Fernando Georg Frobenius

Ferdinand Georg Frobenius (26 de octubre de 1849 - 3 de agosto de 1917) fue un matemático alemán , conocido principalmente por sus contribuciones a la teoría de funciones elípticas , ecuaciones diferenciales , teoría de números y teoría de grupos . Es famoso por las identidades determinantes, conocidas como fórmulas de Frobenius-Stickelberger, que rigen las funciones elípticas, y por desarrollar la teoría de las formas bicuadráticas. También fue el primero en introducir la noción de aproximaciones racionales de funciones (conocidas hoy en día como aproximantes de Padé ) y dio la primera demostración completa del teorema de Cayley-Hamilton . Además, dio nombre a ciertos objetos geométricos diferenciales en la física matemática moderna , conocidos como variedades de Frobenius .

Ferdinand Georg Frobenius nació el 26 de octubre de 1849 en Charlottenburg , un suburbio de Berlín , ^{[ 1 ]} hijo de Christian Ferdinand Frobenius, un pastor protestante , y Christine Elizabeth Friedrich. Ingresó en el Joachimsthal Gymnasium en 1860, cuando tenía casi once años. ^{[ 2 ]}

En 1867, tras graduarse, ingresó en la Universidad de Gotinga , donde comenzó sus estudios universitarios. Sin embargo, solo estudió allí un semestre antes de regresar a Berlín, donde asistió a las clases de Leopold Kronecker , Ernst Kummer y Karl Weierstrass . Recibió su doctorado (con honores) en 1870 bajo la dirección de Weierstrass. Su tesis versó sobre la resolución de ecuaciones diferenciales. En 1874, tras haber impartido clases en la enseñanza secundaria —primero en el Joachimsthal Gymnasium y luego en la Sophienrealschule— , fue nombrado catedrático extraordinario de matemáticas en la Universidad de Berlín. ^{[ 2 ]}

Frobenius estuvo en Berlín apenas un año antes de trasladarse a Zúrich para ocupar un puesto como profesor titular en el Polytechnikum, la actual ETH Zúrich . Durante diecisiete años, entre 1875 y 1892, Frobenius trabajó en Zúrich. Allí contrajo matrimonio, formó una familia y realizó importantes trabajos en diversas áreas de las matemáticas.

En los últimos días de diciembre de 1891, Kronecker falleció, dejando vacante su cátedra en Berlín. Weierstrass, convencido de que Frobenius era la persona idónea para mantener a Berlín a la vanguardia de las matemáticas, utilizó su considerable influencia para que fuera nombrado. En 1893 regresó a Berlín, donde fue elegido miembro de la Academia Prusiana de Ciencias .

La teoría de grupos fue uno de los principales intereses de Frobenius en la segunda mitad de su carrera. Una de sus primeras contribuciones fue la demostración de los teoremas de Sylow para grupos abstractos. Las demostraciones anteriores se habían centrado en grupos de permutaciones . Su demostración del primer teorema de Sylow (sobre la existencia de grupos de Sylow) es una de las que se utilizan con frecuencia en la actualidad.

• Frobenius también demostró el siguiente teorema fundamental: Si un entero positivo n divide el orden | G | de un grupo finito G , entonces el número de soluciones de la ecuación x ⁿ = 1 en G es igual a kn para algún entero positivo k .

• También planteó la siguiente conjetura: Si, en el teorema anterior, k = 1 , entonces las soluciones de la ecuación x ⁿ = 1 en G forman un subgrupo.

Hace muchos años se demostró que esta conjetura era correcta para grupos resolubles . ^{[ 3 ]} Solo en 1991, después de la clasificación de grupos simples finitos , se resolvió este problema en general.

Más importante aún fue su creación de la teoría de los caracteres grupales y las representaciones grupales , que son herramientas fundamentales para estudiar la estructura de los grupos. Este trabajo condujo a la noción de reciprocidad de Frobenius y a la definición de lo que ahora se denomina grupos de Frobenius . Se dice que un grupo G es un grupo de Frobenius si existe un subgrupo H < G tal que

${\displaystyle \ H\ \cap \ H^{x}=\{\ 1\ \}\quad }$a pesar de${\displaystyle \quad x\in G\ \backslash \ H~.}$

En ese caso, el conjunto

${\displaystyle \ N=G\ \backslash \!\!\!\bigcup _{x\in \ G\ \backslash \ H}\!\!\!H^{x}\ }$

junto con el elemento identidad de G forma un subgrupo que es nilpotente como demostró John G. Thompson en 1959. ^{[ 4 ]} Todas las demostraciones conocidas de ese teorema utilizan caracteres. En su primer artículo sobre caracteres (1896), Frobenius construyó la tabla de caracteres del grupo${\displaystyle \ \mathrm {PSL} (2,p)\ }$del orden${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\left(\ p^{3}-p\ \right)\ }$para todos los primos impares p (este es un grupo simple siempre que p > 3 ). También hizo contribuciones fundamentales a la teoría de la representación de los grupos simétricos y alternantes .

Frobenius introdujo una forma canónica de convertir primos en clases de conjugación en grupos de Galois sobre Q. Específicamente, si K / Q es una extensión finita de Galois, entonces para cada primo (positivo) p que no se ramifica en K y para cada ideal primo P que se encuentra sobre p en K, hay un único elemento g de Gal( K / Q ) que satisface la condición g ( x )  = x ^p (mod P ) para todos los enteros x de K. Al variar P sobre p, g se convierte en un conjugado (y cada conjugado de g aparece de esta manera), por lo que la clase de conjugación de g en el grupo de Galois está asociada canónicamente a p . Esto se llama la clase de conjugación de Frobenius de p y cualquier elemento de la clase de conjugación se llama un elemento de Frobenius de p . Si tomamos para K el m -ésimo cuerpo ciclotómico , cuyo grupo de Galois sobre Q es el módulo m de las unidades (y por lo tanto es abeliano, de modo que las clases de conjugación se convierten en elementos), entonces para p que no divide a m la clase de Frobenius en el grupo de Galois es p mod m . Desde este punto de vista, la distribución de las clases de conjugación de Frobenius en los grupos de Galois sobre Q (o, más generalmente, en los grupos de Galois sobre cualquier cuerpo numérico) generaliza el resultado clásico de Dirichlet sobre los primos en progresiones aritméticas. El estudio de los grupos de Galois de extensiones de grado infinito de Q depende crucialmente de esta construcción de elementos de Frobenius, que proporciona, en cierto sentido, un subconjunto denso de elementos accesibles para un estudio detallado.     

Frobenius realizó importantes contribuciones a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes variables, al desarrollar métodos de resolución de series de potencias aplicados en puntos singulares donde fallan los métodos estándar de series de Taylor. Su algoritmo se conoce actualmente como el método de Frobenius .

• Lista de cosas que llevan el nombre de Ferdinand Georg Frobenius

• Frobenius, Ferdinand Georg (1968), Serre, J.-P. (ed.), Gesammelte Abhandlungen. Bände I, II, III , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-04120-7, MR 0235974 
• De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione (en latín), Disertación, 1870
• Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 73, 1–30 (1871)
• Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coficienten racionale Functionen einer Variablen sind (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 74, 254–272 (1872)
• Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 236–270 (1873)
• Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214–235 (1873)
• Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 245–257 (1874)
• Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 78, 93–96 (1874)
• Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 79, 185–247 (1875)
• Über algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 183-193 (1875)
• Über das Pfaffsche Problem (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 82, 230–315 (1875)
• Über die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 317–333 (1875)
• Note sur la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables (en francés), Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris 85, 131-133 (1877)
• Zur Theorie der elliptischen Functionen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 83, 175-179 (1877)
• Über adjungirte lineare Differentialausdrücke (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 85, 185–213 (1878)
• Über lineare Substitutionen und bilineare Formen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 84, 1–63 (1878)
• Über homogene totale Differentialgleichungen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 1–19 (1879)
• Frobenius, G. (1881). "Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 90 : 1-17 .
• Ueber Matrizen aus nicht negativos Elementen (en alemán), Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 26, 456—477 (1912)
• Frobenius, G. (1913). "Ueber die Markoffschen Zahlen" . Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 458– 487.

• Curtis, Charles W. (2003), Pioneros de la teoría de la representación: Frobenius, Burnside, Schur y Brauer , Historia de las matemáticas, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2677-5, MR 1715145 Revisar

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Ferdinand Georg Frobenius" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• G. Frobenius, "Teoría de las cantidades hipercomplejas" (traducción al inglés)