Lógica matemática

Las teorías de la lógica se desarrollaron en muchas culturas a lo largo de la historia, incluyendo la antigua China , India , Grecia , el Imperio Romano y el mundo islámico . Los métodos griegos, en particular la lógica aristotélica (o lógica de términos) que se encuentra en el Organon , tuvieron una amplia aplicación y aceptación en la ciencia y las matemáticas occidentales durante milenios. ^{[ 7 ]} Los estoicos , especialmente Crisipo , iniciaron el desarrollo de la lógica proposicional . En la Europa del siglo XVIII, algunos matemáticos filosóficos, como Leibniz y Lambert , intentaron abordar las operaciones de la lógica formal de forma simbólica o algebraica , pero sus trabajos permanecieron aislados y poco conocidos.

A mediados del siglo XIX, George Boole y luego Augustus De Morgan presentaron tratamientos matemáticos sistemáticos de la lógica. Su trabajo, basado en el de algebristas como George Peacock , extendió la doctrina aristotélica tradicional de la lógica a un marco suficiente para el estudio de los fundamentos de las matemáticas . ^{[ 8 ]} En 1847, Vatroslav Bertić realizó un trabajo sustancial sobre la algebrización de la lógica, independientemente de Boole. ^{[ 9 ]} Charles Sanders Peirce posteriormente se basó en el trabajo de Boole para desarrollar un sistema lógico para relaciones y cuantificadores, que publicó en varios artículos entre 1870 y 1885.

Gottlob Frege presentó un desarrollo independiente de la lógica con cuantificadores en su obra Begriffsschrift , publicada en 1879, considerada generalmente como un punto de inflexión en la historia de la lógica. Sin embargo, el trabajo de Frege permaneció poco conocido hasta que Bertrand Russell comenzó a difundirlo a principios del siglo XX. La notación bidimensional que desarrolló Frege nunca se adoptó ampliamente y no se utiliza en los textos contemporáneos.

Entre 1890 y 1905, Ernst Schröder publicó Vorlesungen über die Algebra der Logik en tres volúmenes. Esta obra resumió y amplió el trabajo de Boole, De Morgan y Peirce, y constituyó una referencia exhaustiva sobre la lógica simbólica tal como se entendía a finales del siglo XIX.

En las primeras décadas del siglo XX, las principales áreas de estudio eran la teoría de conjuntos y la lógica formal. El descubrimiento de paradojas en la teoría informal de conjuntos llevó a algunos a preguntarse si las matemáticas mismas eran inconsistentes y a buscar pruebas de consistencia.

En 1900, Hilbert planteó una famosa lista de 23 problemas para el siglo siguiente. Los dos primeros consistían en resolver la hipótesis del continuo y demostrar la consistencia de la aritmética elemental, respectivamente; el décimo, en desarrollar un método para determinar si una ecuación polinómica multivariable sobre los enteros tiene solución. Los trabajos posteriores para resolver estos problemas marcaron el rumbo de la lógica matemática, al igual que el intento de resolver el Entscheidungsproblem de Hilbert , planteado en 1928. Este problema solicitaba un procedimiento que, dada una proposición matemática formalizada, determinara si dicha proposición es verdadera o falsa.

Lógica simbólica

Leopold Löwenheim ^{[ 29 ]} y Thoralf Skolem ^{[ 30 ]} obtuvieron el teorema de Löwenheim-Skolem , que establece que la lógica de primer orden no puede controlar las cardinalidades de las estructuras infinitas. Skolem se percató de que este teorema se aplicaría a las formalizaciones de primer orden de la teoría de conjuntos, e implicaba que cualquier formalización de este tipo posee un modelo numerable . Este hecho contraintuitivo se conoció como la paradoja de Skolem .

En su tesis doctoral, Kurt Gödel demostró el teorema de completitud , que establece una correspondencia entre sintaxis y semántica en la lógica de primer orden. ^{[ 31 ]} Gödel utilizó el teorema de completitud para demostrar el teorema de compacidad , evidenciando la naturaleza finita de la consecuencia lógica de primer orden . Estos resultados contribuyeron a consolidar la lógica de primer orden como la lógica dominante utilizada por los matemáticos.

