producto de matrices triangulares inferiores ( $L$ ) y superiores ( $U$ ). ^[¹⁰³^] Una vez calculada esta descomposición, los sistemas lineales pueden resolverse de manera más eficiente mediante una técnica simple llamada sustitución hacia adelante y hacia atrás . Asimismo, las inversas de matrices triangulares son algorítmicamente más fáciles de calcular. La eliminación gaussiana es un algoritmo similar; transforma cualquier matriz a forma escalonada por filas . ^[¹⁰⁴^] Ambos métodos proceden multiplicando la matriz por matrices elementales adecuadas , que corresponden a permutar filas o columnas y sumar múltiplos de una fila a otra. La descomposición en valores singulares (SVD) expresa cualquier matriz $A$ como un producto $UDV$ $*$ , donde $U$ y $V$ son matrices unitarias y $D$ es una matriz diagonal. ^[¹⁰⁵^]

La descomposición en valores propios o diagonalización expresa $A$ como un producto $VDV -1$ , donde $D$ es una matriz diagonal y $V$ es una matriz invertible adecuada. ^{[ 106 ]} Si $A$ se puede escribir de esta forma, se denomina diagonalizable . De manera más general, y aplicable a todas las matrices, la descomposición de Jordan transforma una matriz en forma normal de Jordan , es decir, matrices cuyas únicas entradas no nulas son los valores propios $λ 1$ a $λ n$ de $A$ , colocados en la diagonal principal y posiblemente entradas iguales a uno directamente encima de la diagonal principal, como se muestra a la derecha. ^{[ 107 ]} Dada la descomposición en valores propios, la $n$ -ésima potencia de $A$ (es decir, la multiplicación de matrices iterada $n$ veces) se puede calcular mediante ${\mathbf {A}}^{n}=({\mathbf {VDV}}^{-1})^{n}={\mathbf {VDV}}^{-1}{\mathbf {VDV}}^{-1}\ldots {\mathbf {VDV}}^{-1}={\mathbf {VD}}^{n}{\mathbf {V}}^{-1}$ y la potencia de una matriz diagonal se puede calcular tomando las potencias correspondientes de las entradas diagonales, lo cual es mucho más fácil que realizar la exponenciación de $A.$ Esto se puede usar para calcular la exponencial de la matriz $e A$ , una necesidad que surge frecuentemente al resolver ecuaciones diferenciales lineales , logaritmos de matrices y raíces cuadradas de matrices . ^{[ 108 ]} Para evitar situaciones numéricamente mal condicionadas , se pueden emplear otros algoritmos como la descomposición de Schur . ^{[ 109 ]}

Aspectos algebraicos abstractos y generalizaciones

Las matrices pueden generalizarse de diferentes maneras. El álgebra abstracta utiliza matrices con entradas en campos más generales o incluso anillos , mientras que el álgebra lineal codifica las propiedades de las matrices en la noción de aplicaciones lineales. Es posible considerar matrices con un número infinito de columnas y filas. Otra extensión son los tensores , que pueden verse como arreglos de números de dimensiones superiores, a diferencia de los vectores, que a menudo pueden realizarse como secuencias de números, mientras que las matrices son arreglos rectangulares o bidimensionales de números. ^{[ 110 ]} Las matrices, sujetas a ciertos requisitos, tienden a formar grupos conocidos como grupos de matrices. ^{[ 111 ]} De manera similar, bajo ciertas condiciones, las matrices forman anillos conocidos como anillos de matrices . ^{[ 112 ]} Aunque el producto de matrices no es en general conmutativo, ciertas matrices forman campos a veces llamados campos de matrices. ^{[ 113 ]} (Sin embargo, el término "campo matricial" es ambiguo, ya que también se refiere a ciertas formas de campos físicos que mapean continuamente puntos de algún espacio a matrices. ^{[ 114 ]} ) En general, las matrices sobre cualquier anillo y su multiplicación pueden representarse como las flechas y la composición de flechas en una categoría , la categoría de matrices sobre ese anillo. Los objetos de esta categoría son números naturales, que representan las dimensiones de las matrices. ^{[ 115 ]}

Matrices con entradas en un campo o anillo

Este artículo se centra en matrices cuyos elementos son números reales o complejos. Sin embargo, las matrices pueden considerarse con tipos de elementos mucho más generales que los números reales o complejos. Como primer paso de generalización, cualquier campo , es decir, un conjunto donde las operaciones de suma , resta , multiplicación y división están definidas y se comportan adecuadamente, puede utilizarse en lugar de . $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ ⁠ , por ejemplo, números racionales o cuerpos finitos . Por ejemplo, la teoría de la codificación utiliza matrices sobre cuerpos finitos.^{[ 116 ]} Dondequiera que se consideren los autovalores , como estos son raíces de un polinomio, pueden existir solo en un cuerpo mayor que el de las entradas de la matriz. Por ejemplo, pueden ser complejos en el caso de una matriz con entradas reales. La posibilidad de reinterpretar las entradas de una matriz como elementos de un cuerpo mayor (por ejemplo, ver una matriz real como una matriz compleja cuyas entradas resultan ser todas reales) permite entonces considerar que cada matriz cuadrada posee un conjunto completo de autovalores.^{[ 117 ]} Alternativamente, se pueden considerar solo matrices con entradas en un cuerpo algebraicamente cerrado , como ⁠ $\mathbb {C} ,$ desde el principio^. [ ^{118 ]}

