Variables libres y variables ligadas

En un contexto más amplio, las variables ligadas son fundamentales para la estructura de las demostraciones matemáticas . Por ejemplo, la siguiente demostración muestra que el cuadrado de cualquier entero par positivo es divisible por 4:

Dejar${\displaystyle n}$sea ​​un entero par positivo arbitrario. Por definición, existe un entero${\displaystyle k}$de tal manera que${\displaystyle n=2k}$Sustituyendo esto en la expresión para el cuadrado se obtiene${\displaystyle n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$. Desde${\displaystyle k}$es un número entero,${\displaystyle k^{2}}$también es un número entero. Por lo tanto,${\displaystyle n^{2}}$es divisible por 4.

En esta prueba, ambos${\displaystyle n}$y${\displaystyle k}$funcionan como variables ligadas, pero están ligadas de diferentes maneras. ^{[ 3 ]}

La variable${\displaystyle n}$se introduce como un elemento arbitrario pero particular de un conjunto. La afirmación "Sea${\displaystyle n}$ser..." funciona implícitamente como un cuantificador universal , vinculando${\displaystyle n}$para el alcance de la prueba. La prueba establece una propiedad para este único y arbitrario${\displaystyle n}$, lo que permite llegar a la conclusión general de que la propiedad se cumple para todos los enteros pares positivos. ^{[ 4 ]}

La variable${\displaystyle k}$, por otro lado, está limitado por un cuantificador existencial ("existe un entero")${\displaystyle k}$"). Se introduce para representar un entero específico, aunque sin nombre, cuya existencia está garantizada por la definición de${\displaystyle n}$ser uniforme. El alcance de${\displaystyle k}$se limita al razonamiento que sigue a su introducción. ^{[ 5 ]}

Por lo tanto, ninguna de las variables es libre; su significado está completamente determinado por su función dentro de la estructura lógica de la demostración.

En matemáticas y lógica , varios símbolos funcionan como operadores de vinculación de variables . Estos operadores toman como argumento una función o una fórmula abierta y vinculan una variable libre dentro de esa expresión a un dominio o rango de valores específico, creando una nueva expresión cuyo significado no depende de la variable vinculada. ^{[ 6 ]}

Los operadores comunes de vinculación de variables incluyen:

• La suma (${\displaystyle \Sigma }$) y producto (${\displaystyle \Pi }$operadores que vinculan una variable a un conjunto o rango de valores.

${\displaystyle \sum _{x\in S}f(x)\quad \quad \quad \prod _{x\in S}f(x)}$

• La integral (${\displaystyle \textstyle \int }$) y límite (${\displaystyle \lim }$operadores que vinculan una variable a lo largo de un continuo o a medida que se aproxima a un valor determinado.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\quad \quad \lim _{x\to c}f(x)}$

• Los cuantificadores lógicos , como el cuantificador universal (${\displaystyle \forall }$) y el cuantificador existencial (${\displaystyle \exists }$), que vinculan una variable sobre un dominio de discurso .

${\displaystyle \forall x,P(x)\quad \quad \quad \exists x,P(x)}$

En cada caso, la variable x está ligada dentro de la expresión que sigue al operador (por ejemplo,${\displaystyle f(x)}$o${\displaystyle P(x)}$Muchos de estos operadores actúan sobre una función de la variable ligada. Si bien la notación estándar suele ser suficiente, las expresiones complejas con operadores anidados pueden volverse ambiguas, especialmente si se reutiliza el mismo nombre de variable. Esto puede dar lugar a un problema conocido como captura de variable , donde una variable que debería ser libre se liga incorrectamente mediante un operador en un ámbito diferente. ^{[ 7 ]}

Para evitar dicha ambigüedad, puede ser útil cambiar a una notación que explicite la vinculación, tratando a los operadores como funciones de orden superior . Este enfoque, basado en los principios del cálculo lambda , separa claramente la función sobre la que se opera del operador en sí. ^{[ 8 ]}

Por ejemplo:

• El resumen${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}f(k,n)}$se puede escribir para hacer explícito el argumento funcional:

${\displaystyle \sum _{\{1,\ldots ,10\}}(k\mapsto f(k,n))}$

Aquí, el operador${\displaystyle \sum _{S}f}$Se aplica al conjunto S y a la función f .

