Función aritmética

En teoría de números , una función aritmética , aritmética o función de teoría de números ^{[1] [2]} es generalmente cualquier función f ( n ) cuyo dominio son los números enteros positivos y cuyo rango es un subconjunto de los números complejos . ^{[3] [4] [5]} Hardy y Wright incluyen en su definición el requisito de que una función aritmética "exprese alguna propiedad aritmética de n ". ^[6] Hay una clase más grande de funciones de teoría de números que no se ajustan a esta definición, por ejemplo, las funciones de conteo de primos . Este artículo proporciona enlaces a funciones de ambas clases.

Un ejemplo de función aritmética es la función divisor cuyo valor en un entero positivo n es igual al número de divisores de n .

Las funciones aritméticas suelen ser extremadamente irregulares (véase la tabla), pero algunas de ellas tienen expansiones en serie en términos de la suma de Ramanujan .

Una función aritmética a es

• completamente aditivo si a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) para todos los números naturales m y n ;
• completamente multiplicativo si a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) para todos los números naturales m y n ;

Dos números enteros m y n se llaman coprimos si su máximo común divisor es 1, es decir, si no existe ningún número primo que los divida a ambos.

Entonces una función aritmética a es

• aditivo si a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) para todos los números naturales coprimos m y n ;
• multiplicativo si a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) para todos los números naturales coprimos m y n .

En este artículo, y significa que la suma o producto es sobre todos los números primos : y De manera similar, y significa que la suma o producto es sobre todas las potencias primas con exponente estrictamente positivo (por lo que k = 0 no está incluido): ${\textstyle \suma _{p}f(p)}$${\textstyle \prod _{p}f(p)}$$${\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }$$$${\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .}$$${\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}$${\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}$$${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots .}$$

Las notaciones y significan que la suma o el producto es sobre todos los divisores positivos de n , incluidos 1 y n . Por ejemplo, si n = 12 , entonces ${\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)}$${\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)}$$${\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).}$$

Las notaciones se pueden combinar: y significan que la suma o el producto es sobre todos los divisores primos de n . Por ejemplo, si n = 18, entonces y de manera similar y significan que la suma o el producto es sobre todas las potencias primos que dividen a n . Por ejemplo, si n = 24, entonces ${\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)}$${\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)}$$${\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),}$$${\textstyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$${\textstyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$$${\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).}$$

El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier número entero positivo n puede representarse únicamente como un producto de potencias de números primos: donde p ₁ < p ₂ < ... < p _k son primos y a j _son números enteros positivos. (1 viene dado por el producto vacío). ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$

A menudo es conveniente escribir esto como un producto infinito sobre todos los primos, donde todos menos un número finito tienen un exponente cero. Defina la valoración p -ádica ν _p ( n ) como el exponente de la potencia más alta del primo p que divide a n . Es decir, si p es uno de los p _i entonces ν _p ( n ) = a _i , de lo contrario es cero. Entonces $${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}$$

En términos de lo anterior, las funciones omega principales ω y Ω se definen por

Para evitar la repetición, siempre que sea posible, las fórmulas para las funciones enumeradas en este artículo se dan en términos de n y los correspondientes p _i , a _i , ω y Ω.

σ _k ( n ) es la suma de las k -ésimas potencias de los divisores positivos de n , incluidos 1 y n , donde k es un número complejo.

σ ₁ ( n ) , la suma de los divisores (positivos) de n , se denota usualmente por σ( n ) .

Como un número positivo elevado a cero es uno, σ ₀ ( n ) es el número de divisores (positivos) de n ; normalmente se denota por d ( n ) o τ( n ) (del alemán Teiler = divisores).

$${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$$

Al establecer k = 0 en el segundo producto se obtiene $${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$$

φ( n ) , la función totiente de Euler, es el número de números enteros positivos no mayores que n que son coprimos con n .

$${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$$

J _k ( n ) , la función totiente de Jordan, es el número de k -tuplas de números enteros positivos todos menores o iguales a n que forman una ( k + 1)-tupla coprima junto con n . Es una generalización del totiente de Euler, φ( n ) = J ₁ ( n ) . $${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$$

μ( n ) , la función de Möbius, es importante debido a lafórmula de inversión de Möbius . Véase la convolución de Dirichlet, a continuación.

$${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$$

Esto implica que μ(1) = 1. (Porque Ω(1) = ω(1) = 0.)

