Objeto matemático

El platonismo afirma que los objetos matemáticos se consideran entidades reales y abstractas que existen independientemente del pensamiento humano , a menudo en algún reino platónico . Así como existen objetos físicos como electrones y planetas , también existen números y conjuntos. Y así como las afirmaciones sobre electrones y planetas son verdaderas o falsas porque estos objetos contienen propiedades perfectamente objetivas , también lo son las afirmaciones sobre números y conjuntos. Los matemáticos descubren estos objetos en lugar de inventarlos. ^{[ 10 ] [ 11 ]} (Véase también: Platonismo matemático )

Algunos platosnistas destacados son:

• Platón : El antiguo filósofo griego que, aunque no era matemático, sentó las bases del platonismo al postular la existencia de un reino abstracto de formas o ideas perfectas, lo que influyó en pensadores posteriores en matemáticas.
• Kurt Gödel : Lógico y matemático del siglo XX, Gödel fue un firme defensor del platonismo matemático, y su trabajo en teoría de modelos influyó notablemente en el platonismo moderno.
• Roger Penrose : Físico matemático contemporáneo, Penrose ha defendido una visión platónica de las matemáticas, sugiriendo que las verdades matemáticas existen en un reino de realidad abstracta que descubrimos. ^{[ 12 ]}

El nominalismo niega la existencia independiente de los objetos matemáticos. En cambio, sugiere que son meras ficciones convenientes o abreviaturas para describir relaciones y estructuras dentro de nuestro lenguaje y teorías. Desde esta perspectiva, los objetos matemáticos no tienen existencia más allá de los símbolos y conceptos que utilizamos. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Algunos nominalistas destacados son:

• Nelson Goodman : Filósofo conocido por su trabajo en la filosofía de la ciencia y el nominalismo. Argumentó en contra de la existencia de objetos abstractos, proponiendo en cambio que los objetos matemáticos son simplemente un producto de nuestras convenciones lingüísticas y simbólicas.
• Hartry Field : Filósofo contemporáneo que desarrolló la forma de nominalismo llamada " ficticioismo ", la cual sostiene que las afirmaciones matemáticas son ficciones útiles que no corresponden a ningún objeto abstracto real. ^{[ 15 ]}

El logicismo afirma que todas las verdades matemáticas pueden reducirse a verdades lógicas , y que todos los objetos que conforman el objeto de estudio de esas ramas de las matemáticas son objetos lógicos. En otras palabras, las matemáticas son fundamentalmente una rama de la lógica , y todos los conceptos, teoremas y verdades matemáticas pueden derivarse de principios y definiciones puramente lógicos. El logicismo se enfrentó a desafíos, en particular con los axiomas russilianos, el axioma multiplicativo (ahora llamado axioma de elección ) y su axioma del infinito , y posteriormente con el descubrimiento de los teoremas de incompletitud de Gödel , que demostraron que ningún sistema formal suficientemente potente (como los utilizados para expresar la aritmética ) puede ser a la vez completo y consistente . Esto significaba que no todas las verdades matemáticas podían derivarse puramente de un sistema lógico, lo que socavaba el programa logicista. ^{[ 16 ]}

Algunos lógicos destacados son:

• Gottlob Frege : Frege es considerado a menudo el fundador del logicismo. En su obra, Grundgesetze der Arithmetik (Leyes fundamentales de la aritmética), Frege intentó demostrar que la aritmética podía derivarse de axiomas lógicos. Desarrolló un sistema formal que pretendía expresar toda la aritmética en términos lógicos. La obra de Frege sentó las bases de gran parte de la lógica moderna y fue muy influyente, aunque encontró dificultades, sobre todo la paradoja de Russell , que reveló inconsistencias en su sistema. ^{[ 17 ]}
• Bertrand Russell : Russell, junto con Alfred North Whitehead , desarrolló aún más el logicismo en su monumental obra Principia Mathematica . Intentaron derivar todas las matemáticas a partir de un conjunto de axiomas lógicos , utilizando una teoría de tipos para evitar las paradojas que presentaba el sistema de Frege. Si bien Principia Mathematica fue enormemente influyente, el esfuerzo por reducir todas las matemáticas a la lógica se consideró finalmente incompleto. Sin embargo, sí impulsó el desarrollo de la lógica matemática y la filosofía analítica . ^{[ 18 ]}