• El operador de derivada también puede representarse claramente tomando una función como argumento:

${\displaystyle D(x\mapsto x^{2}+2x+1)}$

Esta notación aclara que el operador${\displaystyle D}$se aplica a toda la función${\displaystyle x\mapsto x^{2}+2x+1}$, en lugar de simplemente una expresión en la que${\displaystyle x}$resulta ser una variable.

Un ejemplo claro de operador de vinculación de variables en matemáticas es la definición de una función . Una expresión que define una función, como el lado derecho de:

${\displaystyle f=\left[(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto t\right]\,,}$

vincula las variables${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. La expresión${\displaystyle t}$, que forma el cuerpo de la función, puede contener algunas, todas o ninguna de las variables.${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, que son sus parámetros formales. Cualquier ocurrencia de estas variables dentro${\displaystyle t}$está limitado por la definición de la función. El cuerpo${\displaystyle t}$También puede contener otras variables, que se considerarían variables libres cuyos valores deben determinarse a partir de un contexto más amplio. ^{[ 6 ]}

La expresión${\displaystyle \left[(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto t\right]}$es directamente análogo a las expresiones lambda en el cálculo lambda , donde la${\displaystyle \lambda }$El símbolo es el operador fundamental de vinculación de variables. Por ejemplo, la definición de la función.${\displaystyle (x\mapsto x^{2})}$es equivalente a la abstracción lambda${\displaystyle \lambda xx^{2}}$. ^{[ 8 ]}

La misma definición, vinculando la función que se está definiendo al nombre${\displaystyle f}$, se escribe más comúnmente en textos matemáticos de la forma

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=t\,.}$

Otros operadores matemáticos pueden entenderse como funciones de orden superior que vinculan variables. Por ejemplo, el operador de sumatoria ,${\displaystyle \Sigma }$, puede analizarse como un operador que toma una función y un conjunto sobre el cual evaluar dicha función. La expresión:

${\displaystyle \sum _{x\in S}{x^{2}}}$

vincula la variable x dentro del término${\displaystyle x^{2}}$El alcance de la vinculación es el término que sigue al símbolo de sumatoria. Esta expresión puede tratarse como una notación más compacta para:

${\displaystyle \sum _{S}{(x\mapsto x^{2})}}$

Aquí,${\displaystyle \sum _{S}{f}}$es un operador con dos parámetros: una función de un parámetro${\displaystyle f}$(en este caso,${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$) y un conjunto${\displaystyle S}$para evaluar esa función.

Otros operadores pueden expresarse de manera similar. El cuantificador universal${\displaystyle \forall x\in S,P(x)}$puede entenderse como un operador que se evalúa como la conjunción lógica de la función con valor booleano${\displaystyle P}$aplicado a cada elemento del conjunto (posiblemente infinito)${\displaystyle S}$. Asimismo, el operador del producto (${\textstyle \prod }$), el operador límite (${\displaystyle \lim _{n\to \infty }}$), y el operador integral (${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$) todos funcionan como enlazadores de variables, enlazando las variables${\displaystyle n}$y${\displaystyle x}$respectivamente sobre un dominio especificado. ^{[ 10 ]}

En inglés, los pronombres personales como he , she , they y sus variantes (por ejemplo, her , him ) pueden funcionar como variables libres . ^{[ 13 ]} Una variable libre es un término cuyo referente no está determinado dentro de la estructura sintáctica inmediata de la oración y debe ser identificado por el contexto más amplio, que puede ser lingüístico o situacional ( pragmático ). ^{[ 14 ]}

Considere la siguiente oración:

Lisa encontró su libro.

El pronombre posesivo «her» es una variable libre. Su interpretación es flexible; puede referirse a Lisa , una entidad dentro de la oración, o a alguna otra persona femenina relevante en el contexto del enunciado. ^{[ 12 ]} Esta ambigüedad da lugar a dos interpretaciones principales, que pueden representarse formalmente mediante subíndices de coindexación. ^{[ 15 ]} Un subíndice idéntico indica correferencia , mientras que subíndices diferentes señalan que las expresiones se refieren a entidades diferentes.

