Anillo cociente

En la teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta , un anillo cociente , también conocido como anillo factorial , anillo de diferencias ^{[ 1 ]} o anillo de clases de residuos , es una construcción bastante similar al grupo cociente en la teoría de grupos y al espacio cociente en el álgebra lineal . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Es un ejemplo específico de un cociente , visto desde el contexto general del álgebra universal . Comenzando con un anillo${\displaystyle R}$y un ideal de dos caras${\displaystyle I}$en​${\displaystyle R}$⁠ , un nuevo anillo, el anillo cociente ⁠${\displaystyle R\ /\ I}$⁠ , se construye, cuyos elementos son las clases laterales de${\displaystyle I}$en${\displaystyle R}$sujeto a${\displaystyle +}$y${\displaystyle \cdot }$operaciones compatibles con${\displaystyle +}$y${\displaystyle \cdot }$en​${\displaystyle R}$Los anillos cociente se denotan como una fracción, generalmente usando la barra de fracción "${\displaystyle /}$⁠ " como separador. La alternativa de apilar el anillo sobre el ideal usando una línea horizontal como separador se usa a veces si las expresiones para el anillo o el ideal son largas o engorrosas.

Los anillos cociente son distintos del "campo cociente" o campo de fracciones de un dominio integral , así como de los "anillos de cocientes" más generales obtenidos por localización .

Dado un anillo${\displaystyle R}$y un ideal de dos caras${\displaystyle I}$en​${\displaystyle R}$⁠ , podemos definir una relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$en${\displaystyle R}$como sigue:

${\displaystyle a\sim b}$si y solo si${\displaystyle ab}$está en${\displaystyle I}$.​

Utilizando las propiedades ideales, no es difícil comprobar que${\displaystyle \sim }$es una relación de congruencia . En caso de${\displaystyle a\sim b}$⁠ , decimos que${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son congruentes módulo${\displaystyle I}$(Por ejemplo,${\displaystyle 1}$y${\displaystyle 3}$son congruentes módulo${\displaystyle 2}$ya que su diferencia es un elemento del ideal .${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$⁠ , los enteros pares ). Existen varias notaciones diferentes para la clase de equivalencia del elemento${\displaystyle a}$en${\displaystyle R}$:$${\displaystyle \left[a\right]={\overline {a}}=a\ \operatorname {mod} \ I=a+I:=\left\lbrace a+r:r\in I\right\rbrace }$$La notación que emplea el infijo "mod" es una generalización de la notación para clases de residuos en aritmética modular y conduce a la terminología "clase de residuo de${\displaystyle a}$módulo${\displaystyle I}$".

El conjunto de todas esas clases de equivalencia se denota por ⁠${\displaystyle R\ /\ I}$⁠ ; se convierte en un anillo, el anillo factorial o anillo cociente de${\displaystyle R}$módulo​${\displaystyle I}$⁠ , si uno define

• ⁠${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$;​
• ⁠${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$.​

(Aquí hay que comprobar que estas definiciones estén bien definidas . Comparar clase lateral y grupo cociente .) El elemento cero de${\displaystyle R\ /\ I}$es​${\displaystyle {\bar {0}}=0+I=I}$, y la identidad multiplicativa es${\displaystyle {\bar {1}}=1+I}$.​

El mapa${\displaystyle p}$de${\displaystyle R}$a${\displaystyle R\ /\ I}$definido por${\displaystyle p(a)=a+I}$es un homomorfismo de anillos sobreyectivo , a veces llamado mapa cociente natural , mapa de proyección natural o homomorfismo canónico .