En 1931, Gödel publicó * Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados* , donde demostró la incompletitud (en un sentido diferente del término) de todas las teorías de primer orden suficientemente fuertes y efectivas. Este resultado, conocido como el teorema de incompletitud de Gödel , impone severas limitaciones a los fundamentos axiomáticos de las matemáticas, asestando un duro golpe al programa de Hilbert. Demostró la imposibilidad de proporcionar una prueba de consistencia de la aritmética dentro de cualquier teoría formal de la aritmética. Sin embargo, Hilbert no reconoció la importancia del teorema de incompletitud durante algún tiempo. ^{[ a ]}

El teorema de Gödel muestra que una prueba de consistencia de cualquier sistema axiomático suficientemente fuerte y efectivo no puede obtenerse en el propio sistema, si este es consistente, ni en ningún sistema más débil. Esto deja abierta la posibilidad de pruebas de consistencia que no pueden formalizarse dentro del sistema que consideran. Gentzen demostró la consistencia de la aritmética utilizando un sistema finitista junto con un principio de inducción transfinita . ^{[ 32 ]} El resultado de Gentzen introdujo las ideas de eliminación de cortes y ordinales de la teoría de la demostración , que se convirtieron en herramientas clave en la teoría de la demostración. Gödel dio una prueba de consistencia diferente, que reduce la consistencia de la aritmética clásica a la de la aritmética intuicionista en tipos superiores. ^{[ 33 ]}

El primer libro de texto sobre lógica simbólica para el profano fue escrito por Lewis Carroll , ^{[ 34 ]} autor de Alicia en el País de las Maravillas , en 1896. ^{[ 35 ]}

La lógica de primer orden es un sistema formal particular de lógica . Su sintaxis involucra solo expresiones finitas como fórmulas bien formadas , mientras que su semántica se caracteriza por la limitación de todos los cuantificadores a un dominio fijo del discurso .

Los primeros resultados de la lógica formal establecieron las limitaciones de la lógica de primer orden. El teorema de Löwenheim-Skolem (1919) demostró que si un conjunto de oraciones en un lenguaje numerable de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene al menos un modelo de cada cardinalidad infinita. Esto demuestra que es imposible que un conjunto de axiomas de primer orden caracterice los números naturales, los números reales o cualquier otra estructura infinita salvo isomorfismo . Dado que el objetivo de los primeros estudios fundamentales era producir teorías axiomáticas para todas las ramas de las matemáticas, esta limitación resultó particularmente evidente.

El teorema de completitud de Gödel estableció la equivalencia entre las definiciones semánticas y sintácticas de consecuencia lógica en la lógica de primer orden. ^{[ 31 ]} Demuestra que si una oración particular es verdadera en todo modelo que satisface un conjunto particular de axiomas, entonces debe existir una deducción finita de la oración a partir de los axiomas. El teorema de compacidad apareció por primera vez como un lema en la demostración del teorema de completitud de Gödel, y pasaron muchos años antes de que los lógicos comprendieran su importancia y comenzaran a aplicarlo de forma rutinaria. Afirma que un conjunto de oraciones tiene un modelo si y solo si todo subconjunto finito tiene un modelo, o dicho de otro modo, que un conjunto inconsistente de fórmulas debe tener un subconjunto inconsistente finito. Los teoremas de completitud y compacidad permiten un análisis sofisticado de la consecuencia lógica en la lógica de primer orden y el desarrollo de la teoría de modelos , y son una razón clave de la prominencia de la lógica de primer orden en matemáticas.

Los teoremas de incompletitud de Gödel establecen límites adicionales a las axiomatizaciones de primer orden. ^{[ 38 ]} El primer teorema de incompletitud afirma que para cualquier sistema lógico consistente y efectivamente dado (definido más adelante) que sea capaz de interpretar la aritmética, existe una afirmación que es verdadera (en el sentido de que se cumple para los números naturales) pero no demostrable dentro de ese sistema lógico (y que de hecho puede fallar en algunos modelos no estándar de aritmética que pueden ser consistentes con el sistema lógico). Por ejemplo, en todo sistema lógico capaz de expresar los axiomas de Peano , la sentencia de Gödel se cumple para los números naturales pero no se puede demostrar.