1. _Encontré a Lisa en _mi libro.
   • (Esta interpretación implica correferencia, donde "ella" se refiere a Lisa. A menudo se la denomina lectura anafórica, donde "ella" es una anáfora y "Lisa" es su antecedente ).
2. Lisa , encontré _su libro de _J.
   • (En esta interpretación, "ella" se refiere a una mujer que no es Lisa, por ejemplo, una persona llamada Jane que fue mencionada anteriormente en la conversación).

Esta distinción no es meramente un ejercicio teórico. Algunas lenguas poseen formas pronominales distintas para diferenciar entre estas dos lecturas. Por ejemplo, el noruego y el sueco utilizan el posesivo reflexivo sin para la lectura correferencial ( her _i ) y una forma no reflexiva como hennes (en sueco) para la lectura no correferencial ( her _j ). ^{[ 16 ]}

Aunque el inglés no tiene esta distinción explícita en sus pronombres estándar, puede forzar una lectura correferencial mediante el uso del posesivo enfático own . ^{[ 17 ]}

• _Encontré el _libro de Lisa . (Se requiere co-referencia)
• * Lisa _encontró su _propio libro. (Esta interpretación es incorrecta gramaticalmente )

A diferencia de los pronombres personales, los pronombres reflexivos (p. ej., sí mismo , ella misma , ellos mismos ) y los pronombres recíprocos (p. ej., el uno al otro ) actúan como variables ligadas , también conocidas en lingüística como anáforas . ^{[ 15 ]} Una variable ligada es una expresión que debe estar coindexada con, y controlada por, un antecedente dentro de un dominio sintáctico específico. ^{[ 15 ]}

Consideremos la oración:

Jane se lastimó.

El pronombre reflexivo «ella misma» debe referirse al sujeto de la oración, Jane . No puede referirse a ningún otro individuo. ^{[ 12 ]} Esta correferencia obligatoria es un sello distintivo de una variable ligada.

• Jane _se lastimó a sí misma _. (Interpretación gramatical: sí misma = Jane )
• * Jane _se lastimó a sí misma _. (Interpretación agramatical: sí misma ≠ Jane )

Esta relación de vinculación puede capturarse formalmente mediante una expresión lambda, una herramienta del cálculo lambda utilizada en la semántica formal para modelar la abstracción y aplicación de funciones. ^{[ 18 ]} La oración puede representarse como:

(λx.x hurt x)(Jane)

En esta notación:

• λxes el operador lambda que vincula la variable x.
• x hurt xes el predicado , una función que toma un argumento y afirma que este argumento se perjudica a sí mismo.
• (Jane)es el argumento aplicado a la función.

La expresión se evalúa como "Jane lastimó a Jane", capturando correctamente el hecho de que el sujeto y el objeto del verbo son la misma entidad. ^{[ 18 ]}

El comportamiento distintivo de los pronombres y anáforas se explica sistemáticamente mediante la teoría de la ligadura , un componente central de la Teoría del Gobierno y la Ligadura de Noam Chomsky . ^{[ 15 ]} Esta teoría propone tres principios que rigen la interpretación de diferentes tipos de frases nominales :

• Principio A: Una anáfora (reflexiva, recíproca) debe estar ligada a su categoría rectora (aproximadamente, la cláusula local ). ^{[ 15 ]} Esto explica por qué " ella misma" en "Jane se lastimó" debe estar ligada a "Jane " .

• Principio B: Un pronombre debe ser libre en su categoría de regencia. ^{[ 15 ]} Esto explica por qué un pronombre personal a menudo no puede estar ligado a un antecedente local. Por ejemplo, en "Ashley la golpeó", el pronombre " ella" no puede referirse a Ashley . ^{[ 19 ]}
  • * Ashley _la golpeé _. (Gramaticalmente incorrecto debido al Principio B )
  • Ashley , la golpeé _{. (} Gramaticalmente; "su" se refiere a alguien que no es Ashley).

