conjunto η

En matemáticas, un conjunto η ( conjunto eta ) es un tipo de conjunto totalmente ordenado introducido por Hausdorff (1907, p. 126, 1914, capítulo 6 sección 8) que generaliza el tipo de orden η de los números racionales.

Si es un ordinal, entonces un conjunto es un conjunto totalmente ordenado en el que para cualesquiera dos subconjuntos y de cardinalidad menor que , si cada elemento de es menor que cada elemento de, entonces hay algún elemento mayor que todos los elementos de y menor que todos los elementos de . ${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \eta _{\alpha }}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$

El único conjunto η ₀ contable no vacío (salvo isomorfismo) es el conjunto ordenado de números racionales.

Supóngase que κ  = ℵ _α es un cardinal regular y sea X el conjunto de todas las funciones f desde κ hasta {−1,0,1} tales que si f ( α ) = 0 entonces f ( β ) = 0 para todo β  >  α , ordenado lexicográficamente. Entonces X es un conjunto η _α . La unión de todos estos conjuntos es la clase de los números surrealistas .

Un conjunto denso totalmente ordenado sin puntos finales es un conjunto η _α si y sólo si está ℵ _α saturado .

Cualquier conjunto η _α X es universal para conjuntos totalmente ordenados de cardinalidad como máximo ℵ _α , lo que significa que cualquier conjunto de este tipo puede incorporarse a X .

Para cualquier ordinal α dado, dos conjuntos η _α cualesquiera de cardinalidad ℵ _α son isomorfos (como conjuntos ordenados). Existe un conjunto η _{α de cardinalidad ℵ α} si ℵ _α es regular y Σ _{β < α} 2 ^{ℵ _β}  ≤ ℵ _α .

• Alling, Norman L. (1962), "Sobre la existencia de cuerpos reales cerrados que son η _α -conjuntos de potencia ℵ _α .", Trans. Amer. Math. Soc. , 103 : 341–352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR  0146089
• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Teoría de modelos . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas (3.ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3.
• Felgner, U. (2002), "Die Hausdorffsche Theorie der ηα-Mengen und ihre Wirkungsgeschichte" (PDF) , Hausdorff Gesammelte Werke , vol. II, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag, págs. 645–674
• Hausdorff (1907), "Untersuchungen über Ordnungstypen V", Ber. über die Verhandlungen der Königl. Sächs. Ges. Der Wiss. Zu Leipzig. Matemáticas-física. Clase , 59 : 105-159Traducción al inglés de Hausdorff (2005)
• Hausdorff, F. (1914), Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig: Veit & Co
• Hausdorff, Felix (2005), Plotkin, JM (ed.), Hausdorff sobre conjuntos ordenados, Historia de las matemáticas, vol. 25, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3788-5, Sr.  2187098