Modelo saturado

En lógica matemática , y particularmente en su subcampo teoría de modelos , un modelo saturado M es aquel que realiza tantos tipos completos como se pueda "razonablemente esperar" dado su tamaño. Por ejemplo, un modelo de ultrapotencia de los hiperreales está -saturado, lo que significa que cada secuencia anidada descendente de conjuntos internos tiene una intersección no vacía. ^[1]${\displaystyle \aleph _{1}}$

Sea κ un número cardinal finito o infinito y M un modelo en algún lenguaje de primer orden . Entonces M se llama κ -saturado si para todos los subconjuntos A ⊆ M de cardinalidad menor que κ , el modelo M realiza todos los tipos completos sobre A . El modelo M se llama saturado si es | M |-saturado donde | M | denota la cardinalidad de M . Es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos de parámetros de tamaño menor que | M |. Según algunos autores, un modelo M se llama contablemente saturado si está -saturado; es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos contables de parámetros. ^[2] Según otros, está contablemente saturado si es contable y saturado. ^[3] ${\displaystyle \aleph _{1}}$

La noción aparentemente más intuitiva (que todos los tipos completos del lenguaje se realizan) resulta ser demasiado débil (y se llama apropiadamente saturación débil , que es lo mismo que 1-saturación). La diferencia radica en el hecho de que muchas estructuras contienen elementos que no son definibles (por ejemplo, cualquier elemento trascendental de R es, por definición de la palabra, no definible en el lenguaje de campos ). Sin embargo, siguen formando parte de la estructura, por lo que necesitamos tipos para describir relaciones con ellos. Por lo tanto, permitimos conjuntos de parámetros de la estructura en nuestra definición de tipos. Este argumento nos permite discutir características específicas del modelo que de otra manera podríamos pasar por alto; por ejemplo, un límite en una secuencia creciente específica c _n puede expresarse como la realización del tipo { x ≥ c _n  : n ∈ ω}, que utiliza una cantidad contable de parámetros. Si la secuencia no es definible, este hecho sobre la estructura no se puede describir usando el lenguaje base, por lo que una estructura débilmente saturada puede no limitar la secuencia, mientras que una estructura saturada en ℵ ₁ sí lo hará.

La razón por la que solo requerimos conjuntos de parámetros que sean estrictamente más pequeños que el modelo es trivial: sin esta restricción, ningún modelo infinito está saturado. Consideremos un modelo M y el tipo { x ≠ m  : m ∈ M }. Cada subconjunto finito de este tipo se realiza en el modelo (infinito) M , por lo que por compacidad es consistente con M , pero trivialmente no se realiza. Cualquier definición que sea universalmente insatisfecha es inútil; de ahí la restricción.

Existen modelos saturados para ciertas teorías y cardinalidades:

• ( Q , <) —el conjunto de números racionales con su orden habitual— está saturado. Intuitivamente, esto se debe a que cualquier tipo consistente con la teoría está implícito en el tipo de orden; es decir, el orden en que aparecen las variables indica todo lo que hay que saber sobre su papel en la estructura.
• ( R , <) —el conjunto de números reales con su ordenamiento habitual— no está saturado. Por ejemplo, tomemos el tipo (en una variable x ) que contiene la fórmula para cada número natural n , así como la fórmula . Este tipo utiliza ω parámetros diferentes de R . Cada subconjunto finito del tipo se realiza en R por algún x real , por lo que por compacidad el tipo es consistente con la estructura, pero no se realiza, ya que eso implicaría un límite superior para la secuencia −1/ n que es menor que 0 (su límite superior mínimo). Por lo tanto, ( R ,<) no está ω ₁ -saturado, ni saturado. Sin embargo, está ω-saturado, esencialmente por la misma razón que Q —cada tipo finito está dado por el tipo de orden, que si es consistente, siempre se realiza, debido a la densidad del orden.${\displaystyle \textstyle {x>-{\frac {1}{n}}}}$${\displaystyle \textstyle {x<0}}$
• Un conjunto denso totalmente ordenado sin puntos finales es un conjunto η _α si y sólo si está ℵ _α -saturado.
• El grafo aleatorio contable , cuyo único símbolo no lógico es la relación de existencia de aristas, también está saturado, porque cualquier tipo completo está aislado (implícito) por el subgrafo finito que consiste en las variables y parámetros utilizados para definir el tipo.

Se puede demostrar que tanto la teoría de Q como la teoría del grafo aleatorio contable son ω-categóricas mediante el método de ida y vuelta . Esto se puede generalizar de la siguiente manera: el modelo único de cardinalidad κ de una teoría κ -categórica contable está saturado.

Sin embargo, la afirmación de que cada modelo tiene una extensión elemental saturada no es demostrable en ZFC . De hecho, esta afirmación es equivalente a ^{[ cita requerida ]} la existencia de una clase propia de cardinales κ tales que κ ^{< κ}  =  κ . La última identidad es equivalente a κ = λ ⁺ = 2 ^λ para algún λ , o κ es fuertemente inaccesible .

La noción de modelo saturado es dual a la noción de modelo primo de la siguiente manera: sea T una teoría numerable en un lenguaje de primer orden (esto es, un conjunto de oraciones mutuamente consistentes en ese lenguaje) y sea P un modelo primo de T . Entonces P admite una incrustación elemental en cualquier otro modelo de T . La noción equivalente para modelos saturados es que cualquier modelo "razonablemente pequeño" de T está elementalmente incrustado en un modelo saturado, donde "razonablemente pequeño" significa cardinalidad no mayor que la del modelo en el que se incrustará. Cualquier modelo saturado también es homogéneo . Sin embargo, mientras que para las teorías numerables hay un modelo primo único, los modelos saturados son necesariamente específicos de una cardinalidad particular. Dados ciertos supuestos de teoría de conjuntos, existen modelos saturados (aunque de cardinalidad muy grande) para teorías arbitrarias. Para teorías λ - estables , existen modelos saturados de cardinalidad λ .

• Chang, CC ; Keisler, HJ Teoría de modelos. Tercera edición. Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, 73. North-Holland Publishing Co., Ámsterdam, 1990. xvi+650 pp. ISBN 0-444-88054-2 
• R. Goldblatt (1998). Lecciones sobre los hiperreales. Una introducción al análisis no estándar. Springer.
• Marker, David (2002). Teoría de modelos: una introducción . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98760-6 
• Poizat, Bruno; (traducción: Klein, Moses) (2000), Un curso de teoría de modelos , Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98655-3 
• Sacks, Gerald E. (1972), Teoría de modelos saturados , WA Benjamin, Inc., Reading, Mass., MR  0398817