Independencia (lógica matemática)

En lógica matemática , la independencia es la imposibilidad de demostrar una proposición específica a partir de un conjunto específico de otras proposiciones. Las proposiciones de este conjunto se denominan "axiomas".

Una proposición σ es independiente de una teoría de primer orden T si T no prueba ni refuta σ; es decir, es imposible probar σ a partir de T , y también es imposible probar a partir de T que σ es falsa. A veces, se dice (de forma sinónima) que σ es indecidible a partir de T. (Este concepto no guarda relación con la idea de " decidibilidad " como en un problema de decisión ).

Una teoría T es independiente si ningún axioma de T puede demostrarse a partir de los axiomas restantes de T. Una teoría que tiene un conjunto independiente de axiomas es axiomatizable de forma independiente .

Algunos autores afirman que σ es independiente de T cuando T simplemente no puede probar σ, y con ello no necesariamente implican que T no pueda refutar σ. Estos autores a veces dicen "σ es independiente y consistente con T " para indicar que T no puede ni probar ni refutar σ.

Muchas afirmaciones interesantes en teoría de conjuntos son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Se sabe que las siguientes afirmaciones en teoría de conjuntos son independientes de ZF, bajo el supuesto de que ZF es consistente:

• El axioma de elección
• La hipótesis del continuo y la hipótesis del continuo generalizada
• La conjetura de Suslin

Las siguientes afirmaciones (ninguna de las cuales ha sido demostrada como falsa) no pueden probarse en ZFC (la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección) como independientes de ZFC, bajo la hipótesis añadida de que ZFC es consistente.

• La existencia de cardinales fuertemente inaccesibles
• La existencia de grandes cardenales
• La inexistencia de árboles Kurepa

Las siguientes afirmaciones son inconsistentes con el axioma de elección y, por lo tanto, con ZFC. Sin embargo, probablemente sean independientes de ZF, en un sentido correspondiente al anterior: no pueden demostrarse en ZF, y pocos teóricos de conjuntos de trabajo esperan encontrar una refutación en ZF. No obstante, ZF no puede probar que sean independientes de ZF, incluso con la hipótesis adicional de que ZF es consistente.

• El axioma de la determinación
• El axioma de la determinación real
• AD+

Un conjunto de oraciones es independiente, o simplemente independiente, si ninguna oración del conjunto puede demostrarse a partir de las demás. Esto equivale a decir que para cada oración del conjunto existe una interpretación bajo la cual esa oración es falsa, pero todas las demás son verdaderas.

Existe otro tipo de independencia, denominada independencia completa o independencia fuerte. Un conjunto de oraciones es completamente independiente si, para cada subconjunto, existe una interpretación según la cual todos los elementos de dicho subconjunto son verdaderos y todos los demás son falsos. Esto equivale a decir que todas las combinaciones posibles de oraciones verdaderas o falsas son consistentes.

Desde el año 2000, la independencia lógica se ha entendido como de crucial importancia en los fundamentos de la física. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• Lista de declaraciones independientes de ZFC
• Postulado de las paralelas para un ejemplo en geometría.

• Mendelson, Elliott (1997), Introducción a la lógica matemática (4.ª  ed.), Londres: Chapman & Hall , ISBN 978-0-412-80830-2
• Monk, J. Donald (1976), Lógica matemática , Textos de posgrado en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90170-1
• Stabler, Edward Russell (1948), Introducción al pensamiento matemático , Reading, Massachusetts: Addison-Wesley