Las matrices cuyas entradas son polinomios , ^{[ 119 ]} y, más generalmente, las matrices con entradas en un anillo $R$ se utilizan ampliamente en matemáticas. ^{[ 1 ]} Los anillos son una noción más general que los cuerpos, ya que no es necesario que exista una operación de división. Las mismas operaciones de suma y multiplicación de matrices se extienden también a este entorno. El conjunto $M(n, R)$ (también denotado $M n (R)$ ^{[ 15 ]} ) de todas las matrices cuadradas $n$ × $n$ sobre $R$ es un anillo llamado anillo de matrices , isomorfo al anillo de endomorfismos del $R$ -módulo izquierdo $R n$ . ^{[ 120 ]} Si el anillo $R$ es conmutativo , es decir, su multiplicación es conmutativa, entonces el anillo $M(n, R)$ es también un álgebra asociativa sobre $R$ . El determinante de matrices cuadradas sobre un anillo conmutativo $R$ todavía se puede definir utilizando la fórmula de Leibniz ; Dicha matriz es invertible si y solo si su determinante es invertible en $R$ , generalizando la situación sobre un cuerpo $F$ , donde todo elemento no nulo es invertible. ^{[ 121 ]} Las matrices sobre superanillos se denominan supermatrices . ^{[ 122 ]}

Las matrices no siempre tienen todos sus elementos en el mismo anillo , ni siquiera en ningún anillo. Un caso especial pero común son las matrices de bloques , que pueden considerarse matrices cuyos elementos también son matrices. Los elementos no tienen por qué ser matrices cuadradas y, por lo tanto, no tienen por qué pertenecer a ningún anillo ; pero para multiplicarlas, sus tamaños deben cumplir ciertas condiciones: cada par de submatrices que se multiplican para formar el producto final deben tener tamaños compatibles. ^{[ 123 ]}

Relación con los mapas lineales

Mapas lineales $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ son equivalentes a matrices $m$ × $n , como se describió$ anteriormente . De manera más general, cualquier aplicación lineal $f : V \to W$ entre espacios vectoriales de dimensión finita puede describirse mediante una matriz $A$ $= ($ $a$ $ij$ $)$ , después de elegir bases $v$ $1$ $, ...,$ $v$ $n$ de $V$ , y $w$ $1$ $, ...,$ $w$ $m$ de $W$ (de modo que $n$ es la dimensión de $V$ y $m$ es la dimensión de $W$ ), que es tal que $f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\qquad {\mbox{for}}\ j=1,\ldots ,n.$ En otras palabras, la columna $j$ de $A$ expresa la imagen de $v j$ en términos de los vectores base $w i$ de $W$ ; por lo tanto, esta relación determina de forma única las entradas de la matriz $A.$ La matriz depende de la elección de las bases: diferentes elecciones de bases dan lugar a matrices diferentes, pero equivalentes . ^{[ 124 ]} Muchas de las nociones concretas anteriores pueden reinterpretarse a la luz de esto; por ejemplo, la matriz transpuesta $A T$ describe la transpuesta de la aplicación lineal dada por $A$ , con respecto a las bases duales . ^{[ 125 ]}

Estas propiedades pueden reformularse de forma más natural: la categoría de matrices con entradas en un campo $k$ con la multiplicación como composición es equivalente a la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita y aplicaciones lineales sobre este cuerpo. ^{[ 126 ]}

De forma más general, el conjunto de matrices $m$ × $n$ puede utilizarse para representar las aplicaciones $R$ -lineales entre los módulos libres $R m$ y $R n$ para un anillo arbitrario $R$ con unidad. Cuando $n = m$ es posible la composición de estas aplicaciones, esto da lugar al anillo de matrices $n$ × $n$ que representa el anillo de endomorfismos de $R n$ . ^{[ 127 ]}

Grupos de matriz

Un grupo es una estructura matemática que consiste en un conjunto de objetos junto con una operación binaria , es decir, una operación que combina dos objetos cualesquiera para formar un tercero, sujeto a ciertos requisitos. [ ^{128 ] Un} grupo en el que los objetos son invertibles $n\times n$ ⁠ Las matrices y la operación de grupo son la multiplicación de matrices, que se denomina grupo de matrices de grado ⁠ $n$ ⁠ .^{[ 129 ]} Todo grupo de matrices de este tipo es un subgrupo de (es decir, un grupo más pequeño contenido dentro de) el grupo de todas las matrices invertibles ⁠ $n\times n$ ⁠ matrices, el grupo lineal general de grado ⁠ $n$ ⁠ .^{[ 130 ]}

Cualquier propiedad de las matrices cuadradas que se conserve bajo productos de matrices e inversas puede usarse para definir un grupo de matrices. Por ejemplo, el conjunto de todas las matrices cuadradas . $n\times n$ Las matrices cuyo determinante es $1$ forman un grupo llamado grupo lineal especial de grado . $n$ ⁠ .^{[ 131 ]} El conjunto de matrices ortogonales , determinado por la condición ${\mathbf {M}}^{\rm {T}}{\mathbf {M}}={\mathbf {I}},$ forman el grupo ortogonal . ^{[ 132 ]} Toda matriz ortogonal tiene determinante $1$ o $-1$ . Las matrices ortogonales con determinante $1$ forman un grupo llamado grupo ortogonal especial . ^{[ 133 ]}

