Valor de verdad

En lógica y matemáticas , un valor de verdad , a veces llamado valor lógico , es un valor que indica la relación de una proposición con la verdad , que en la lógica clásica tiene solo dos valores posibles ( verdadero o falso ). ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los valores de verdad se utilizan en computación , así como en varios tipos de lógica .

En algunos lenguajes de programación, cualquier expresión puede evaluarse en un contexto que espera un tipo de dato booleano . Normalmente (aunque esto varía según el lenguaje de programación), expresiones como el número cero , la cadena vacía , las listas vacías y null se tratan como falsos, y las cadenas con contenido (como "abc"), otros números y objetos se evalúan como verdaderos. A veces, estas clases de expresiones se denominan falsas y verdaderas . Por ejemplo, en Lisp , nil , la lista vacía, se trata como falso, y todos los demás valores se tratan como verdaderos. En C , el número 0 o 0.0 es falso, y todos los demás valores se tratan como verdaderos.

En JavaScript , la cadena vacía ( ""), null, undefined, NaN, +0, −0y false^{[ 3 ]} a veces se denominan falsas (cuyo complemento es verdaderas ) para distinguir entre booleanos con comprobación de tipo estricta y booleanos con conversión de tipo (véase también: Sintaxis de JavaScript#Conversión de tipos ). ^{[ 4 ]} A diferencia de Python, los contenedores vacíos (arrays, mapas, conjuntos) se consideran verdaderos. Lenguajes como PHP también utilizan este enfoque.

En la lógica clásica , con su semántica prevista, los valores de verdad son verdadero ( denotado por 1 o el símbolo ⊤ ) e falso (denotado por 0 o el símbolo ⊥ ); es decir, la lógica clásica es una lógica bivalente . Este conjunto de dos valores también se denomina dominio booleano . La semántica correspondiente de los conectores lógicos son las funciones de verdad , cuyos valores se expresan en forma de tablas de verdad . La bicondicional lógica se convierte en la relación binaria de igualdad , y la negación se convierte en una biyección que permuta verdadero y falso. La conjunción y la disyunción son duales con respecto a la negación, que se expresa mediante las leyes de De Morgan .

¬( p ∧ q ) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q

¬( p ∨ q ) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q

Las variables proposicionales se convierten en variables en el dominio booleano. Asignar valores a las variables proposicionales se denomina valoración .

Mientras que en la lógica clásica los valores de verdad forman un álgebra booleana , en la lógica intuicionista , y más generalmente en las matemáticas constructivas , los valores de verdad forman un álgebra de Heyting . Dichos valores de verdad pueden expresar diversos aspectos de la validez, como la localidad, la temporalidad o el contenido computacional.

Por ejemplo, se pueden usar los conjuntos abiertos de un espacio topológico como valores de verdad intuicionistas, en cuyo caso el valor de verdad de una fórmula expresa dónde se cumple la fórmula, no si se cumple o no.

En la realizabilidad, los valores de verdad son conjuntos de programas, que pueden entenderse como evidencia computacional de la validez de una fórmula. Por ejemplo, el valor de verdad de la afirmación "para cada número hay un primo mayor que él" es el conjunto de todos los programas que toman como entrada un número n y producen como salida un primo mayor que n .

En la teoría de categorías , los valores de verdad aparecen como elementos del clasificador de subobjetos . En particular, en un topos elemental, a cada fórmula de lógica de orden superior se le puede asignar un valor de verdad en el clasificador de subobjetos.

Aunque un álgebra de Heyting pueda tener muchos elementos, esto no debe entenderse como que existan valores de verdad que no sean ni verdaderos ni falsos, porque la lógica intuicionista prueba ¬( p ≠ ⊤ ∧ p ≠ ¬⊥) ("no es cierto que p no sea ni verdadero ni falso"). ^{[ 5 ]}

En la teoría de tipos intuicionista , la correspondencia de Curry-Howard muestra una equivalencia entre proposiciones y tipos, según la cual la validez es equivalente a la pertenencia a un tipo.

Para otras nociones de valores de verdad intuicionistas, véase la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov y la lógica intuicionista §  Semántica .

Las lógicas multivaluadas (como la lógica difusa y la lógica de relevancia ) permiten más de dos valores de verdad, posiblemente conteniendo alguna estructura interna. Por ejemplo, en el intervalo unitario [ 0, 1 ] dicha estructura es un orden total ; esto puede expresarse como la existencia de varios grados de verdad .

No todos los sistemas lógicos son veritativo-valuativos en el sentido de que los conectores lógicos puedan interpretarse como funciones de verdad. Por ejemplo, la lógica intuicionista carece de un conjunto completo de valores de verdad porque su semántica, la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov , se especifica en términos de condiciones de demostrabilidad , y no directamente en términos de la verdad necesaria de las fórmulas.

Pero incluso las lógicas que no se basan en la valoración de la verdad pueden asociar valores con fórmulas lógicas, como se hace en la semántica algebraica . La semántica algebraica de la lógica intuicionista se expresa en términos de álgebras de Heyting , en comparación con la semántica del álgebra booleana del cálculo proposicional clásico.

• Probabilidad bayesiana
• razonamiento circular
• Grado de verdad
• Falso dilema
• Historia de la lógica §  Período algebraico
• Paradoja
• Teoría semántica de la verdad
• argumento de la honda
• Supervaluacionismo
• Semántica del valor de verdad
• Verosimilitud

• Shramko, Yaroslav; Wansing, Heinrich. "Valores de verdad" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .