Aritmetización del análisis

La aritmetización del análisis fue un programa de investigación en los fundamentos de las matemáticas llevado a cabo en la segunda mitad del siglo XIX que pretendía abolir toda intuición geométrica de las demostraciones en el análisis. Para los seguidores de este programa, los conceptos fundamentales del cálculo tampoco debían hacer referencias a las ideas de movimiento y velocidad. Este ideal fue perseguido por Augustin-Louis Cauchy , Bernard Bolzano , Karl Weierstrass , entre otros, quienes consideraban que el cálculo de Isaac Newton carecía de rigor.

Kronecker introdujo originalmente el término aritmetización del análisis , con el que se refería a su constructivización en el contexto de los números naturales (véase la cita al pie de página). El significado del término cambió más tarde para significar la construcción de la línea real en teoría de conjuntos . Su principal defensor fue Weierstrass , quien argumentó que los fundamentos geométricos del cálculo no eran lo suficientemente sólidos para un trabajo riguroso .

Los aspectos más destacados de este programa de investigación son:

• las diversas (pero equivalentes) construcciones de los números reales realizadas por Dedekind y Cantor que dieron como resultado la definición axiomática moderna del cuerpo de números reales ;
• la definición de límite épsilon-delta ; y
• la definición ingenua de la función desde el punto de vista de la teoría de conjuntos .

Una consecuencia importante de la aritmetización del análisis es la teoría de conjuntos. La teoría de conjuntos ingenua fue creada por Cantor y otros después de que se completara la aritmetización como una forma de estudiar las singularidades de las funciones que aparecen en el cálculo.

La aritmetización del análisis tuvo varias consecuencias importantes:

• la creencia generalizada en la eliminación de los infinitesimales de las matemáticas hasta la creación del análisis no estándar por Abraham Robinson en la década de 1960, mientras que en realidad el trabajo sobre sistemas no arquimedianos continuó sin cesar, como lo documentó P. Ehrlich;
• el cambio del énfasis del razonamiento geométrico al algebraico : esto ha tenido consecuencias importantes en la forma en que se enseñan las matemáticas hoy en día;
• hizo posible el desarrollo de la teoría moderna de la medida por Lebesgue y los rudimentos del análisis funcional por Hilbert ;
• Motivó la posición filosófica actualmente prevaleciente de que todas las matemáticas deberían derivarse de la lógica y la teoría de conjuntos, lo que en última instancia condujo al programa de Hilbert , los teoremas de Gödel y el análisis no estándar .

• “Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre.” — Kronecker

• Torina Dechaune Lewis (2006) La aritmetización del análisis: de Eudoxo a Dedekind , Southern University.
• Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011) Una historia de las matemáticas John Wiley & Sons.
• Aritmetización del análisis en la Enciclopedia de Matemáticas .
• James Pierpont (1899) "Sobre la aritmetización de las matemáticas", Bull. Amer. Math. Soc. 5(8): 394–406.