Todo grupo finito es isomorfo a un grupo matricial, como se puede observar al considerar la representación regular del grupo simétrico . ^{[ 134 ]} Los grupos generales pueden estudiarse utilizando grupos matriciales, que se comprenden relativamente bien mediante la teoría de la representación . ^{[ 135 ]}

Matrices infinitas

También es posible considerar matrices con un número infinito de filas y columnas. ^{[ 136 ]} Las operaciones básicas introducidas anteriormente se definen de la misma manera en este caso. Sin embargo, la multiplicación de matrices y todas las operaciones derivadas de ella solo tienen sentido cuando se restringen a ciertas matrices, ya que la suma que aparece en la definición anterior del producto de matrices contendrá una infinidad de sumandos. ^{[ 137 ]} Una manera sencilla de sortear este problema es restringirse a matrices finitas cuyas filas (o columnas) contengan solo un número finito de términos distintos de cero. ^{[ 138 ]} Al igual que en el caso finito (véase más arriba ), donde las matrices describen aplicaciones lineales, las matrices infinitas pueden usarse para describir operadores en espacios de Hilbert , donde surgen cuestiones de convergencia y continuidad . Sin embargo, el punto de vista explícito de las matrices tiende a oscurecer el asunto, ^{[ 139 ]} y en su lugar se utilizan las herramientas abstractas y más potentes del análisis funcional , relacionando las matrices con aplicaciones lineales (como en el caso finito anterior ), pero imponiendo restricciones adicionales de convergencia y continuidad.

Matriz vacía

Una matriz vacía es una matriz en la que el número de filas o columnas (o ambas) es cero. ^{[ 140 ]}^{[ 8 ]} Las matrices vacías pueden ser un caso base útil para ciertas construcciones recursivas , ^{[ 141 ]} y pueden ayudar a tratar con mapas que involucran el espacio vectorial cero . ^{[ 142 ]} Por ejemplo, si $A$ es una matriz de 3 × 0 y $B$ es una matriz de 0 × 3 , entonces $AB$ es la matriz cero de 3 × 3 correspondiente al mapa nulo de un espacio tridimensional $V$ a sí mismo, mientras que $BA$ es una matriz de 0 × 0. No hay una notación común para matrices vacías, pero la mayoría de los sistemas de álgebra computacional permiten crearlas y calcular con ellas. ^[¹⁴³^] El determinante de la matriz de 0 × 0 se define convencionalmente como 1, consistente con el producto vacío que aparece en la fórmula de Leibniz para el determinante. ^[¹⁴⁴^] Este valor también es necesario para la coherencia con el caso 2 × 2 de la identidad de Desnanot-Jacobi que relaciona determinantes con determinantes de matrices más pequeñas. ^[¹⁴⁵^]

Matrices con entradas en un semianillo

Un semianillo es similar a un anillo, pero sus elementos no necesariamente tienen inversos aditivos ; por lo tanto, no se puede realizar la resta libremente. La definición de suma y multiplicación de matrices con entradas en un anillo se aplica a matrices con entradas en un semianillo sin modificaciones. Las matrices de tamaño fijo con entradas en un semianillo forman un monoide conmutativo. $\operatorname {Mat} (m,n;R)$ bajo adición. ^{[ 146 ]} Las matrices cuadradas de tamaño fijo con entradas en un semianillo forman un semianillo $\operatorname {Mat} (n;R)$ bajo suma y multiplicación. ^{[ 146 ]}

El determinante de una matriz cuadrada $n$ × $n$ $M$ con entradas en un semianillo conmutativo $R$ no se puede definir en general porque la definición implicaría inversos aditivos de elementos de semianillo. En cambio, lo que desempeña su función es el par de determinantes positivos y negativos.

\det \nolimits _{+}M=\sum _{\sigma \in \operatorname {Alt} (n)}M_{1\sigma (1)}\cdots M_{n\sigma (n)}

\det \nolimits _{-}M=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (n)\setminus \operatorname {Alt} (n)}M_{1\sigma (1)}\cdots M_{n\sigma (n)}

donde las sumas se toman sobre permutaciones pares e impares, respectivamente. ^{[ 147 ]}^{[ 148 ]}

Matrices con entradas en una categoría

Las matrices y su multiplicación pueden definirse con objetos de entrada de una categoría dotada de un « producto tensorial » similar a la multiplicación en un anillo, cuyos coproductos son similares a la suma en un anillo, en el sentido de que el primero es distributivo sobre el segundo. ^{[ 149 ]} Sin embargo, la multiplicación así definida puede ser asociativa solo en un sentido más débil de lo habitual. Estas forman parte de una estructura mayor denominada bicategoría de matrices . A continuación, se presenta la descripción completa del resumen anterior para los lectores interesados.

