Semántica del valor de verdad

En semántica formal , la semántica de valores de verdad es una alternativa a la semántica tarskiana . Ha sido defendida principalmente por Ruth Barcan Marcus , ^{[ 1 ]} H. Leblanc, J. Michael Dunn y Nuel Belnap . ^{[ 2 ]} También se la denomina interpretación de sustitución (de los cuantificadores) o cuantificación sustitucional.

La idea de esta semántica es que un cuantificador universal (respectivamente, existencial ) puede leerse como una conjunción (respectivamente, disyunción ) de fórmulas en las que las constantes reemplazan a las variables en el ámbito del cuantificador. Por ejemplo,${\displaystyle \forall xPx}$puede leerse (${\displaystyle Pa\land Pb\land Pc\land \dots }$) dónde${\displaystyle a,b,c}$son constantes individuales que reemplazan todas las ocurrencias de${\displaystyle x}$en${\displaystyle Px}$.

La principal diferencia entre la semántica de valores de verdad y la semántica estándar para la lógica de predicados es que no existen dominios para la semántica de valores de verdad. Solo las cláusulas de verdad para fórmulas atómicas y cuantificacionales difieren de las de la semántica estándar. Mientras que en la semántica estándar las fórmulas atómicas como${\displaystyle Pb}$o${\displaystyle Rca}$son verdaderas si y solo si (el referente de)${\displaystyle b}$es un miembro de la extensión del predicado${\displaystyle P}$, respectivamente, si y solo si el par${\displaystyle (c,a)}$es miembro de la extensión de${\displaystyle R}$En la semántica de valores de verdad, los valores de verdad de las fórmulas atómicas son fundamentales. Una fórmula universal (existencial) es verdadera si y solo si todas (algunas) instancias de sustitución básica de la subfórmula no cuantificada son verdaderas. Compárese esto con la semántica estándar, que dice que una fórmula universal (existencial) es verdadera si y solo si para todos (algunos) miembros del dominio, la fórmula se cumple para todos (algunos) de ellos; por ejemplo,${\displaystyle \forall xA}$es verdadero (bajo una interpretación) si y solo si para todo${\displaystyle k}$en el dominio${\displaystyle D}$,${\displaystyle A(k/x)}$es cierto (donde${\displaystyle A(k/x)}$es el resultado de sustituir${\displaystyle k}$para todas las ocurrencias de${\displaystyle x}$en${\displaystyle A}$(Aquí asumimos que las constantes son nombres propios, es decir, que también pertenecen al dominio).

La semántica de valores de verdad no está exenta de problemas. En primer lugar, fallan el teorema de completitud fuerte y la compacidad . Para ver esto, consideremos el conjunto${\displaystyle \{F(1),F(2),\dots \}}$Claramente la fórmula${\displaystyle \forall xF(x)}$es una consecuencia lógica del conjunto, pero no es consecuencia de ningún subconjunto finito del mismo (y, por lo tanto, no se puede deducir de él). De ello se deduce inmediatamente que tanto la compacidad como el teorema de completitud fuerte fallan para la semántica de valores de verdad. Esto se rectifica mediante una definición modificada de consecuencia lógica, como la que se presenta en Dunn y Belnap en 1968. ^{[ 2 ]}

Otro problema se presenta en la lógica libre . Consideremos un lenguaje con una constante individual.${\displaystyle c}$que no es designativo y es un predicado${\displaystyle F}$significa 'no existe'.${\displaystyle \exists xFx}$es falso aunque una instancia de sustitución (de hecho, cada instancia de este tipo bajo esta interpretación) sea verdadera. Para resolver este problema, simplemente añadimos la condición de que una afirmación cuantificada existencialmente sea verdadera bajo una interpretación para al menos una instancia de sustitución en la que la constante designe algo que existe.

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