Método de Frobenius

En matemáticas , el método de Frobenius , que recibe su nombre de Ferdinand Georg Frobenius , es una forma de encontrar una solución en serie infinita para una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden de la forma $${\displaystyle z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0}$$ con${\textstyle u'\equiv {\frac {du}{dz}}}$y${\textstyle u''\equiv {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}}$.

en las proximidades del punto singular regular${\displaystyle z=0}$.

Se puede dividir por${\displaystyle z^{2}}$para obtener una ecuación diferencial de la forma $${\displaystyle u''+{\frac {p(z)}{z}}u'+{\frac {q(z)}{z^{2}}}u=0}$$ que no se podrá resolver con métodos de series de potencias regulares si p ( z )/ z o q ( z )/ z ² no son analíticas en z = 0 . El método de Frobenius permite crear una solución en serie de potencias para dicha ecuación diferencial, siempre que p ( z ) y q ( z ) sean analíticas en 0 o, siendo analíticas en otros puntos, existan sus límites en 0 (y sean finitos). 

La contribución de Frobenius ^{[ 1 ]} no radicaba tanto en todas las posibles formas de las soluciones en serie involucradas (véase más adelante). Estas formas ya habían sido establecidas anteriormente, ^{[ 2 ]} por Lazarus Fuchs . ^{[ 3 ] [ 4 ]} El polinomio indicial (véase más adelante) y su función también habían sido establecidos por Fuchs. ^{[ 2 ]}

Una primera contribución de Frobenius a la teoría fue demostrar que, con respecto a una primera solución linealmente independiente, que entonces tiene la forma de una serie de potencias analítica multiplicada por una potencia arbitraria r de la variable independiente (véase más abajo), los coeficientes de la serie de potencias generalizada obedecen una relación de recurrencia , de modo que siempre se pueden calcular directamente.

Una segunda contribución de Frobenius fue demostrar que, en los casos en que las raíces de la ecuación indicial difieren en un entero , la forma general de la segunda solución linealmente independiente (véase más abajo) se puede obtener mediante un procedimiento que se basa en la diferenciación ^{[ 5 ]} con respecto al parámetro r , mencionado anteriormente.

Una gran parte de la publicación de Frobenius de 1873 ^{[ 1 ]} se dedicó a las pruebas de convergencia de todas las series involucradas en las soluciones, así como al establecimiento de los radios de convergencia de estas series.

El método de Frobenius consiste en buscar una solución en serie de potencias de la forma $${\displaystyle u(z)=z^{r}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k},\qquad (A_{0}\neq 0)}$$

Diferenciación: $${\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}$$$${\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}$$

Sustituyendo la diferenciación anterior en nuestra EDO original: $${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}]\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\\={}&\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}=0\end{aligned}}}$$

La expresión $${\displaystyle r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)}$$ se conoce como el polinomio indicial , que es cuadrático en r . La definición general del polinomio indicial es el coeficiente de la potencia más baja de z en la serie infinita. En este caso, resulta que este es el r -ésimo coeficiente, pero es posible que el exponente más bajo posible sea r − 2, r − 1 o algo más dependiendo de la ecuación diferencial dada. Este detalle es importante tenerlo en cuenta. En el proceso de sincronizar todas las series de la ecuación diferencial para que comiencen en el mismo valor de índice (que en la expresión anterior es k = 1), se pueden obtener expresiones complicadas. Sin embargo, al resolver para las raíces indiciales, la atención se centra solo en el coeficiente de la potencia más baja de z .         

Utilizando esto, la expresión general del coeficiente de z ^{k + r} es $${\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j},}$$

Estos coeficientes deben ser cero, ya que deben ser soluciones de la ecuación diferencial, por lo tanto

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=0\\[4pt]\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=-I(k+r)A_{k}\\[4pt]{1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=A_{k}\end{aligned}}}$$

La solución en serie con A _k arriba, $${\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$$ Satisface $${\displaystyle z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}}$$

Si elegimos una de las raíces del polinomio indicial para r en U _r ( z ) , obtenemos una solución a la ecuación diferencial. Si la diferencia entre las raíces no es un número entero, obtenemos otra solución linealmente independiente en la otra raíz.

Vamos a resolverlo $${\displaystyle z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0}$$

Dividir todo por z ² para obtener $${\displaystyle f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0}$$ que tiene la singularidad requerida en z = 0.   

Utilice la solución en serie $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\f'&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}\\f''&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}\end{aligned}}}$$

Ahora, sustituyendo $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k-1+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left(r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}}$$

De ( r − 1) ^² = 0 obtenemos una raíz doble de 1. Usando esta raíz, establecemos el coeficiente de z ^{k + r − 2} en cero (para que sea una solución), lo que nos da: $${\displaystyle (k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0}$$ Por lo tanto, tenemos la relación de recurrencia : $${\displaystyle A_{k}={\frac {A_{k-1}}{k^{2}}}}$$

Dadas ciertas condiciones iniciales, podemos resolver la recurrencia por completo u obtener una solución en forma de serie de potencias.

Dado que la relación de coeficientes${\displaystyle A_{k}/A_{k-1}}$es una función racional , la serie de potencias se puede escribir como una serie hipergeométrica generalizada .

El ejemplo anterior involucraba un polinomio indicial con una raíz repetida, que proporciona una única solución a la ecuación diferencial dada. En general, el método de Frobenius ofrece dos soluciones independientes siempre que las raíces de la ecuación indicial no estén separadas por un número entero (incluido el cero).

Si la raíz se repite o las raíces difieren en un número entero, entonces la segunda solución se puede encontrar utilizando: $${\displaystyle y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}x^{k+r_{2}}}$$ dónde${\displaystyle y_{1}(x)}$es la primera solución (basada en la raíz mayor en el caso de raíces desiguales),${\displaystyle r_{2}}$es la raíz más pequeña, y la constante C y los coeficientes${\displaystyle B_{k}}$están por determinarse. Una vez${\displaystyle B_{0}}$se elige (por ejemplo, estableciéndolo en 1) luego C y el${\displaystyle B_{k}}$se determinan hasta pero sin incluir${\displaystyle B_{r_{1}-r_{2}}}$, que se puede establecer arbitrariamente. Esto determina entonces el resto de la${\displaystyle B_{k}.}$En algunos casos, la constante C debe ser cero.

Ejemplo : considere la siguiente ecuación diferencial ( ecuación de Kummer con a = 1 y b = 2 ): $${\displaystyle zu''+(2-z)u'-u=0}$$ Las raíces de la ecuación indicial son −1 y 0. Dos soluciones independientes son${\displaystyle 1/z}$y${\displaystyle e^{z}/z,}$Así pues, vemos que el logaritmo no aparece en ninguna solución. La solución${\displaystyle (e^{z}-1)/z}$tiene una serie de potencias que comienza con la potencia cero. En una serie de potencias que comienza con${\displaystyle z^{-1}}$La relación de recurrencia no impone ninguna restricción al coeficiente del término.${\displaystyle z^{0},}$que se puede establecer arbitrariamente. Si se establece en cero, entonces con esta ecuación diferencial todos los demás coeficientes serán cero y obtenemos la solución 1/ z .

• Teorema de Fuchs
• punto singular regular
• Serie Laurent

• Weisstein, Eric W. "Método de Frobenius" . MathWorld .
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.(Versión preliminar disponible en línea en https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ ). El capítulo 4 contiene el método completo, incluyendo las demostraciones.