Dejar $({\mathcal {C}},\otimes ,I)$ sea una categoría monoidal que satisfaga las dos condiciones siguientes:

Todos los coproductos (pequeños) existen; en particular, $\varnothing$ ser un objeto inicial .
El functor $\otimes$ es distributiva sobre los coproductos; es decir, para todos los objetos $X$ y una familia de objetos $(Y_{i})_{i\in I}$ en ${\mathcal {C}}$ , el canónico ${\mathcal {C}}$ -morfismos $\coprod _{i\in I}(X\otimes Y_{i})\to X\otimes \coprod _{i\in I}Y_{i}$ $\coprod _{i\in I}(Y_{i}\otimes X)\to \left(\coprod _{i\in I}Y_{i}\right)\otimes X$ son isomorfismos . En particular, los morfismos canónicos $\varnothing \to X\otimes \varnothing$ y $\varnothing \to \varnothing \otimes X$ son isomorfismos.

Luego, la bicategoría de ${\mathcal {C}}$ -matrices $\operatorname {Mat} ({\mathcal {C}})$ es el siguiente: ^{[ 149 ]}

Los objetos son los conjuntos.
Un 1-morfismo $M\colon A\to B$ $M\colon A\to B$ es un mapa $M\colon A\times B\to \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ $M\colon A\times B\to \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ ; esto es simplemente una matriz sobre ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ .
- La composición de 1-morfismos $M\colon A\to B$ y $N\colon B\to C$ , que puede entenderse como multiplicación de matrices, es $(N\circ M)(a,c)=\coprod _{b\in B}M(a,b)\otimes N(b,c).$
- El 1-morfismo identidad en $A$ es $\operatorname {id} _{A}(a,b)={\begin{cases}I&a=b\\\varnothing &a\neq b\end{cases}}.$
Un 2-morfismo entre 1-morfismos $M,N\colon A\to B$ es una familia de ${\mathcal {C}}$ -morfismos $(f_{ab}\colon M(a,b)\to N(a,b))_{(a,b)\in A\times B}$ . La definición de composición vertical y horizontal de 2-morfismos es natural: la composición vertical es la composición componente a componente de ${\mathcal {C}}$ -morfismos; la composición horizontal es la derivada de la funtorialidad de $\otimes$ y la propiedad universal de los coproductos.

En general, la bicategoría de matrices no tiene por qué ser una 2-categoría estricta . Por ejemplo, la composición de 1-morfismos puede no ser asociativa en el sentido estricto habitual, sino solo hasta isomorfismo coherente .

Aplicaciones

Existen numerosas aplicaciones de matrices, tanto en matemáticas como en otras ciencias. Algunas de ellas simplemente aprovechan la representación compacta de un conjunto de números en una matriz. Por ejemplo, la minería de texto y la compilación automatizada de tesauros utilizan matrices documento-término como tf-idf para rastrear la frecuencia de ciertas palabras en varios documentos. ^{[ 150 ]}

Los números complejos pueden representarse mediante matrices reales particulares de 2x2 a través de $a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},$ bajo el cual la suma y la multiplicación de números complejos y matrices se corresponden entre sí. Por ejemplo, las matrices de rotación de 2x2 representan la multiplicación por algún número complejo de valor absoluto 1, como se indicó anteriormente . Una interpretación similar es posible para los cuaterniones ^{[ 151 ]} y las álgebras de Clifford en general. ^{[ 152 ]}

En teoría de juegos y economía , la matriz de pagos codifica la recompensa para dos jugadores, dependiendo de cuál de un conjunto (finito) dado de estrategias elijan. ^{[ 153 ]} El resultado esperado del juego, cuando ambos jugadores juegan estrategias mixtas , se obtiene multiplicando esta matriz por ambos lados por vectores que representan las estrategias. ^{[ 154 ]} El teorema minimax, fundamental en la teoría de juegos, está estrechamente relacionado con la teoría de dualidad de los programas lineales , que a menudo se formulan en términos de productos matriz-vector. ^{[ 155 ]}

Las primeras técnicas de cifrado, como el cifrado de Hill, también utilizaban matrices. Sin embargo, debido a la naturaleza lineal de las matrices, estos códigos son relativamente fáciles de descifrar. ^{[ 156 ]} Los gráficos por computadora utilizan matrices para representar objetos; para calcular transformaciones de objetos mediante matrices de rotación afines para realizar tareas como proyectar un objeto tridimensional en una pantalla bidimensional, correspondiente a una observación teórica de una cámara; y para aplicar convoluciones de imágenes como nitidez, desenfoque, detección de bordes, etc. ^{[ 157 ]} Las matrices sobre un anillo de polinomios son importantes en el estudio de la teoría de control . ^{[ 158 ]}

La química utiliza matrices de diversas maneras, especialmente desde el uso de la teoría cuántica para analizar el enlace molecular y la espectroscopia . Ejemplos de ello son la matriz de solapamiento y la matriz de Fock, utilizadas para resolver las ecuaciones de Roothaan y obtener los orbitales moleculares del método de Hartree-Fock . ^{[ 159 ]}

teoría de grafos

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}.} — Un grafo no dirigido con matriz de adyacencia: ${\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}.$