• El anillo cociente${\displaystyle R\ /\ \lbrace 0\rbrace }$es naturalmente isomorfo a ⁠${\displaystyle R}$y​${\displaystyle R/R}$es el anillo cero${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$⁠ , puesto que, por nuestra definición, para cualquier ⁠${\displaystyle r\in R}$⁠ , tenemos eso ⁠${\displaystyle \left[r\right]=r+R=\left\lbrace r+b:b\in R\right\rbrace }$⁠ , lo cual es igual a${\displaystyle R}$en sí mismo. Esto encaja con la regla general de que cuanto más grande, mejor .${\displaystyle I}$⁠ , cuanto más pequeño sea el anillo cociente ⁠${\displaystyle R\ /\ I}$⁠ . Si${\displaystyle I}$es un ideal apropiado de${\displaystyle R}$⁠ , es decir, ⁠${\displaystyle I\neq R}$, entonces${\displaystyle R/I}$no es el anillo cero.
• Consideremos el anillo de números enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$y el ideal de los números pares, denotado por ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$⁠ . Entonces el anillo cociente${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$tiene solo dos elementos, la clase${\displaystyle 0+2\mathbb {Z} }$que consta de los números pares y la clase${\displaystyle 1+2\mathbb {Z} }$que consta de los números impares; aplicando la definición ,${\displaystyle \left[z\right]=z+2\mathbb {Z} =\left\lbrace z+2y:2y\in 2\mathbb {Z} \right\rbrace }$, donde${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$es el ideal de los números pares. Es naturalmente isomorfo al cuerpo finito con dos elementos ,${\displaystyle F_{2}}$⁠ . Intuitivamente: si piensas en todos los números pares como ⁠${\displaystyle 0}$⁠ , entonces cada número entero es o${\displaystyle 0}$(si es par) o${\displaystyle 1}$(si es impar y por lo tanto difiere de un número par en ⁠${\displaystyle 1}$La aritmética modular es esencialmente aritmética en el anillo cociente.${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$(que tiene${\displaystyle n}$elementos).
• Ahora consideremos el anillo de polinomios en la variable${\displaystyle X}$con coeficientes reales ,​${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$y el ideal${\displaystyle I=\left(X^{2}+1\right)}$compuesto por todos los múltiplos del polinomio${\displaystyle X^{2}+1}$⁠ . El anillo cociente${\displaystyle \mathbb {R} [X]\ /\ (X^{2}+1)}$es naturalmente isomorfo al campo de los números complejos .${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ , con la clase${\displaystyle [X]}$desempeñando el papel de la unidad imaginaria${\displaystyle i}$⁠ . La razón es que "forzamos" ⁠${\displaystyle X^{2}+1=0}$⁠ , es decir ⁠${\displaystyle X^{2}=-1}$⁠ , que es la propiedad definitoria de ⁠${\displaystyle i}$⁠ . Dado que cualquier exponente entero de${\displaystyle i}$debe ser o${\displaystyle \pm i}$o​${\displaystyle \pm 1}$⁠ , eso significa que todos los polinomios posibles se simplifican esencialmente a la forma ⁠${\displaystyle a+bi}$⁠ . (Para aclarar, el anillo cociente ⁠${\displaystyle \mathbb {R} [X]\ /\ (X^{2}+1)}$En realidad , es naturalmente isomorfo al campo de todos los polinomios lineales .${\displaystyle aX+b;a,b\in \mathbb {R} }$⁠ , donde las operaciones se realizan módulo ⁠${\displaystyle X^{2}+1}$⁠ . A cambio, tenemos ⁠${\displaystyle X^{2}=-1}$⁠ , y esto coincide${\displaystyle X}$a la unidad imaginaria en el campo isomorfo de los números complejos.)
• Generalizando el ejemplo anterior, los anillos cociente se utilizan a menudo para construir extensiones de cuerpos . Supongamos que${\displaystyle K}$es algún campo y${\displaystyle f}$es un polinomio irreducible en ⁠${\displaystyle K[X]}$Entonces​${\displaystyle L=K[X]\ /\ (f)}$es un campo cuyo polinomio mínimo sobre${\displaystyle K}$es​${\displaystyle f}$⁠ , que contiene${\displaystyle K}$así como un elemento${\displaystyle x=X+(f)}$.​
• Un ejemplo importante del caso anterior es la construcción de los campos finitos. Consideremos, por ejemplo, el campo${\displaystyle F_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$con tres elementos. El polinomio${\displaystyle f(X)=X^{2}+1}$es irreductible sobre${\displaystyle F_{3}}$(ya que no tiene raíz), y podemos construir el anillo cociente .${\displaystyle F_{3}[X]\ /\ (f)}$⁠ . Este es un campo con${\displaystyle 3^{2}=9}$elementos, denotados por ⁠${\displaystyle F_{9}}$Los demás campos finitos pueden construirse de manera similar.
• Los anillos de coordenadas de variedades algebraicas son ejemplos importantes de anillos cociente en geometría algebraica . Como caso sencillo, consideremos la variedad real.${\displaystyle V=\left\lbrace (x,y)|x^{2}=y^{3}\right\rbrace }$como un subconjunto del plano real${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ . El anillo de funciones polinómicas de valor real definidas en${\displaystyle V}$puede identificarse con el anillo cociente${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]\ /\ (X^{2}-Y^{3})}$⁠ , y este es el anillo de coordenadas de ⁠${\displaystyle V}$⁠ . La variedad${\displaystyle V}$Ahora se investiga mediante el estudio de su anillo de coordenadas.
• Suponer${\displaystyle M}$es un${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$- colector y${\displaystyle p}$es un punto de${\displaystyle M}$⁠ . Consideremos el anillo${\displaystyle R=\mathbb {C} ^{\infty }(M)}$de todos${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$-funciones definidas en${\displaystyle M}$y dejar${\displaystyle I}$ser el ideal en${\displaystyle R}$que consta de esas funciones${\displaystyle f}$que son idénticamente cero en algún vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle p}$(dónde${\displaystyle U}$puede depender de${\displaystyle f}$⁠ ). Entonces el anillo cociente${\displaystyle R\ /\ I}$es el anillo de gérmenes de${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$-funciones en${\displaystyle M}$en​${\displaystyle p}$.​
• Consideremos el anillo${\displaystyle F}$de elementos finitos de un campo hiperreal${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$⁠ . Consiste en todos los números hiperreales que difieren de un número real estándar en una cantidad infinitesimal, o equivalentemente: de todos los números hiperreales${\displaystyle x}$para el cual un número entero estándar${\displaystyle n}$con${\displaystyle -n<x<n}$existe. El conjunto${\displaystyle I}$de todos los números infinitesimales en${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$⁠ , junto con ⁠${\displaystyle 0}$⁠ , es un ideal en ⁠${\displaystyle F}$y el anillo cociente${\displaystyle F\ /\ I}$es isomorfo a los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ . El isomorfismo se induce asociando a cada elemento${\displaystyle x}$de${\displaystyle F}$la parte estándar de${\displaystyle x}$⁠ , es decir, el único número real que difiere de${\displaystyle x}$por un infinitesimal. De hecho, se obtiene el mismo resultado, a saber :${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ , si uno comienza con el anillo${\displaystyle F}$de hiperracionales finitos (es decir, razón de un par de hiperenteros ), véase la construcción de los números reales .