τ( n ) , la función tau de Ramanujan, se define por suidentidad de función generadora :

$${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$$

Aunque es difícil decir exactamente qué "propiedad aritmética de n " "expresa", ^[7] ( τ ( n ) es (2π) ⁻¹² veces el n -ésimo coeficiente de Fourier en la expansión q de la función discriminante modular ) ^[8] se incluye entre las funciones aritméticas porque es multiplicativa y ocurre en identidades que involucran ciertas funciones σ _k ( n ) y r _k ( n ) (porque estos también son coeficientes en la expansión de formas modulares ).

c _q ( n ) , la suma de Ramanujan, es la suma de lasnésimas potencias de lasqésimasraíces primitivas de la unidad: $${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$$

Aunque se define como una suma de números complejos (irracionales para la mayoría de los valores de q ), es un entero. Para un valor fijo de n es multiplicativo en q :

Si q y r son coprimos , entonces${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

La función psi de Dedekind , utilizada en la teoría de funciones modulares , se define mediante la fórmula $${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}$$

λ ( n ) , la función de Liouville, se define por $${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$$

Todos los caracteres de Dirichlet χ ( n ) son completamente multiplicativos. Dos caracteres tienen notaciones especiales:

El carácter principal (mod n ) se denota por χ ₀ ( a ) (o χ ₁ ( a )). Se define como $${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$$

El carácter cuadrático (mod n ) se denota mediante el símbolo de Jacobi para n impar (no está definido para n par ): $${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$$

En esta fórmula está el símbolo de Legendre , definido para todos los números enteros a y todos los primos impares p por ${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$$${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}$$

Siguiendo la convención normal para el producto vacío,${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

ω( n ) , definido anteriormente como el número de primos distintos que dividen a n , es aditivo (ver función omega de primos ).

Ω( n ) , definido anteriormente como el número de factores primos de n contados con multiplicidades, es completamente aditivo (ver función omega prima ).

Para un primo fijo p , ν _p ( n ) , definido anteriormente como el exponente de la mayor potencia de p que divide n , es completamente aditivo.

${\displaystyle \operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}$, donde es la derivada aritmética. ${\displaystyle D(n)}$

Estas importantes funciones (que no son funciones aritméticas) se definen para argumentos reales no negativos y se utilizan en los diversos enunciados y demostraciones del teorema de los números primos . Son funciones de suma (véase la sección principal justo debajo) de funciones aritméticas que no son multiplicativas ni aditivas.

π ( x ) , la función de conteo de primos, es el número de primos que no excedenx. Es la función sumatoria de lafunción característicade los números primos. $${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$$

Una función relacionada cuenta potencias primas con peso 1 para primos, 1/2 para sus cuadrados, 1/3 para cubos, ... Es la función suma de la función aritmética que toma el valor 1/ k en números enteros que son la k-ésima potencia de algún número primo, y el valor 0 en otros números enteros.

$${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}$$

θ ( x ) y ψ ( x ), las funciones de Chebyshev, se definen como sumas de los logaritmos naturales de los números primos que no excedenx. $${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}$$ $${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}$$

La función de Chebyshev ψ ( x ) es la función suma de la función de von Mangoldt que se encuentra justo debajo.

Λ( n ) , la función de von Mangoldt, es 0 a menos que el argumento n sea una potencia prima p ^k , en cuyo caso es el logaritmo natural del primo p : $${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}$$

p ( n ) , la función de partición, es el número de formas de representarncomo una suma de números enteros positivos, donde dos representaciones con los mismos sumandos en un orden diferente no se cuentan como diferentes: $${\displaystyle p(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}\right|.}$$

λ ( n ) , la función de Carmichael, es el número positivo más pequeño tal que   para todoacoprimo conn. Equivalentemente, es elmínimo común múltiplode los órdenes de los elementos delgrupo multiplicativo de los números enteros módulo n . ${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$

Para potencias de primos impares y para 2 y 4, λ ( n ) es igual a la función totiente de Euler de n ; para potencias de 2 mayores que 4 es igual a la mitad de la función totiente de Euler de n : y para n general es el mínimo común múltiplo de λ de cada uno de los factores de potencia primos de n : $${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}$$$${\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$$

h ( n ) , la función de número de clase, es el orden delgrupo de clase idealde una extensión algebraica de los racionales condiscriminante n. La notación es ambigua, ya que en general hay muchas extensiones con el mismo discriminante. Véaseel campo cuadráticoyel campo ciclotómicopara ejemplos clásicos.

r _k ( n ) es el número de formas en quenpuede representarse como la suma dekcuadrados, donde las representaciones que difieren solo en el orden de los sumandos o en los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferentes.