El formalismo matemático trata los objetos como símbolos dentro de un sistema formal . El enfoque se centra en la manipulación de estos símbolos según reglas específicas, en lugar de en los objetos mismos. Una interpretación común del formalismo considera las matemáticas no como un conjunto de proposiciones que representan una parte abstracta de la realidad, sino más bien como un juego, sin mayor compromiso ontológico con los objetos o propiedades que el que implica jugar al parchís o al ajedrez . Desde esta perspectiva, las matemáticas se ocupan de la consistencia de los sistemas formales, más que del descubrimiento de objetos preexistentes. Algunos filósofos consideran el logicismo como un tipo de formalismo. ^{[ 19 ]}

Algunos formalistas destacados son:

• David Hilbert : Destacado matemático de principios del siglo XX, Hilbert es uno de los defensores más prominentes del formalismo como fundamento de las matemáticas (véase el programa de Hilbert ). Creía que las matemáticas son un sistema de reglas formales y que su verdad reside en la coherencia de estas reglas, más que en cualquier conexión con una realidad abstracta. ^{[ 20 ]}
• Hermann Weyl : matemático y filósofo alemán que, si bien no era estrictamente formalista, contribuyó a las ideas formalistas, particularmente en su trabajo sobre los fundamentos de las matemáticas. ^{[ 21 ]} Freeman Dyson escribió que Weyl era el único comparable con los "últimos grandes matemáticos universales del siglo XIX", Henri Poincaré y David Hilbert . ^{[ 22 ]}

El constructivismo matemático afirma que es necesario encontrar (o «construir») un ejemplo específico de un objeto matemático para probar que existe. En contraste, en matemáticas clásicas, se puede probar la existencia de un objeto matemático sin «encontrarlo» explícitamente, asumiendo su inexistencia y luego derivando una contradicción de esa suposición. Tal prueba por contradicción podría llamarse no constructiva, y un constructivista podría rechazarla. El punto de vista constructivo implica una interpretación verificativa del cuantificador existencial , que está en desacuerdo con su interpretación clásica. ^{[ 23 ]} Hay muchas formas de constructivismo. ^{[ 24 ]} Estas incluyen el programa de intuicionismo de Brouwer , el finitismo de Hilbert y Bernays , las matemáticas recursivas constructivas de los matemáticos Shanin y Markov , y el programa de análisis constructivo de Bishop . ^{[ 25 ]} El constructivismo también incluye el estudio de teorías de conjuntos constructivas como la de Zermelo-Fraenkel constructiva y el estudio de la filosofía.

Algunos constructivistas destacados son:

• LEJ Brouwer : matemático y filósofo neerlandés considerado uno de los más grandes matemáticos del siglo XX, conocido por (entre otras cosas) ser pionero del movimiento intuicionista de la lógica matemática y por oponerse al movimiento formalista de David Hilbert (véase: controversia Brouwer-Hilbert ).
• Errett Bishop : matemático estadounidense conocido por su trabajo en análisis. Es especialmente conocido por desarrollar el análisis constructivo en su obra de 1967 , Fundamentos del análisis constructivo , donde demostró la mayoría de los teoremas importantes del análisis real utilizando métodos constructivistas.

El estructuralismo sugiere que los objetos matemáticos se definen por su lugar dentro de una estructura o sistema. La naturaleza de un número, por ejemplo, no está ligada a ninguna cosa en particular, sino a su función dentro del sistema aritmético . En cierto sentido, la tesis es que los objetos matemáticos (si es que existen) simplemente no tienen una naturaleza intrínseca. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

Algunos estructuralistas destacados son:

• Paul Benacerraf : Filósofo conocido por su trabajo en la filosofía de las matemáticas, en particular por su artículo "Lo que los números no podrían ser", en el que defiende una visión estructuralista de los objetos matemáticos.
• Stewart Shapiro : Otro filósofo prominente que ha desarrollado y defendido el estructuralismo, especialmente en su libro Filosofía de las matemáticas: Estructura y ontología . ^{[ 28 ]}