Aquí se dice que un sistema lógico está efectivamente dado si es posible decidir, dada cualquier fórmula en el lenguaje del sistema, si la fórmula es un axioma, y ​​uno que puede expresar los axiomas de Peano se llama "suficientemente fuerte". Cuando se aplica a la lógica de primer orden, el primer teorema de incompletitud implica que cualquier teoría de primer orden suficientemente fuerte, consistente y efectiva tiene modelos que no son elementalmente equivalentes , una limitación más fuerte que la establecida por el teorema de Löwenheim-Skolem. El segundo teorema de incompletitud afirma que ningún sistema axiomático suficientemente fuerte, consistente y efectivo para la aritmética puede probar su propia consistencia, lo que se ha interpretado como una demostración de que el programa de Hilbert no se puede alcanzar.

Se estudian muchas lógicas además de la lógica de primer orden. Entre ellas se incluyen las lógicas infinitas , que permiten que las fórmulas proporcionen una cantidad infinita de información, y las lógicas de orden superior , que incorporan una parte de la teoría de conjuntos directamente en su semántica.

La lógica infinitaria más estudiada es${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$En esta lógica, los cuantificadores solo pueden anidarse a profundidades finitas, como en la lógica de primer orden, pero las fórmulas pueden tener conjunciones y disyunciones finitas o infinitas numerables dentro de ellas. Así, por ejemplo, es posible decir que un objeto es un número entero usando una fórmula de${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$como

${\displaystyle (x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor \cdots .}$

Las lógicas de orden superior permiten cuantificar no solo elementos del dominio del discurso , sino también subconjuntos del dominio, conjuntos de dichos subconjuntos y otros objetos de tipo superior. La semántica se define de tal manera que, en lugar de que cada cuantificador de tipo superior opere sobre un dominio separado, los cuantificadores abarcan todos los objetos del tipo apropiado. Las lógicas estudiadas antes del desarrollo de la lógica de primer orden, como la lógica de Frege, presentaban aspectos conjuntistas similares. Si bien las lógicas de orden superior son más expresivas, permitiendo axiomatizaciones completas de estructuras como los números naturales, no satisfacen análogos de los teoremas de completitud y compacidad de la lógica de primer orden, y por lo tanto son menos susceptibles al análisis de la teoría de la demostración.

Otro tipo de lógicas sonlógica de punto fijo que permitedefiniciones inductivas, como las que se escriben parafunciones recursivas primitivas.

Se puede definir formalmente una extensión de la lógica de primer orden , una noción que engloba todas las lógicas de esta sección porque se comportan como la lógica de primer orden en ciertos aspectos fundamentales, pero que no engloba todas las lógicas en general; por ejemplo, no engloba la lógica intuicionista, modal o difusa .

El teorema de Lindström implica que la única extensión de la lógica de primer orden que satisface tanto el teorema de compacidad como el teorema descendente de Löwenheim-Skolem es la lógica de primer orden.

Las lógicas modales incluyen operadores modales adicionales, como un operador que establece que una fórmula particular no solo es verdadera, sino necesariamente verdadera. Aunque la lógica modal no se usa frecuentemente para axiomatizar las matemáticas, se ha utilizado para estudiar las propiedades de la demostrabilidad de primer orden ^{[ 39 ]} y la imposición de conjuntos ^{[ 40 ] .}

La lógica intuicionista fue desarrollada por Heyting para estudiar el programa de intuicionismo de Brouwer, en el que el propio Brouwer evitó la formalización. La lógica intuicionista no incluye específicamente la ley del tercero excluido , que establece que cada enunciado es verdadero o su negación es verdadera. El trabajo de Kleene con la teoría de la demostración de la lógica intuicionista demostró que se puede recuperar información constructiva a partir de las demostraciones intuicionistas. Por ejemplo, cualquier función demostrablemente total en la aritmética intuicionista es computable ; esto no es cierto en las teorías clásicas de la aritmética, como la aritmética de Peano .

La lógica algebraica utiliza los métodos del álgebra abstracta para estudiar la semántica de las lógicas formales. Un ejemplo fundamental es el uso de álgebras booleanas para representar valores de verdad en la lógica proposicional clásica, y el uso de álgebras de Heyting para representar valores de verdad en la lógica proposicional intuicionista. Las lógicas más fuertes, como la lógica de primer orden y la lógica de orden superior, se estudian utilizando estructuras algebraicas más complejas, como las álgebras cilíndricas .