La matriz de adyacencia de un grafo finito es una noción básica de la teoría de grafos . ^{[ 160 ]} Registra qué vértices del grafo están conectados por una arista. Las matrices que contienen solo dos valores diferentes ( $1$ y $0$ significan, por ejemplo, "sí" y "no", respectivamente) se denominan matrices lógicas . La matriz de distancia (o de coste) contiene información sobre las distancias de las aristas. ^{[ 161 ]} Estos conceptos se pueden aplicar a sitios web conectados por hipervínculos , ^{[ 162 ]} o ciudades conectadas por carreteras, etc., en cuyo caso (a menos que la red de conexión sea extremadamente densa) las matrices tienden a ser dispersas , es decir, contienen pocas entradas distintas de cero. Por lo tanto, se pueden utilizar algoritmos de matrices específicamente diseñados en la teoría de redes . ^{[ 163 ]}

Análisis y geometría

La matriz hessiana de una función diferenciable $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ consiste en las segundas derivadas de $ƒ$ con respecto a las distintas direcciones de coordenadas, es decir, ^{[ 164 ]} $H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].$

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}} — En el punto de silla $(x = 0, y = 0)$ (rojo) de la función $f (x,- y) = x 2 - y 2$ , la matriz hessiana ${\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}$ es indefinido .

Codifica información sobre el comportamiento de crecimiento local de la función: dado un punto crítico $x = (x 1, ..., x n)$ , es decir, un punto donde las primeras derivadas parciales $\partial f/\partial x_{i}$ Si $f$ se anula, la función tiene un mínimo local si la matriz hessiana es definida positiva . La programación cuadrática se puede utilizar para encontrar mínimos o máximos globales de funciones cuadráticas estrechamente relacionadas con las asociadas a matrices (véase más arriba ). ^{[ 165 ]}

Otra matriz frecuentemente utilizada en situaciones geométricas es la matriz jacobiana de una aplicación diferenciable . $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ⁠ . Si $f 1, ..., f m$ denotan los componentes de $f$ , entonces la matriz jacobiana se define como^{[ 166 ]} $J(f)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.$ Si $n > m$ , y si el rango de la matriz jacobiana alcanza su valor máximo $m$ , $f$ es localmente invertible en ese punto, por el teorema de la función implícita . ^{[ 167 ]}

Las ecuaciones diferenciales parciales pueden clasificarse considerando la matriz de coeficientes de los operadores diferenciales de orden más alto de la ecuación. Para las ecuaciones diferenciales parciales elípticas, esta matriz es definida positiva, lo que influye decisivamente en el conjunto de posibles soluciones de la ecuación en cuestión. ^{[ 168 ]}

El método de elementos finitos es un método numérico importante para resolver ecuaciones diferenciales parciales, ampliamente aplicado en la simulación de sistemas físicos complejos. Intenta aproximar la solución de una ecuación mediante funciones lineales a trozos, donde los trozos se eligen en función de una malla suficientemente fina, que a su vez puede reformularse como una ecuación matricial. ^{[ 169 ]}

Teoría de la probabilidad y estadística

{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.7&0\\0.3&1\end{smallmatrix}}\right]} — Dos cadenas de Markov diferentes. El gráfico muestra el número de partículas (de un total de 1000) en el estado "2". Ambos valores límite se pueden determinar a partir de las matrices de transición, que vienen dadas por $\left[{\begin{smallmatrix}0.7&0\\0.3&1\end{smallmatrix}}\right]$ (rojo) y $\left[{\begin{smallmatrix}0.7&0.2\\0.3&0.8\end{smallmatrix}}\right]$ (negro).

Las matrices estocásticas son matrices cuadradas cuyas filas son vectores de probabilidad , es decir, cuyas entradas son no negativas y suman uno. Se utilizan para definir cadenas de Markov con un número finito de estados. ^{[ 170 ]} Una fila de la matriz estocástica proporciona la distribución de probabilidad para la siguiente posición de una partícula que se encuentra en el estado correspondiente a dicha fila. Las propiedades de la cadena de Markov, como los estados absorbentes (estados que cualquier partícula alcanza eventualmente), pueden obtenerse a partir de los autovectores de las matrices de transición. ^{[ 171 ]}

La estadística también utiliza matrices en muchas formas diferentes. ^{[ 172 ]} La estadística descriptiva se ocupa de describir conjuntos de datos, que a menudo pueden representarse como matrices de datos , las cuales pueden someterse a técnicas de reducción de dimensionalidad . La matriz de covarianza codifica la varianza mutua de varias variables aleatorias . ^{[ 173 ]} Otra técnica que utiliza matrices son los mínimos cuadrados lineales , un método que aproxima un conjunto finito de pares $(x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N)$ , mediante una función lineal. $y_{i}\approx ax_{i}+b,\quad i=1,\ldots ,N$ que se puede formular en términos de matrices, relacionadas con la descomposición en valores singulares de matrices. ^{[ 174 ]}

Las matrices aleatorias son matrices cuyos elementos son números aleatorios, sujetos a distribuciones de probabilidad adecuadas , como la distribución normal matricial . Más allá de la teoría de la probabilidad, se aplican en ámbitos que van desde la teoría de números hasta la física . ^{[ 175 ]}^{[ 176 ]}

