Campo cerrado real

En matemáticas , un cuerpo cerrado real es un cuerpo${\displaystyle F}$que tiene las mismas propiedades de primer orden que el campo de los números reales . (Las propiedades de primer orden son aquellas propiedades que pueden expresarse con los símbolos lógicos).${\displaystyle \forall ,\exists ,\vee ,\land ,\neg ,\to }$y los símbolos aritméticos${\displaystyle 0,1,+,-,\times ,\div ,=}$donde el dominio de todos los cuantificadores es el conjunto${\displaystyle F}$; por lo tanto, no está permitido cuantificar sobre números naturales, subconjuntos de${\displaystyle F}$, secuencias en${\displaystyle F}$funciones${\displaystyle F\to F}$etc.) Algunos ejemplos de cuerpos cerrados reales son el propio cuerpo de los números reales, el cuerpo de los números algebraicos reales y los cuerpos de los números hiperreales que incluyen infinitesimales. En álgebra, la mayoría de los teoremas que involucran los números reales siguen siendo válidos cuando se formulan para cuerpos cerrados reales arbitrarios.

Un cuerpo cerrado real es un cuerpo F en el que se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. F es elementalmente equivalente al cuerpo de los números reales. En otras palabras, tiene las mismas propiedades de primer orden que los reales: cualquier enunciado en el lenguaje de primer orden de los cuerpos es verdadero en F si y solo si es verdadero en los reales.
2. Hay un orden total en F que convierte a F en un campo ordenado tal que, en este ordenamiento, cada elemento positivo de F tiene una raíz cuadrada en F y cualquier polinomio de grado impar con coeficientes en F tiene al menos una raíz en F.
3. Hay un orden total en F que convierte a F en un campo ordenado tal que, en este ordenamiento, el teorema del valor intermedio se cumple para todos los polinomios con coeficientes en F.
4. F es un cuerpo formalmente real (lo que significa que existe un orden total en F que convierte a F en un cuerpo ordenado) tal que todo polinomio de grado impar con coeficientes en F tiene al menos una raíz en F , y para cada elemento a de F hay un b en F tal que a = b ² o a = − b ² .
5. F no es algebraicamente cerrado , pero su clausura algebraica es una extensión finita de F.
6. F no es algebraicamente cerrado, pero la extensión del cuerpo${\displaystyle F({\sqrt {-1}}\,)}$es algebraicamente cerrado.
7. Existe un ordenamiento en F que no se extiende a un ordenamiento en ninguna extensión algebraica propia de F.
8. F es un cuerpo formalmente real tal que ninguna extensión algebraica propia de F es formalmente real. (En otras palabras, el cuerpo es maximal en una clausura algebraica con respecto a la propiedad de ser formalmente real).
9. F es un cuerpo ordenado débilmente o-minimal . ^{[ 1 ]}

Los siguientes campos son realmente cerrados, lo cual se puede demostrar verificando la propiedad 2 anterior:

• el campo de los números algebraicos reales ;
• el campo de los números reales computables ;
• el campo de los números reales definibles ;
• el campo de los números reales ;
• el campo de las series de Puiseux con coeficientes reales;
• el campo Levi-Civita ;
• los campos de números hiperreales ;
• los campos numéricos superreales ;
• el campo de los números surrealistas (esta es una clase propia , no un conjunto ).

Si F es un cuerpo ordenado, el teorema de Artin-Schreier establece que F tiene una extensión algebraica, llamada clausura real K de F , tal que K es un cuerpo cerrado real cuyo orden es una extensión del orden dado en F , y es único salvo un único isomorfismo de cuerpos idénticos en F ^{[ 2 ]} (nótese que todo homomorfismo de anillos entre cuerpos cerrados reales preserva automáticamente el orden , porque x  ≤ y si y solo si ∃ z : y = x + z ² ). Por ejemplo, la clausura real del cuerpo ordenado de los números racionales es el cuerpo      ${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {alg} }}$de números algebraicos reales. El teorema recibe su nombre de Emil Artin y Otto Schreier , quienes lo demostraron en 1926.

Si ( F , P ) es un cuerpo ordenado y E es una extensión de Galois de F , entonces, por el lema de Zorn, existe una extensión de cuerpo ordenado maximal ( M , Q ) con M un subcuerpo de E que contiene a F y el orden en M que extiende a P. Este M , junto con su orden Q , se denomina clausura real relativa de ( F , P ) en E. Decimos que ( F , P ) es real cerrada con respecto a E si M es simplemente F. Cuando E es la clausura algebraica de F, la clausura real relativa de F en E es en realidad la clausura real de F descrita anteriormente. ^{[ 3 ]}

Si F es un cuerpo (no ordenado ni siquiera ordenable), entonces F todavía tiene un cierre real, que puede que ya no sea un cuerpo, sino simplemente un anillo cerrado real . Por ejemplo, el cierre real del cuerpo${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$es el anillo${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$(las dos copias corresponden a los dos ordenamientos de${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$). Por otro lado, si${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$se considera como un subcampo ordenado de${\displaystyle \mathbb {R} }$, su verdadero cierre es de nuevo el campo${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {alg} }}$.