Un subcampo importante de la teoría de la recursión estudia la irresolubilidad algorítmica; un problema de decisión o un problema de función es irresoluble algorítmicamente si no existe ningún algoritmo computable posible que devuelva la respuesta correcta para todas las entradas válidas del problema. Los primeros resultados sobre la irresolubilidad, obtenidos independientemente por Church y Turing en 1936, demostraron que el problema de decisión (Entscheidungsproblem) es irresoluble algorítmicamente. Turing lo demostró al establecer la irresolubilidad del problema de la parada , un resultado con amplias implicaciones tanto en la teoría de la recursión como en la informática.

Existen numerosos ejemplos conocidos de problemas indecidibles en matemáticas ordinarias. El problema de la palabra para grupos fue demostrado como irresoluble algorítmicamente por Pyotr Novikov en 1955 e independientemente por W. Boone en 1959. El problema del castor ocupado , desarrollado por Tibor Radó en 1962, es otro ejemplo bien conocido.

El décimo problema de Hilbert solicitaba un algoritmo para determinar si una ecuación polinómica multivariable con coeficientes enteros tiene una solución en los enteros. Julia Robinson , Martin Davis y Hilary Putnam lograron avances parciales . La irresolubilidad algorítmica del problema fue demostrada por Yuri Matiyasevich en 1970. ^{[ 46 ]}

• Boolos, George ; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2002). Computabilidad y lógica (4.ª  ed.). Cambridge University Press . ISBN 9780521007580.
• Crossley, JN; Ash, CJ; Brickhill, CJ; Stillwell, JC; Williams, NH (1972). ¿Qué es la lógica matemática? Londres, Oxford, Nueva York: Oxford University Press . ISBN 9780198880875. Zbl 0251.02001 . 
• Ebbinghaus, H.-D.; Flum, J.; Thomas, W. (1994). Lógica matemática (2.ª  ed.). Nueva York : Springer . ISBN 9780387942582.
• Enderton, Herbert (2001). Introducción matemática a la lógica (2.ª  ed.). Boston, MA: Academic Press . ISBN 978-0-12-238452-3.
• Fisher, Alec (1982). Teoría formal de números y computabilidad: un libro de ejercicios . (Adecuado como primer curso para estudio independiente) (1.ª  ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853188-3.
• Hamilton, AG (1988). Lógica para matemáticos (2.ª  ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36865-0.
• Hedman, Shawn (2004), Un primer curso de lógica: una introducción a la teoría de modelos, la teoría de la demostración, la computabilidad y la complejidad , Oxford University Press , 2004, ISBN 0-19-852981-3Abarca lógicas estrechamente relacionadas con la teoría de la computabilidad y la teoría de la complejidad .
• Katz, Robert (1964). Análisis axiomático . Boston, MA: DC Heath and Company .
• Mendelson, Elliott (1997). Introducción a la lógica matemática (4.ª  ed.). Londres: Chapman & Hall . ISBN 978-0-412-80830-2.
• Rautenberg, Wolfgang (2010). Una introducción concisa a la lógica matemática (3.ª  ed.). Nueva York : Springer . doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 . ISBN 9781441912206.
• Schwichtenberg, Helmut (2003-2004). Lógica Matemática (PDF) . Múnich : Mathematisches Institut der Universität München . Consultado el 24 de febrero de 2016 .
• van Dalen, Dirk (2013). Lógica y Estructura . Texto universitario. Berlín: Springer . doi : 10.1007/978-1-4471-4558-5 . ISBN 978-1-4471-4557-8.
• Walicki, Michał (2011). Introducción a la Lógica Matemática . Singapur : Publicaciones científicas mundiales . ISBN 9789814343879.