Mecánica cuántica y física de partículas

El primer modelo de mecánica cuántica ( Heisenberg , 1925) utilizó matrices de dimensión infinita para definir los operadores que asumieron el papel de variables como la posición, el momento y la energía de la física clásica. ^{[ 177 ]} (A esto se le denomina a veces mecánica matricial . ^{[ 178 ]} ) Desde entonces, las matrices, tanto finitas como de dimensión infinita, se han empleado para diversos fines en mecánica cuántica. Un ejemplo particular es la matriz de densidad , una herramienta utilizada para calcular las probabilidades de los resultados de las mediciones realizadas en sistemas físicos . ^{[ 179 ]}^{[ 180 ]}

Las transformaciones lineales y las simetrías asociadas juegan un papel clave en la física moderna . Por ejemplo, las partículas elementales en la teoría cuántica de campos se clasifican como representaciones del grupo de Lorentz de la relatividad especial y, más específicamente, por su comportamiento bajo el grupo de espín . Las representaciones concretas que involucran las matrices de Pauli y las matrices gamma más generales son una parte integral de la descripción física de los fermiones , que se comportan como espinores . ^{[ 181 ]} Para los tres quarks más ligeros , hay una representación teórica de grupos que involucra el grupo unitario especial SU(3); para sus cálculos, los físicos usan una representación matricial conveniente conocida como las matrices de Gell-Mann , que también se usan para el grupo de gauge SU(3) que forma la base de la descripción moderna de las interacciones nucleares fuertes, la cromodinámica cuántica . La matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa , a su vez, expresa el hecho de que los estados básicos de quarks que son importantes para las interacciones débiles no son los mismos que, pero están relacionados linealmente con los estados básicos de quarks que definen partículas con masas específicas y distintas . ^{[ 182 ]}

Otra matriz sirve como herramienta clave para describir los experimentos de dispersión que constituyen la piedra angular de la física experimental de partículas: las reacciones de colisión, como las que ocurren en los aceleradores de partículas , donde partículas que no interactúan entre sí se dirigen unas hacia otras y colisionan en una pequeña zona de interacción, dando como resultado un nuevo conjunto de partículas que tampoco interactúan, pueden describirse como el producto escalar de los estados de las partículas salientes y una combinación lineal de los estados de las partículas entrantes. La combinación lineal viene dada por una matriz conocida como matriz S , que codifica toda la información sobre las posibles interacciones entre partículas. ^{[ 183 ]}

Modos normales

Una aplicación general de las matrices en física es la descripción de sistemas armónicos acoplados linealmente. Las ecuaciones de movimiento de dichos sistemas pueden describirse en forma matricial, donde una matriz de masas multiplica una velocidad generalizada para dar el término cinético, y una matriz de fuerzas multiplica un vector de desplazamiento para caracterizar las interacciones. La mejor manera de obtener soluciones es determinar los autovectores del sistema , sus modos normales , diagonalizando la ecuación matricial. Técnicas como esta son cruciales en lo que respecta a la dinámica interna de las moléculas : las vibraciones internas de sistemas formados por átomos componentes unidos entre sí. ^{[ 184 ]} También son necesarias para describir vibraciones mecánicas y oscilaciones en circuitos eléctricos. ^{[ 185 ]}

Óptica geométrica

La óptica geométrica proporciona aplicaciones matriciales adicionales. En esta teoría aproximada, se desprecia la naturaleza ondulatoria de la luz. El resultado es un modelo en el que los rayos de luz son, de hecho , rayos geométricos . Si la desviación de los rayos de luz por los elementos ópticos es pequeña, la acción de una lente o elemento reflectante sobre un rayo de luz dado puede expresarse como la multiplicación de un vector de dos componentes por una matriz de dos por dos llamada análisis de matriz de transferencia de rayos : las componentes del vector son la pendiente del rayo de luz y su distancia al eje óptico, mientras que la matriz codifica las propiedades del elemento óptico. Hay dos tipos de matrices: una matriz de refracción que describe la refracción en la superficie de una lente y una matriz de traslación que describe la traslación del plano de referencia a la siguiente superficie refractora, donde se aplica otra matriz de refracción. El sistema óptico, que consiste en una combinación de lentes y elementos reflectantes, se describe simplemente mediante la matriz resultante del producto de las matrices de los componentes. ^{[ 186 ]}

El cálculo de Jones modela la polarización de una fuente de luz como una $2\times 2$ vector, y los efectos de los filtros ópticos sobre este vector de polarización como una matriz. ^{[ 48 ]}

Electrónica

Los circuitos electrónicos compuestos por componentes lineales (como resistencias, inductores y condensadores) obedecen las leyes de Kirchhoff , lo que da lugar a un sistema de ecuaciones lineales que puede describirse mediante una ecuación matricial que relaciona las corrientes y tensiones de la fuente con las corrientes y tensiones resultantes en cada punto del circuito, y cuyas entradas están determinadas por el circuito. ^{[ 187 ]}