El lenguaje de los campos cerrados reales${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$incluye símbolos para las operaciones de suma y multiplicación, las constantes 0 y 1, y la relación de orden ≤ (así como la igualdad, si no se considera un símbolo lógico). En este lenguaje, la teoría (de primer orden) de campos reales cerrados,${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$, consta de todas las oraciones que se derivan de los siguientes axiomas:

• los axiomas de los cuerpos ordenados ;
• el axioma que afirma que todo número positivo tiene una raíz cuadrada;
• por cada número impar${\displaystyle d}$, el axioma que afirma que todos los polinomios de grado${\displaystyle d}$tener al menos una raíz.

Todos estos axiomas pueden expresarse en lógica de primer orden (es decir, la cuantificación abarca solo elementos del campo). Nótese que${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$es simplemente el conjunto de todas las proposiciones de primer orden que son verdaderas sobre el campo de los números reales.

Tarski demostró que${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$está completo , lo que significa que cualquier${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$-La oración puede probarse como verdadera o falsa a partir de los axiomas anteriores. Además,${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$es decidible , lo que significa que existe un algoritmo para determinar la verdad o falsedad de cualquier oración de este tipo. Esto se hizo mostrando la eliminación de cuantificadores : existe un algoritmo que, dado cualquier${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$- La fórmula , que puede contener variables libres , produce una fórmula equivalente sin cuantificadores en las mismas variables libres, donde equivalente significa que ambas fórmulas son verdaderas para exactamente los mismos valores de las variables. La demostración de Tarski utiliza una generalización del teorema de Sturm . Dado que la verdad de las fórmulas sin cuantificadores y sin variables libres se puede comprobar fácilmente, esto proporciona el procedimiento de decisión deseado. Estos resultados se obtuvieron alrededor de 1930 y se publicaron en 1948. ^{[ 4 ]}

El teorema de Tarski-Seidenberg extiende este resultado al siguiente teorema de proyección . Si R es un cuerpo real cerrado, una fórmula con n variables libres define un subconjunto de R ⁿ , el conjunto de los puntos que satisfacen la fórmula. Dicho subconjunto se denomina conjunto semialgebraico . Dado un subconjunto de k variables, la proyección de R ⁿ a R ^k es la función que asigna a cada n -tupla la k -tupla de componentes correspondiente al subconjunto de variables. El teorema de proyección afirma que una proyección de un conjunto semialgebraico es un conjunto semialgebraico, y que existe un algoritmo que, dada una fórmula sin cuantificadores que define un conjunto semialgebraico, produce una fórmula sin cuantificadores para su proyección.

De hecho, el teorema de proyección es equivalente a la eliminación de cuantificadores, ya que la proyección de un conjunto semialgebraico definido por la fórmula p ( x , y ) se define por

${\displaystyle (\exists x)P(x,y),}$

donde x e y representan respectivamente el conjunto de variables eliminadas y el conjunto de variables conservadas.

La decidibilidad de una teoría de primer orden de los números reales depende drásticamente de las operaciones y funciones primitivas que se consideren (en este caso, la suma y la multiplicación). La adición de otros símbolos de funciones, como el seno o la exponencial , puede dar lugar a teorías indecidibles; véase el teorema de Richardson y la decidibilidad de las teorías de primer orden de los números reales .

Además, la completitud y decidibilidad de la teoría de primer orden de los números reales (utilizando la suma y la multiplicación) contrasta marcadamente con los resultados de Gödel y Turing sobre la incompletitud e indecidibilidad de la teoría de primer orden de los números naturales (utilizando la suma y la multiplicación). No hay contradicción, ya que la afirmación " x es un entero" no puede formularse como una fórmula de primer orden en el lenguaje.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$.

Cualquier cuerpo cerrado real puede convertirse en un cuerpo ordenado de una sola manera: los elementos positivos son precisamente los cuadrados de los elementos distintos de cero.

Una propiedad crucial de los números reales es que constituyen un cuerpo arquimediano , lo que significa que poseen la propiedad arquimediana de que para cualquier número real, existe un entero mayor que él en valor absoluto . Cabe destacar que esta afirmación no se puede expresar en el lenguaje de primer orden de los cuerpos ordenados, ya que no es posible cuantificar sobre los enteros en dicho lenguaje.

Existen cuerpos reales cerrados que no son arquimedianos ; por ejemplo, cualquier cuerpo de números hiperreales es real cerrado y no arquimediano. Estos cuerpos contienen elementos infinitamente grandes (mayores que cualquier entero) e infinitesimales (positivos pero menores que cualquier racional positivo).