• Principio C: Una expresión R (una expresión referencial como un nombre propio, p. ej., Jane , o una descripción definida, p. ej., la mujer ) debe ser libre en todas partes. ^{[ 15 ]} Esto impide que una expresión R se coindexe con un pronombre c-comandante, como en * He _i said that John _i was tired*. ^{[ 20 ]}

El concepto de ligadura de variables es esencial para comprender las frases nominales cuantificacionales (FNC), como «cada estudiante» , «algún político» o «nadie» . ^{[ 18 ]} A diferencia de los nombres propios, estas frases no se refieren a una entidad específica. En cambio, expresan una cantidad sobre un conjunto de individuos. ^{[ 18 ]} Una FNC puede ligar un pronombre que se encuentre dentro de su ámbito , convirtiendo al pronombre en una variable ligada.

Todos los estudiantes _piensan que _son inteligentes.

En esta oración, el pronombre "él" se interpreta de forma más natural como una variable ligada. ^{[ 21 ]} Su referencia covaría con los individuos del conjunto denotado por "cada estudiante". La oración no significa que cada estudiante piense que una persona específica (por ejemplo, Peter) es inteligente; más bien, significa que para cada estudiante individual${\displaystyle x}$,${\displaystyle x}$piensa que${\displaystyle x}$es inteligente. En las teorías sintácticas, esto se analiza a menudo mediante un proceso de elevación del cuantificador (QR), donde el QNP se mueve en el nivel sintáctico abstracto de la forma lógica a una posición donde controla y vincula al pronombre. ^{[ 21 ]}

La vinculación de variables también es fundamental para el análisis del movimiento de wh , que ocurre en la formación de preguntas y oraciones de relativo . ^{[ 22 ]} Las palabras wh como who , what y which funcionan como operadores que vinculan una variable en la oración principal. ^{[ 23 ]}

• Pregunta: ¿ A quién _le gusta John _?
• Cláusula relativa: El hombre [a quien _María vio ] es mi hermano _.

En estas estructuras, se dice que la palabra interrogativa se mueve desde una posición subyacente, dejando tras de sí una "huella".${\displaystyle (t)}$, que se trata como una variable ligada. ^{[ 15 ]} El significado de la pregunta puede parafrasearse como "¿Para qué persona${\displaystyle x}$¿A John le gusta?${\displaystyle x}$?". ^{[ 18 ]} De manera similar, la cláusula relativa denota un conjunto de individuos${\displaystyle x}$de tal manera que "María vio"${\displaystyle x}$". ^{[ 18 ]}

La distinción entre variables libres y ligadas proporciona una explicación poderosa para ciertas ambigüedades que surgen bajo la elipsis de VP . ^{[ 24 ] [ 25 ]} Considere la siguiente oración:

John quiere mucho a su madre, y Bill también.

Esta frase tiene dos interpretaciones distintas:

1. Identidad estricta: Bill ama a la madre de John .
2. Identidad descuidada : Bill ama a la madre de Bill .

Esta ambigüedad puede explicarse por el estatus del pronombre "his" en la primera cláusula. ^{[ 19 ]}

• Si se trata a «his» como una variable libre que se refiere a John, la frase verbal elidida (o «faltante») se interpreta como «ama a la madre de John». Cuando esto se aplica a Bill, el resultado es la lectura estricta . ^{[ 19 ]}
• Si se trata a "his" como una variable ligada ligada por el sujeto de su cláusula (es decir, John ), la frase verbal se interpreta como una propiedad abstracta lambda: λx.x loves x's mother. Cuando esta propiedad se aplica a Bill, el resultado es la lectura imprecisa . ^{[ 19 ]}

La existencia de la lectura de identidad descuidada se considera una fuerte evidencia de la realidad psicológica de las interpretaciones de variables ligadas en la gramática de los lenguajes naturales . ^{[ 26 ]}

Por lo tanto, la distribución e interpretación de los pronombres y otras expresiones referenciales en los lenguajes naturales no son aleatorias, sino que están regidas por un sofisticado sistema sintáctico y semántico. ^{[ 12 ]}

La distinción entre variables libres y ligadas es una piedra angular de la teoría lingüística moderna, ya que proporciona las herramientas analíticas necesarias para explicar la correferencia, la cuantificación, la formulación de preguntas y la elipsis.