Anillo cerrado real

En matemáticas , un anillo real cerrado ( RCR ) es un anillo conmutativo A que es un subanillo de un producto de cuerpos reales cerrados , que es cerrado bajo funciones semialgebraicas continuas definidas sobre los enteros .

Dado que la definición rigurosa de un anillo cerrado real es de naturaleza técnica, conviene ver primero una lista de ejemplos destacados. Los siguientes anillos son todos anillos cerrados reales:

• campos cerrados reales . Estos son exactamente los anillos cerrados reales que son campos .
• el anillo de todas las funciones continuas de valor real en un espacio completamente regular X. Además, el anillo de todas las funciones continuas de valor real acotadas en X es real cerrado.
• subanillos convexos de cuerpos reales cerrados. Estos son precisamente aquellos anillos reales cerrados que también son anillos de valuación y que fueron estudiados inicialmente por Cherlin y Dickmann (ellos utilizaron el término "anillo real cerrado" para lo que ahora se denomina "anillo de valuación real cerrado").
• El anillo A de todas las funciones semialgebraicas continuas sobre un conjunto semialgebraico de un cuerpo real cerrado (con valores en dicho cuerpo). Además, el subanillo de todas las funciones acotadas (en cualquier sentido) en A es real cerrado.
• (generalizando el ejemplo anterior) el anillo de todas las funciones continuas definibles (acotadas) en un conjunto definible S de una expansión arbitraria de primer orden M de un cuerpo real cerrado (con valores en M ). Además, el anillo de todas las funciones definibles (acotadas)${\displaystyle S\to M}$Está realmente cerrado.
• Los anillos cerrados reales son precisamente los anillos de secciones globales de espacios cerrados reales afines (una generalización de los espacios semialgebraicos ) y, en este contexto, fueron inventados por Niels Schwartz a principios de la década de 1980.

Un anillo cerrado real es un anillo unitario conmutativo reducido A que tiene las siguientes propiedades:

1. El conjunto de cuadrados de A es el conjunto de elementos no negativos de un orden parcial ≤ en A y ( A ,≤) es un f-anillo .
2. Condición de convexidad: Para todo a , b en A , si 0 ≤ a ≤ b, entonces b | a ² .
3. Para cada ideal primo p de A , el anillo de clases de residuos A / p es integralmente cerrado y su cuerpo de fracciones es un cuerpo real cerrado.

El enlace a la definición que aparece al principio de este artículo se encuentra en la sección sobre propiedades algebraicas que figura más adelante.

Todo anillo unitario conmutativo R tiene una llamada clausura real rcl( R ) y esta es única salvo un único homomorfismo de anillos sobre R. Esto significa que rcl( R ) es un anillo cerrado real y existe un homomorfismo de anillos (no necesariamente inyectivo ).${\displaystyle r:R\to rcl(R)}$de tal manera que para cada homomorfismo de anillos${\displaystyle f:R\to A}$Para algún otro anillo cerrado real A , existe un homomorfismo de anillos único. ${\displaystyle g:rcl(R)\to A}$con${\displaystyle f=g\circ r}$.

Por ejemplo, la clausura real del anillo de polinomios${\displaystyle \mathbb {R} [T_{1},...,T_{n}]}$es el anillo de funciones semialgebraicas continuas${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$.

Un anillo arbitrario R es semi-real (es decir, −1 no es una suma de cuadrados en R ) si y solo si la clausura real de R no es el anillo nulo.

El cierre real de un campo ordenado generalmente no es el cierre real del campo subyacente. Por ejemplo, el cierre real del subcampo ordenado${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ de${\displaystyle \mathbb {R} }$es el campo${\displaystyle \mathbb {R} _{alg}}$de números algebraicos reales , mientras que la clausura real del campo${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$es el anillo ${\displaystyle \mathbb {R} _{alg}\times \mathbb {R} _{alg}}$(correspondientes a los dos órdenes de${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$). De manera más general, el cierre real de un cuerpo F es un cierto producto subdirecto de los cierres reales de los cuerpos ordenados ( F , P ), donde P recorre los ordenamientos de F .

• La categoría RCR de anillos cerrados reales que tiene como objetos anillos cerrados reales y como morfismos homomorfismos de anillos tiene las siguientes propiedades:

1. Los productos arbitrarios , los límites directos y los límites inversos (en la categoría de anillos unitarios conmutativos) de anillos reales cerrados son nuevamente reales cerrados. La suma fibrada de dos anillos reales cerrados B y C sobre algún anillo real cerrado A existe en RCR y es la clausura real del producto tensorial de B y C sobre A.
2. RCR tiene límites y colímites arbitrarios .
3. RCR es una variedad en el sentido del álgebra universal (pero no una subvariedad de anillos conmutativos).