Claramente, si${\displaystyle R}$es un anillo conmutativo , entonces también lo es ⁠${\displaystyle R\ /\ I}$⁠ ; sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto.

El mapa del cociente natural${\displaystyle p}$tiene${\displaystyle I}$como su núcleo ; puesto que el núcleo de todo homomorfismo de anillos es un ideal de dos lados, podemos afirmar que los ideales de dos lados son precisamente los núcleos de los homomorfismos de anillos.

La relación íntima entre homomorfismos de anillos, núcleos y anillos cociente se puede resumir de la siguiente manera: los homomorfismos de anillos definidos en${\displaystyle R\ /\ I}$son esencialmente los mismos que los homomorfismos de anillos definidos en${\displaystyle R}$que se desvanecen (es decir, son cero) en${\displaystyle I}$⁠ . Más precisamente, dado un ideal bilateral${\displaystyle I}$en${\displaystyle R}$y un homomorfismo de anillos${\displaystyle f:R\to S}$cuyo núcleo contiene${\displaystyle I}$⁠ , existe precisamente un homomorfismo de anillos${\displaystyle g:R\ /\ I\to S}$con${\displaystyle gp=f}$(dónde${\displaystyle p}$es el mapa de cociente natural). El mapa${\displaystyle g}$Aquí viene dado por la regla bien definida${\displaystyle g([a])=f(a)}$a pesar de${\displaystyle a}$en​${\displaystyle 1R}$De hecho, esta propiedad universal puede utilizarse para definir anillos cociente y sus aplicaciones cociente naturales.