• Andrews, Peter B. (2002). Introducción a la lógica matemática y la teoría de tipos: Hacia la verdad a través de la demostración (2.ª  ed.). Boston : Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-0763-7.
• Barwise, Jon , ed. (1989). Manual de lógica matemática . Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas. Ámsterdam : Elsevier . ISBN 9780444863881.
• Hinman, Peter G. (2005). Fundamentos de lógica matemática . AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-262-0.
• Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Cambridge University Press . ISBN 9780521587136.
• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos: Edición del milenio . Monografías de Springer en matemáticas. Berlín, Nueva York: Springer . ISBN 9783540440857.
• Kleene, Stephen Cole (1952). Introducción a la metamatemática. Nueva York: Van Nostrand. (Ishi Press: reimpresión de 2009).
• Kleene, Stephen Cole (1967). Lógica matemática. John Wiley. Reimpresión de Dover, 2002. ISBN 0-486-42533-9.
• Shoenfield, Joseph R. (2001) [1967]. Lógica matemática (2.ª  ed.). AK Peters . ISBN 9781568811352.
• Troelstra, Anne Sjerp ; Schwichtenberg, Helmut (2000). Teoría básica de la demostración . Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science (2.ª  ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-77911-1.

• Augusto, Luis M. (2017). Consecuencias lógicas. Teoría y aplicaciones: Una introducción . Londres: College Publications. ISBN 978-1-84890-236-7.
• Boehner, Filoteo (1950). Lógica medieval . Manchester.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
• Cohen, Paul J. (1966). Teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo . Menlo Park, CA : WA Benjamin.
• Cohen, Paul J. (2008) [1966]. Teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo . Mineola, NY : Dover Publications. ISBN 9780486469218.
• Davis, Martin (1973). " El décimo problema de Hilbert es irresoluble". The American Mathematical Monthly . 80 (3): 233– 269. doi : 10.2307/2318447 . JSTOR 2318447 . Reimpreso como apéndice en Martin Davis (1985). Computabilidad e insolubilidad . Dover. ISBN 9780486614717.
• Felscher, Walter (2000). "Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta". The American Mathematical Monthly . 107 (9): 844– 862. doi : 10.2307/2695743 . JSTOR 2695743 . 
• Ferreirós, José (2001). "El camino a la lógica moderna: una interpretación" (PDF) . Boletín de lógica simbólica . 7 (4): 441– 484. doi : 10.2307/2687794 . hdl : 11441/38373 . JSTOR 2687794. S2CID 43258676 .  
• Hamkins, Joel David; Löwe, Benedikt (2007). "La lógica modal de la imposición". Transactions of the American Mathematical Society . 360 (4): 1793– 1818. arXiv : math/0509616 . doi : 10.1090/s0002-9947-07-04297-3 . S2CID 14724471 . 
• Katz, Victor J. (1998). Historia de las matemáticas . Addison–Wesley. ISBN 9780321016188.
• Morley, Michael (1965). "Categoricity in Power" . Transactions of the American Mathematical Society . 114 (2): 514– 538. doi : 10.2307/1994188 . JSTOR 1994188 . 
• Sneed, JD (1971). La estructura lógica de la física matemática . Reidel, Dordrecht, 1971 (edición revisada 1979).
• Soare, Robert I. (1996). "Computabilidad y recursión". Boletín de lógica simbólica . 2 (3): 284– 321. CiteSeerX 10.1.1.35.5803 . doi : 10.2307/420992 . JSTOR 420992. S2CID 5894394 .   
• Solovay, Robert M. (1976). "Interpretaciones de demostrabilidad de la lógica modal". Israel Journal of Mathematics . 25 ( 3– 4): 287– 304. doi : 10.1007/BF02757006 . S2CID 121226261 . 
• Woodin, W. Hugh (2001). "La hipótesis del continuo, parte I" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 48 (6).

• Banach, Stefan ; Tarski, Alfred (1924). "Sobre la descomposición de conjuntos de puntos en partidos respectivamente congruentes" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 6 : 244– 277. doi : 10.4064/fm-6-1-244-277 .

Bochenski, Jozef Maria, ed. (1959). A Precis of Mathematical Logic . Synthese Library, Vol. 1. Traducido por Otto Bird. Dordrecht : Springer . doi : 10.1007/978-94-017-0592-9 . ISBN 9789048183296.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

• Burali-Forti, Cesare (1897). Una pregunta sobre números transfinitos .Reimpreso en van Heijenoort 1976 , págs. 104-111 . 