$${\displaystyle r_{k}(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\right\}\right|}$$

Usando la notación de Heaviside para la derivada, la derivada aritmética D ( n ) es una función tal que

• ${\displaystyle D(n)=1}$Si n es primo, y
• ${\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}$(la regla del producto )

Dada una función aritmética a ( n ), su función sumatoria A ( x ) está definida por A puede considerarse como una función de una variable real. Dado un entero positivo m , A es constante a lo largo de intervalos abiertos m < x < m + 1, y tiene una discontinuidad de salto en cada entero para el cual a ( m ) ≠ 0. $${\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}$$

Dado que dichas funciones suelen representarse mediante series e integrales, para lograr la convergencia puntual es habitual definir el valor en las discontinuidades como el promedio de los valores a la izquierda y a la derecha: $${\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}$$

Los valores individuales de las funciones aritméticas pueden fluctuar enormemente, como en la mayoría de los ejemplos anteriores. Las funciones sumatorias "suavizan" estas fluctuaciones. En algunos casos, puede ser posible encontrar un comportamiento asintótico para la función sumatoria para valores grandes de x .

Un ejemplo clásico de este fenómeno ^[9] lo da la función sumatoria divisora , la función sumatoria de d ( n ), el número de divisores de n : $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}}=1.}$$

Un orden medio de una función aritmética es una función más simple o mejor comprendida que tiene la misma función sumatoria asintóticamente y, por lo tanto, toma los mismos valores "en promedio". Decimos que g es un orden medio de f si $${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$$

a medida que x tiende a infinito. El ejemplo anterior muestra que d ( n ) tiene el orden medio log( n ). ^[10]

Dada una función aritmética a ( n ), sea F _a ( s ), para el complejo s , la función definida por la serie de Dirichlet correspondiente (donde converge ): ^[11] F _a ( s ) se denomina función generadora de a ( n ). La serie más simple de este tipo, correspondiente a la función constante a ( n ) = 1 para todo n , es ζ ( s ) la función zeta de Riemann . $${\displaystyle F_{a}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}$$

La función generadora de la función de Möbius es la inversa de la función zeta: $${\displaystyle \zeta (s)\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1,\;\;\Re s>1.}$$

Consideremos dos funciones aritméticas a y b y sus respectivas funciones generadoras F _a ( s ) y F _b ( s ). El producto F _a ( s ) F _b ( s ) se puede calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a(m)}{m^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).}$$

Es un ejercicio sencillo demostrar que si c ( n ) está definido por entonces$${\displaystyle c(n):=\sum _{ij=n}a(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac {n}{i}}\right),}$$$${\displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).}$$

Esta función c se llama convolución de Dirichlet de a y b , y se denota por . ${\displaystyle a*b}$

Un caso particularmente importante es la convolución con la función constante a ( n ) = 1 para todo n , que corresponde a multiplicar la función generadora por la función zeta: $${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$$

Multiplicando por la inversa de la función zeta se obtiene la fórmula de inversión de Möbius : $${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}$$

Si f es multiplicativa, entonces también lo es g . Si f es completamente multiplicativa, entonces g es multiplicativa, pero puede o no ser completamente multiplicativa.

Existen muchas fórmulas que relacionan las funciones aritméticas entre sí y con las funciones de análisis, especialmente las potencias, las raíces y las funciones exponenciales y logarítmicas. La página Identidades de suma de divisores contiene muchos más ejemplos generalizados y relacionados de identidades que involucran funciones aritméticas.

A continuación se muestran algunos ejemplos:

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}$     donde λ es la función de Liouville. ^[12]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}$      ^[13]

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$       Inversión de Möbius

${\displaystyle \sum _{d\mid n}J_{k}(d)=n^{k}.}$      ^[14]

${\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$       Inversión de Möbius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$      ^[15]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}$      ^{[16] [17]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}$      ^[18]

${\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}$       Inversión de Möbius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}$      

${\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}$       Inversión de Möbius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}$       Inversión de Möbius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}}$     donde λ es la función de Liouville .

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}$      ^[19]

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}$       Inversión de Möbius

Para todo     ( Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange ). ${\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),}$ ^[20]

donde el símbolo de Kronecker tiene los valores

${\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}}$

Hay una fórmula para r ₃ en la sección sobre números de clase a continuación, donde ν = ν ₂ ( n ) .     ^{[21] [22] [23]}$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}$$

$${\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},}$$ donde ^[24]${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}$

Defina la función σ _k ^* ( n ) como ^[25] $${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

Es decir, si n es impar, σ _k ^* ( n ) es la suma de las k ésimas potencias de los divisores de n , es decir, σ _k ( n ), y si n es par es la suma de las k ésimas potencias de los divisores pares de n menos la suma de las k ésimas potencias de los divisores impares de n .