La propiedad arquimediana está relacionada con el concepto de cofinalidad . Un conjunto X contenido en un conjunto ordenado F es cofinal en F si para cada y en F existe un x en X tal que y < x . En otras palabras, X es una sucesión no acotada en F. La cofinalidad de F es la cardinalidad del conjunto cofinal más pequeño, es decir, el tamaño de la cardinalidad más pequeña que da una sucesión no acotada. Por ejemplo, los números naturales son cofinales en los reales, y la cofinalidad de los reales es, por lo tanto,${\displaystyle \aleph _{0}}$.

Por lo tanto, tenemos los siguientes invariantes que definen la naturaleza de un cuerpo real cerrado F :

• La cardinalidad de F.
• La cofinalidad de F.

A esto podemos añadir

• El peso de F , que es el tamaño mínimo de un subconjunto denso de F.

Estos tres números cardinales nos dicen mucho sobre las propiedades de orden de cualquier cuerpo cerrado real, aunque puede ser difícil descubrir cuáles son, especialmente si no estamos dispuestos a invocar la hipótesis del continuo generalizado . También hay propiedades particulares que pueden o no cumplirse:

• Un cuerpo F es completo si no existe ningún cuerpo ordenado K que contenga propiamente a F tal que F sea denso en K. Si la cofinalidad de F es κ , esto es equivalente a decir que las sucesiones de Cauchy indexadas por κ son convergentes en F.
• Un campo ordenado F tiene la propiedad de conjunto eta η _α , para el número ordinal α , si para cualesquiera dos subconjuntos L y U de F de cardinalidad menor que${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$De tal manera que cada elemento de L es menor que cada elemento de U , existe un elemento x en F tal que x es mayor que cada elemento de L y menor que cada elemento de U. Esto está estrechamente relacionado con la propiedad de la teoría de modelos de ser un modelo saturado ; cualesquiera dos campos reales cerrados son η _α si y solo si son${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$-saturado, y además dos campos reales cerrados η _{α ambos de cardinalidad}${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$son isomorfos en orden .

Las características de los campos cerrados reales se simplifican mucho si estamos dispuestos a asumir la hipótesis del continuo generalizada . Si la hipótesis del continuo se cumple, todos los campos cerrados reales con cardinalidad del continuo y que poseen la propiedad η ₁ son isomorfos en orden. Este campo único Ϝ puede definirse mediante una ultrapotencia , como${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M} }$donde M es un ideal maximal que no conduce a un orden de campo isomorfo a${\displaystyle \mathbb {R} }$. Este es el campo de números hiperreales más comúnmente utilizado en el análisis no estándar , y su unicidad es equivalente a la hipótesis del continuo. (Incluso sin la hipótesis del continuo tenemos que si la cardinalidad del continuo es ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$entonces tenemos un campo η _β único de tamaño${\displaystyle \aleph _{\beta }}$.)

Además, no necesitamos ultrapotencias para construir Ϝ , podemos hacerlo de manera mucho más constructiva como el subcampo de la serie con un número contable de términos no nulos del campo.${\displaystyle \mathbb {R} [[G]]}$de series de potencias formales en un grupo divisible abeliano totalmente ordenado G que es un grupo η ₁ de cardinalidad${\displaystyle \aleph _{1}}$( Alling 1962 ) .

Sin embargo, Ϝ no es un cuerpo completo; si tomamos su completitud, terminamos con un cuerpo K de mayor cardinalidad. Ϝ tiene la cardinalidad del continuo, que por hipótesis es${\displaystyle \aleph _{1}}$, K tiene cardinalidad${\displaystyle \aleph _{2}}$y contiene Ϝ como un subcampo denso. No es una ultrapotencia, pero es un campo hiperreal y, por lo tanto, un campo adecuado para los usos del análisis no estándar. Se puede ver que es el análogo de dimensiones superiores de los números reales; con cardinalidad${\displaystyle \aleph _{2}}$en lugar de${\displaystyle \aleph _{1}}$, cofinalidad${\displaystyle \aleph _{1}}$en lugar de${\displaystyle \aleph _{0}}$y peso${\displaystyle \aleph _{1}}$en lugar de${\displaystyle \aleph _{0}}$y con la propiedad η ₁ en lugar de la propiedad η ₀ (que simplemente significa que entre cualesquiera dos números reales podemos encontrar otro).

Los axiomas de Tarski constituyen un sistema axiomático para la parte de primer orden ("elemental") de la geometría euclidiana . Utilizando estos axiomas, se puede demostrar que los puntos de una recta forman un cuerpo real cerrado R, y se pueden introducir coordenadas de modo que el plano euclidiano se identifique con R² ^. Empleando la decidibilidad de la teoría de cuerpos reales cerrados, Tarski demostró que la teoría elemental de la geometría euclidiana es completa y decidible. ^{[ 4 ]}

• campo ordenado euclidiano
• campo p-ádicamente cerrado
• anillo real cerrado

• Servidor de preimpresiones de geometría analítica y algebraica real
• Servidor de preimpresiones de la teoría de modelos