Cantor, Georg (1874). "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" (PDF) . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1874 (77): 258– 262. doi : 10.1515/crll.1874.77.258 . S2CID 199545885 . Carroll, Lewis (1896). Lógica simbólica . Reimpresiones del legado de Kessinger. ISBN 9781163444955.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

• Dedekind, Richard (1872). Stetigkeit und irrationale Zahlen (en alemán).Traducción al inglés como: "Consistencia y números irracionales".
• Dedekind, Richard (1888). Was sind und was sollen die Zahlen? .Dos traducciones al inglés:
  • 1963 (1901). Ensayos sobre la teoría de los números . Beman, WW, ed. y trad. Dover.
  • 1996. En De Kant a Hilbert: Un libro de referencia sobre los fundamentos de las matemáticas , 2 vols., Ewald, William B., ed., Oxford University Press : 787–832.
• Fraenkel, Abraham A. (1922). "Der Begriff 'definit' und die Unabhängigkeit des Auswahlsaxioms". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (en alemán). págs. 253-257 . Reimpreso en traducción al inglés como "The notion of 'definite' and the independent of the axiom of choice" en van Heijenoort 1976 , pp. 284–289 . 
• Frege, Gottlob (1879). Begriffsschrift , eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Halle AS: Louis Nebert. Traducción: Concept Script, un lenguaje formal de pensamiento puro inspirado en el de la aritmética , por S. Bauer-Mengelberg en van Heijenoort 1976 .
• Frege, Gottlob (1884). Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-matematische Untersuchung über den Begriff der Zahl . Breslau: W. Koebner. Traducción: JL Austin , 1974. Los fundamentos de la aritmética: una investigación lógico-matemática sobre el concepto de número , 2ª ed. Blackwell.
• Gentzen, Gerhard (1936). "Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie". Annalen Matemáticas . 112 : 132–213.doi : 10.1007 / BF01565428 . S2CID 122719892 . Reimpreso en traducción al inglés en Obras completas de Gentzen , ME Szabo, ed., North-Holland, Ámsterdam, 1969.
• Gödel, Kurt (1929). Über die Vollständigkeit des Logikkalküls [ Completitud del cálculo lógico ] . tesis doctoral. Universidad de Viena.
• Gödel, Kurt (1930). "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionen-kalküls" [ La completitud de los axiomas del cálculo de funciones lógicas ] . Monatshefte für Mathematik und Physik (en alemán). 37 : 349– 360. doi : 10.1007/BF01696781 . S2CID 123343522 . 
• Gödel, Kurt (1931). "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I" [ Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados ] . Monatshefte für Mathematik und Physik (en alemán). 38 (1): 173– 198. doi : 10.1007/BF01700692 . S2CID 197663120 . 
• Gödel, Kurt (1958). "Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes" . Dialéctica (en alemán). 12 ( 3– 4): 280– 287. doi : 10.1111/j.1746-8361.1958.tb01464.x .Reimpreso en traducción al inglés en Obras Completas de Gödel , vol. II, Solomon Feferman et al., eds. Oxford University Press, 1993.
• van Heijenoort, Jean , ed. (1976) [1967]. De Frege a Gödel: Un libro de referencia en lógica matemática, 1879-1931 (3.ª  ed.). Cambridge, MA : Harvard University Press . ISBN 9780674324497(pbk.).
• Hilbert, David (1899). Grundlagen der Geometrie (en alemán). Leipzig : Teubner.Edición en inglés de 1902 ( Los fundamentos de la geometría ), reeditada en 1980 por Open Court, Chicago.
• Hilbert, David (1929). "Problema der Grundlegung der Mathematik" . Annalen Matemáticas . 102 : 1– 9. doi : 10.1007/BF01782335 . S2CID 122870563 . Archivado desde el original el 8 de septiembre de 2017 . Consultado el 16 de septiembre de 2013 . Conferencia impartida en el Congreso Internacional de Matemáticos, el 3 de septiembre de 1928. Publicada en traducción al inglés como "The Grounding of Elementary Number Theory" (Los fundamentos de la teoría elemental de números) en Mancosu 1998, págs.  266-273.
• Hilbert, David ; Bernays, Pablo (1934). Grundlagen der Mathematik. I . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol.  40. Berlín, Nueva York: Springer . ISBN 9783540041344. JFM 60.0017.02 . MR 0237246 .  {{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Kleene, Stephen Cole (1943). "Predicados y cuantificadores recursivos" . Transactions of the American Mathematical Society . 53 (1): 41– 73. doi : 10.2307/1990131 . JSTOR 1990131 . 
• Lobachevsky, Nikolai (1840). Geometrishe Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien (en alemán).Reimpreso en traducción al inglés como Robert Bonola, ed. (1955). «Investigaciones geométricas sobre la teoría de las líneas paralelas». Geometría no euclidiana . Dover. ISBN 0-486-60027-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Lowenheim, Leopold (1915). "Über Möglichkeiten im Relativkalkül" . Mathematische Annalen (en alemán). 76 (4): 447– 470. doi : 10.1007/BF01458217 . ISSN 0025-5831 . S2CID 116581304 . Archivado desde el original el 8 de septiembre de 2017 . Consultado el 16 de septiembre de 2013 .  Traducido como "Sobre las posibilidades en el cálculo de relativos" en Jean van Heijenoort (1967). A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 . Harvard Univ. Press. pp. 228–251 . 
• Mancosu, Paolo , ed. (1998). De Brouwer a Hilbert. El debate sobre los fundamentos de las matemáticas en la década de 1920. Oxford University Press.
• Pasch, Moritz (1882). Vorlesungen über neuere Geometrie .
• Peano, Giuseppe (1889). Arithmetices principia, nova Methodo exposita (en lituano).Fragmento reimpreso en traducción al inglés como "Los principios de la aritmética, presentados mediante un nuevo método" en van Heijenoort 1976 , pp. 83–97 . 
• Ricardo, Jules (1905). "Los principios de las matemáticas y el problema de los conjuntos". Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées (en francés). 16 : 541.Reimpreso en traducción al inglés como "Los principios de las matemáticas y los problemas de conjuntos" en van Heijenoort 1976 , pp. 142–144 . 
• Skolem, Thoralf (1920). "Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen". Videnskapsselskapet Skrifter, I. Matematisk-naturvidenskabelig Klasse (en alemán). 6 : 1-36 .