• Para un anillo cerrado real A , el homomorfismo natural de A al producto de todos sus cuerpos residuales es un isomorfismo sobre un subanillo de este producto que es cerrado bajo funciones semialgebraicas continuas definidas sobre los enteros. Recíprocamente, todo subanillo de un producto de cuerpos cerrados reales con esta propiedad es cerrado real.
• Si I es un ideal radical de un anillo cerrado real A , entonces el anillo de clase residual A / I también es cerrado real. Si I y J son ideales radicales de un anillo cerrado real, entonces la suma I  + J es nuevamente un ideal radical. 
• Todas las localizaciones clásicas S ⁻¹ A de un anillo cerrado real A son cerradas reales. La envoltura epimórfica y el anillo completo de cocientes de un anillo cerrado real también son cerrados reales.
• El anillo de holomorfía (real) H ( A ) de un anillo cerrado real A es también cerrado real. Por definición, H ( A ) consta de todos los elementos f en A que cumplen la propiedad −N  ≤ f ≤ N para algún número natural N. Aplicado a los ejemplos anteriores, esto significa que los anillos de funciones continuas acotadas (semialgebraicas/definibles) son todos cerrados reales.   
• El mapa de soporte del espectro real de un anillo cerrado real a su espectro de Zariski , que envía un ordenamiento P a su soporte.${\displaystyle P\cap -P}$es un homeomorfismo . En particular, el espectro de Zariski de todo anillo cerrado real A es un sistema de raíces (en el sentido de la teoría de grafos ) y, por lo tanto, A es también un anillo de Gel'fand (es decir, todo ideal primo de A está contenido en un único ideal maximal de A ). La comparación del espectro de Zariski de A con el espectro de Zariski de H ( A ) conduce a un homeomorfismo entre los espectros maximales de estos anillos, generalizando el teorema de Gel'fand-Kolmogorov para anillos de funciones continuas con valores reales.
• La aplicación natural r de un anillo arbitrario R a su clausura real rcl( R ) como se explicó anteriormente, induce un homeomorfismo del espectro real de rcl( R ) al espectro real de R .
• Resumiendo y reforzando significativamente las dos propiedades anteriores, se cumple lo siguiente: La aplicación natural r de un anillo arbitrario R a su clausura real rcl( R ) induce una identificación del esquema afín de rcl( R ) con el espacio cerrado real afín de R .
• Todo anillo cerrado real local es un anillo henseliano (pero, en general, los dominios cerrados reales locales no son anillos de valuación).

La clase de anillos reales cerrados es axiomatizable de primer orden e indecidible . La clase de todos los anillos de valuación reales cerrados es decidible (según Cherlin-Dickmann) y la clase de todos los cuerpos reales cerrados es decidible (según Tarski). Tras nombrar una relación radical definible, los anillos reales cerrados tienen un modelo asociado , concretamente los anillos reales cerrados regulares de von Neumann .

Existen diversas caracterizaciones de los cuerpos reales cerrados . Por ejemplo, en términos de maximalidad (con respecto a extensiones algebraicas): un cuerpo real cerrado es un cuerpo máximamente ordenable; o bien, un cuerpo real cerrado (junto con su ordenación única) es un cuerpo máximamente ordenado. Otra caracterización establece que el teorema del valor intermedio se cumple para todos los polinomios en una variable sobre el cuerpo (ordenado). En el caso de los anillos conmutativos, todas estas propiedades pueden analizarse (y de hecho se analizan) en la literatura. Todas ellas conducen a diferentes clases de anillos que, lamentablemente, también se denominan "reales cerrados" (debido a que cierta caracterización de los cuerpos reales cerrados se ha extendido a los anillos). Ninguna de ellas conduce a la clase de anillos reales cerrados ni permite una noción satisfactoria de operación de cierre. Un punto central en la definición de anillos reales cerrados es la globalización de la noción de cuerpo real cerrado a anillos cuando estos se representan como anillos de funciones en algún espacio (típicamente, el espectro real del anillo).

• Cherlin, Gregory. Anillos de funciones continuas: problemas de decisión. Teoría de modelos de álgebra y aritmética (Actas de la Conferencia, Karpacz, 1979), págs.  44-91, Lecture Notes in Math., 834, Springer, Berlín, 1980.
• Cherlin, Gregory(1-RTG2); Dickmann, Max A. Anillos cerrados reales. II. Teoría de modelos. Ann. Pure Appl. Logic 25 (1983), n.º 3, 213–231.
• A. Prestel, N. Schwartz. Teoría de modelos de anillos cerrados reales. Teoría de la valuación y sus aplicaciones, Vol. I (Saskatoon, SK, 1999), 261–290, Fields Inst. Commun., 32, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
• Schwartz, Niels. La teoría básica de los espacios cerrados reales. Memorias de la Sociedad Matemática Americana 1989 ( ISBN 0821824600)
• Schwartz, Niels; Madden, James J. Anillos de funciones semialgebraicas y reflectores de anillos parcialmente ordenados. Lecture Notes in Mathematics, 1712. Springer-Verlag, Berlín, 1999.
• Schwartz, Niels. Anillos cerrados reales. Álgebra y orden (Luminy-Marsella, 1984), 175–194, Res. Exp. Math., 14, Heldermann, Berlín, 1986
• Schwartz, Niels. Anillos de funciones continuas como anillos cerrados reales. Estructuras algebraicas ordenadas (Curazao, 1995), 277–313, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
• Tressl, Marcus. Anillos cerrados súper reales. Fundamenta Mathematicae 194 (2007), núm. 2, 121–177.