Historia

Las matrices tienen una larga historia de aplicación en la resolución de ecuaciones lineales , pero se las conocía como arreglos hasta el siglo XIX. El texto chino Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático, escrito entre los siglos X y II a. C., es el primer ejemplo del uso de métodos de arreglos para resolver ecuaciones simultáneas ^{[ 188 ]} . En 1545, el matemático italiano Gerolamo Cardano introdujo el método en Europa con la publicación de Ars Magna ^{[ 189 ]} . El matemático japonés Seki utilizó los mismos métodos de arreglos para resolver ecuaciones simultáneas en 1683 ^{[ 190 ]} . El matemático holandés Jan de Witt representó transformaciones mediante arreglos en su libro Elementos de Curvas (1659) ^[¹⁹¹^] . Entre 1700 y 1710, Gottfried Wilhelm Leibniz dio a conocer el uso de arreglos para registrar información o soluciones y experimentó con más de 50 sistemas de arreglos diferentes. ^[¹⁸⁹^] Cramer presentó su regla en 1750. ^[¹⁹²^]^[¹⁹³^]

Este uso del término matriz en matemáticas (una palabra inglesa para "útero" en el siglo XIX, del latín, así como una palabra de jerga en imprenta , en biología y en geología ^{[ 194 ]} ) fue acuñado por James Joseph Sylvester en 1850, ^{[ 195 ]} quien entendió una matriz como un objeto que da lugar a varios determinantes llamados hoy menores , es decir, determinantes de matrices más pequeñas que se derivan de la original eliminando columnas y filas. En un artículo de 1851, Sylvester explica: ^{[ 196 ]}

En trabajos anteriores he definido una "matriz" como una disposición rectangular de términos, a partir de la cual se pueden generar diferentes sistemas de determinantes desde el seno de un progenitor común.

Arthur Cayley publicó un tratado sobre transformaciones geométricas utilizando matrices que no eran versiones rotadas de los coeficientes investigados, como se había hecho anteriormente. En cambio, definió operaciones como la suma, la resta, la multiplicación y la división como transformaciones de esas matrices y demostró que se mantenían las propiedades asociativas y distributivas. Cayley investigó y demostró la propiedad no conmutativa de la multiplicación de matrices, así como la propiedad conmutativa de la suma de matrices. ^{[ 189 ]} La teoría matricial temprana había limitado el uso de arreglos casi exclusivamente a determinantes, y las operaciones matriciales abstractas de Cayley fueron revolucionarias. Fue fundamental para proponer un concepto de matriz independiente de los sistemas de ecuaciones. En 1858, Cayley publicó su Memoria sobre la teoría de matrices ^{[ 197 ]}^{[ 198 ]} en la que propuso y demostró el teorema de Cayley-Hamilton . ^{[ 189 ]}

El matemático inglés Cuthbert Edmund Cullis fue el primero en utilizar la notación moderna de corchetes para matrices en 1913 y, simultáneamente, demostró el primer uso significativo de la notación $A = [a i, j]$ para representar una matriz donde $a i, j$ se refiere a la $i-$ ésima fila y la $j-$ ésima columna. ^{[ 189 ]}

El estudio moderno de los determinantes surgió de varias fuentes. ^{[ 199 ]} Los problemas de teoría de números llevaron a Gauss a relacionar los coeficientes de las formas cuadráticas , es decir, expresiones como $x 2 + xy - 2 y 2$ , y las aplicaciones lineales en tres dimensiones con matrices. Eisenstein desarrolló aún más estas nociones, incluyendo la observación de que, en la terminología moderna, los productos de matrices no son conmutativos . Cauchy fue el primero en demostrar enunciados generales sobre determinantes, utilizando como definición del determinante de una matriz $A = [a i, j]$ lo siguiente: reemplazar las potencias $a j k$ por $a j, k$ en el polinomio $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i}),$ dónde $\textstyle \prod$ denota el producto de los términos indicados. También demostró, en 1829, que los valores propios de las matrices simétricas son reales. ^{[ 200 ]} Jacobi estudió los "determinantes funcionales" —más tarde llamados determinantes de Jacobi por Sylvester— que pueden usarse para describir transformaciones geométricas a un nivel local (o infinitesimal ), véase más arriba . Las Vorlesungen über die Theorie der Determinanten de Kronecker ^[²⁰¹^] y Zur Determinantentheorie de Weierstrass , ^[²⁰²^] ambas publicadas en 1903, trataron por primera vez los determinantes axiomáticamente , en contraposición a enfoques anteriores más concretos como la fórmula de Cauchy mencionada. En ese momento, los determinantes estaban firmemente establecidos. ^[²⁰³^]^[¹⁹⁹^]

Muchos teoremas se establecieron inicialmente solo para matrices pequeñas; por ejemplo, el teorema de Cayley-Hamilton fue demostrado para matrices de 2 × 2 por Cayley en la memoria mencionada anteriormente, y por Hamilton para matrices de 4 × 4. Frobenius , trabajando en formas bilineales , generalizó el teorema a todas las dimensiones (1898). También a finales del siglo XIX, Wilhelm Jordan estableció la eliminación de Gauss-Jordan (que generaliza un caso especial ahora conocido como eliminación de Gauss ) . A principios del siglo XX, las matrices adquirieron un papel central en el álgebra lineal, ^[²⁰⁴^] en parte debido a su uso en la clasificación de los sistemas de números hipercomplejos del siglo anterior. ^[²⁰⁵^]

El inicio de la mecánica matricial por Heisenberg , Born y Jordan condujo al estudio de matrices con un número infinito de filas y columnas. ^{[ 206 ]} Posteriormente, von Neumann llevó a cabo la formulación matemática de la mecánica cuántica , desarrollando aún más nociones analíticas funcionales como los operadores lineales en espacios de Hilbert , que, en términos generales, corresponden al espacio euclidiano , pero con una infinidad de direcciones independientes . ^{[ 207 ]}

Otros usos históricos de la palabra "matriz" en matemáticas

La palabra ha sido utilizada de maneras inusuales por al menos dos autores de importancia histórica.

Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en sus Principia Mathematica (1910–1913) utilizan la palabra "matriz" en el contexto de su axioma de reducibilidad . Propusieron este axioma como un medio para reducir cualquier función a una de tipo inferior, sucesivamente, de modo que en el "fondo" (orden 0) la función sea idéntica a su extensión : ^{[ 208 ]}

Denominemos matriz a cualquier función, con el número de variables que sea, que no involucre variables aparentes . Entonces, cualquier función posible, distinta de una matriz, se deriva de una matriz mediante generalización, es decir, considerando la proposición de que la función en cuestión es verdadera con todos los valores posibles o con algún valor de uno de los argumentos, quedando el otro u otros argumentos indeterminados.

Por ejemplo, una función $Φ(x, y)$ de dos variables $x$ e $y$ puede reducirse a una colección de funciones de una sola variable, como $y$ , "considerando" la función para todos los posibles valores de "individuos" $a i$ sustituidos en lugar de una variable $x$ . Y luego la colección resultante de funciones de la única variable $y$ , es decir, $\forall a i : Φ(a i, y)$ , puede reducirse a una "matriz" de valores "considerando" la función para todos los posibles valores de "individuos" $b i$ sustituidos en lugar de la variable $y$ : $\forall b_{j}\forall a_{i}\colon \phi (a_{i},b_{j}).$

Alfred Tarski, en su Introducción a la lógica de 1941 , utilizó la palabra "matriz" como sinónimo de la noción de tabla de verdad tal como se usa en la lógica matemática. ^{[ 209 ]}

Véase también

Lista de matrices con nombre
Proceso de Gram-Schmidt : ortonormalización de un conjunto de vectores.
Matriz irregular
Cálculo matricial : notación especializada para el cálculo multivariable.
Función matricial : función que asigna matrices a matrices. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento.

Notas

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[50] Greub (1975 , p. 90) . Sin embargo, cabe señalar que Greub sigue una convención transpuesta para representar una transformación multiplicando un vector fila por una matriz, en lugar de multiplicar una matriz por un vector columna, lo que da lugar al orden invertido de las dos matrices en el producto que representa una composición.

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[190] Needham, Joseph ; Wang Ling (1959), Ciencia y civilización en China , vol. III, Cambridge: Cambridge University Press, pág. 117, ISBN 978-0-521-05801-8{{cite book}}: CS1 maint: errores de ISBN ignorados ( enlace )

[FOOTNOTEDossey2002564-191] Dossey (2002) , pág. 564.

[FOOTNOTECramer1750-192] Cramer (1750) .

[FOOTNOTEKosinski2001-193] Kosinski (2001) .

[194] Murray, James ; Bradley, Henry , eds. (1908), "Matrix" , A New English Dictionary on Historical Principles , vol. 6, pt. 2 (M–N), Oxford: Clarendon Press, p. 238

[195] El primer ejemplo publicado es JJ Sylvester (1850) "Adiciones a los artículos del número de septiembre de esta revista, 'Sobre una nueva clase de teoremas' y sobre el teorema de Pascal", The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science , 37 : 363-370. De la página 369 : "Para este propósito, debemos comenzar, no con un cuadrado, sino con una disposición oblonga de términos que consta, supongamos, de m filas y n columnas. Esto no representa en sí mismo un determinante, sino que es, por así decirlo, una matriz a partir de la cual podemos formar varios sistemas de determinantes..."

[FOOTNOTESylvester1904247[httpsbooksgooglecombooksid5GQPlxWrDiECpgPA247_Paper_37]-196] Sylvester (1904) , pág. 247, documento 37 .

[FOOTNOTECayley1858-197] Cayley (1858) .

[FOOTNOTEDieudonné1978Vol._1,_Ch._III,_p._96-198] Dieudonné (1978) , vol. 1, cap. III, pág. 96.

[FOOTNOTEKnobloch1994-199] 1 2 Knobloch (1994) .

[FOOTNOTEHawkins1975-200] Hawkins (1975) .

[201] Kronecker 1897

[202] Weierstrass 1915 , págs.

[FOOTNOTEMiller1930-203] & Miller (1930) .

[FOOTNOTEBôcher2004-204] Bôcher (2004) .

[FOOTNOTEHawkins1972-205] Hawkins (1972) .

[FOOTNOTEvan_der_Waerden200728–40-206] van der Waerden (2007) , págs .

[FOOTNOTEPeres199379,_106–107-207] Peres (1993) , págs. 79, 106-107.

[208] Whitehead, Alfred North; y Russell, Bertrand (1913) Principia Mathematica a *56 , Cambridge en University Press, Cambridge Reino Unido (reeditado en 1962) cf página 162 y ss.

[FOOTNOTETarski1941[httpsbooksgooglecombooksid5MeNCgAAQBAJpgPA40_40]-209] Tarski (1941) , pág. 40 .

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