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}$    ^{[24] [26]}

Adopte la convención de que τ ( x ) de Ramanujan = 0 si x no es un entero.

${\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}$    ^[27]

Aquí "convolución" no significa "convolución de Dirichlet", sino que se refiere a la fórmula para los coeficientes del producto de dos series de potencias :

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}$

La sucesión se denomina convolución o producto de Cauchy de las sucesiones a _n y b _n . Estas fórmulas pueden demostrarse analíticamente (véase la serie de Eisenstein ) o por métodos elementales. ^[28]${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$

${\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.}$    ^[29]

${\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.}$    ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}$    ^{[30] [31]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}}$    ^{[29] [32]}

${\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}$     donde τ ( n ) es la función de Ramanujan.     ^{[33] [34]}

Dado que σ _k ( n ) (para el número natural k ) y τ ( n ) son números enteros, las fórmulas anteriores se pueden utilizar para demostrar congruencias ^[35] para las funciones. Véase la función tau de Ramanujan para ver algunos ejemplos.

Amplíe el dominio de la función de partición estableciendo p (0) = 1.

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}$    ^[36]   Esta recurrencia se puede utilizar para calcular p ( n ).

Peter Gustav Lejeune Dirichlet descubrió fórmulas que relacionan el número de clase h de los cuerpos de números cuadráticos con el símbolo de Jacobi. ^[37]

Un entero D se denomina discriminante fundamental si es el discriminante de un cuerpo de números cuadráticos. Esto es equivalente a D ≠ 1 y a) D es libre de cuadrados y D ≡ 1 (mod 4) o b) D ≡ 0 (mod 4), D /4 es libre de cuadrados y D /4 ≡ 2 o 3 (mod 4). ^[38]

Amplíe el símbolo de Jacobi para aceptar números pares en el "denominador" definiendo el símbolo de Kronecker : $${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}$$

Entonces si D < −4 es un discriminante fundamental ^{[39] [40]} $${\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

También existe una fórmula que relaciona r ₃ y h . Nuevamente, sea D un discriminante fundamental, D < −4. Entonces ^[41] $${\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}$$

Sea   el n -ésimo número armónico . Entonces ${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}$   es verdadera para cada número natural n si y sólo si la hipótesis de Riemann es verdadera.     ^[42]

La hipótesis de Riemann también es equivalente a la afirmación de que, para todo n > 5040, (donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ). Este es el teorema de Robin . $${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$$

${\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$    ^[43]

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$    ^[44]

${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}$    ^[45]

${\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].}$    ^[46]

En 1965 P Kesava Menon demostró ^[47] $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}$$

Esto ha sido generalizado por varios matemáticos. Por ejemplo,

• B. Sury ^[48] $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$$
• N. Rao ^[49] donde a ₁ , a ₂ , ..., a _s son números enteros, mcd( a ₁ , a ₂ , ..., a _s , n ) = 1.$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$$
• László Fejes Tóth ^[50] donde m ₁ y m ₂ son impares, m = mcm( m ₁ , m ₂ ).$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$$

De hecho, si f es cualquier función aritmética ^{[51] [52]} donde representa la convolución de Dirichlet. $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}$$${\displaystyle *}$

Sean m y n distintos, impares y positivos. Entonces el símbolo de Jacobi satisface la ley de reciprocidad cuadrática : $${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}$$

Sea D ( n ) la derivada aritmética. Entonces, la derivada logarítmica. Consulte Derivada aritmética para obtener más detalles. $${\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}.}$$

Sea λ ( n ) la función de Liouville. Entonces

${\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),}$     y

${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).}$    

Sea λ ( n ) la función de Carmichael. Entonces

${\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).}$     Más,

${\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}}$

Véase Grupo multiplicativo de números enteros módulo n y Raíz primitiva módulo n .  

${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.}$    ^{[53] [54]}

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.}$    ^[55]

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}}$    ^[56]     Nótese que   ^[57]${\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}$    

${\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).}$

${\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.}$    ^[58]   Compare esto con 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).}$    ^[59]

${\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).}$    ^[60]

${\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}$     donde τ ( n ) es la función de Ramanujan.     ^[61]

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