Soare, Robert Irving (22 de diciembre de 2011). "Teoría y aplicaciones de la computabilidad: El arte de la computabilidad clásica" (PDF) . Departamento de Matemáticas . Universidad de Chicago. Archivado del original (PDF) el 30 de junio de 2022. Recuperado el 23 de agosto de 2017 .Swineshead, Richard (1498). Calculations Suiseth Anglici (en lituano). Papie: Per Franciscum Gyrardengum.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación del editor ( enlace )

• Tarski, Alfred (1948). Un método de decisión para álgebra y geometría elementales . Santa Monica CA : RAND Corporation .
• Turing, Alan M. (1939). "Sistemas de lógica basados ​​en ordinales". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 45 (2): 161– 228. doi : 10.1112/plms/s2-45.1.161 . hdl : 21.11116/0000-0001-91CE-3 .
• Weyl, Hermann (1918). El continuo. Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis (en alemán). Leipzig.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
• Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann" . Mathematische Annalen (en alemán). 59 (4): 514– 516. doi : 10.1007/BF01445300 . S2CID 124189935 . Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016 . Consultado el 16 de septiembre de 2013 . Reimpreso en traducción al inglés como "Proof that every set can be well-ordered" en van Heijenoort 1976 , pp. 139–141 . 
• Zermelo, Ernst (1908a). "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung" . Mathematische Annalen (en alemán). 65 : 107– 128. doi : 10.1007/BF01450054 . ISSN 0025-5831 . S2CID 119924143 . Archivado desde el original el 8 de septiembre de 2017 . Consultado el 16 de septiembre de 2013 .  Reimpreso en traducción al inglés como "Una nueva prueba de la posibilidad de un buen ordenamiento" en van Heijenoort 1976 , pp. 183–198 . 
• Zermelo, Ernst (1908b). "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" . Annalen Matemáticas . 65 (2): 261– 281. doi : 10.1007/BF01449999 . S2CID 120085563 . Archivado desde el original el 8 de septiembre de 2017 . Consultado el 16 de septiembre de 2013 .