Como consecuencia de lo anterior, se obtiene la afirmación fundamental: todo homomorfismo de anillos${\displaystyle f:R\to S}$induce un isomorfismo de anillo entre el anillo cociente${\displaystyle R\ /\ \ker(f)}$y la imagen${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$( Véase también: Teorema fundamental sobre homomorfismos ).

Los ideales de${\displaystyle R}$y${\displaystyle R\ /\ I}$están estrechamente relacionados: el mapa cociente natural proporciona una biyección entre los ideales bilaterales de${\displaystyle R}$que contienen${\displaystyle I}$y los ideales de dos caras de${\displaystyle R\ /\ I}$(lo mismo es cierto para los ideales izquierdos y derechos). Esta relación entre ideales bilaterales se extiende a una relación entre los anillos cociente correspondientes: si${\displaystyle M}$es un ideal de dos caras en${\displaystyle R}$que contiene${\displaystyle I}$⁠ , y escribimos${\displaystyle M\ /\ I}$para el ideal correspondiente en${\displaystyle R\ /\ I}$(es decir${\displaystyle M\ /\ I=p(M)}$) , los anillos cociente${\displaystyle R\ /\ M}$y${\displaystyle (R/I)\ /\ (M/I)}$son naturalmente isomorfos a través del mapeo (bien definido) ⁠${\displaystyle a+M\mapsto (a+I)+M/I}$.​

Los siguientes hechos resultan útiles en álgebra conmutativa y geometría algebraica : para${\displaystyle R\neq \lbrace 0\rbrace }$conmutativo,${\displaystyle R\ /\ I}$es un campo si y solo si${\displaystyle I}$es un ideal máximo , mientras que${\displaystyle R/I}$es un dominio integral si y solo si${\displaystyle I}$es un ideal primordial . Varias afirmaciones similares relacionan propiedades del ideal.${\displaystyle I}$a las propiedades del anillo cociente${\displaystyle R\ /\ I}$.​

El teorema chino del resto establece que, si el ideal${\displaystyle I}$es la intersección (o equivalentemente, el producto) de ideales coprimos por pares .${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{k}}$⁠ , entonces el anillo cociente${\displaystyle R\ /\ I}$es isomorfo al producto de los anillos cociente .${\displaystyle R\ /\ I_{n},\;n=1,\ldots ,k}$.​

Un álgebra asociativa${\displaystyle A}$sobre un anillo conmutativo${\displaystyle R}$es en sí mismo un anillo. Si${\displaystyle I}$es un ideal en${\displaystyle A}$(cerrado bajo${\displaystyle A}$-multiplicación :${\displaystyle AI\subseteq I}$) , entonces${\displaystyle A/I}$hereda la estructura de un álgebra sobre${\displaystyle R}$y es el álgebra cociente .

• Anillo graduado asociado
• Campo de residuos
• Teorema de Goldie
• módulo de cociente

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe , traducido por DAR Wallace (1982) Modules and Rings , Academic Press , página 33.
• Neal H. McCoy (1948) Anillos e ideales , §13 Anillos de clase de residuos, página 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America .
• José Rotman (1998). Teoría de Galois (2ª  ed.). Saltador. págs. 21 a 23. ISBN  0-387-98541-7.
• BL van der Waerden (1970) Álgebra , traducido por Fred Blum y John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, Nueva York. Véase el capítulo 3.5, "Ideales. Anillos de clases de residuos", págs. 47-51.

• "Anillo cociente" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ideales y anillos de factores del libro Abstract Algebra Online de John Beachy .