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Principio de bivalencia

En lógica , el principio semántico (o ley ) de bivalencia establece que toda oración declarativa que expresa una proposición (de una teoría bajo análisis) tiene exactamente un v...

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En lógica , el principio semántico (o ley ) de bivalencia establece que toda oración declarativa que expresa una proposición (de una teoría bajo análisis) tiene exactamente un valor de verdad , ya sea verdadero o falso . [ 1 ] [ 2 ] Una lógica que satisface este principio se denomina lógica bivalente [ 3 ] o lógica de dos valores . [ 2 ] [ 4 ]

En lógica formal, el principio de bivalencia se convierte en una propiedad que una semántica puede o no poseer. Sin embargo, no es lo mismo que la ley del tercero excluido , y una semántica puede satisfacer dicha ley sin ser bivalente. [ 2 ]

El principio de bivalencia se estudia en lógica filosófica para abordar la cuestión de qué enunciados en lenguaje natural tienen un valor de verdad bien definido. Las oraciones que predicen eventos futuros y las que parecen abiertas a la interpretación resultan particularmente difíciles para los filósofos que sostienen que el principio de bivalencia se aplica a todos los enunciados declarativos en lenguaje natural. [ 2 ] Las lógicas multivaluadas formalizan la idea de que una caracterización realista de la noción de consecuencia requiere la admisibilidad de premisas que, debido a la vaguedad, la indeterminación temporal o cuántica , o el fallo de referencia , no pueden considerarse clásicamente bivalentes. Los fallos de referencia también pueden abordarse mediante lógicas libres . [ 5 ]

Relación con la ley del tercero excluido

El principio de bivalencia está relacionado con la ley del tercero excluido, aunque esta última es una expresión sintáctica del lenguaje de una lógica de la forma "P ∨ ¬P". La diferencia entre el principio de bivalencia y la ley del tercero excluido es importante porque existen lógicas que validan la ley pero no el principio. [ 2 ] Por ejemplo, la lógica de la paradoja (LP) trivalente valida la ley del tercero excluido, y sin embargo también valida la ley de no contradicción , ¬(P ∧ ¬P), y su semántica prevista no es bivalente. [ 6 ] En la lógica intuicionista, la ley del tercero excluido no se cumple. En la lógica clásica bivalente, tanto la ley del tercero excluido como la ley de no contradicción se cumplen. [ 1 ]

Lógica clásica

La semántica prevista de la lógica clásica es bivalente, pero esto no se aplica a todas las semánticas de la lógica clásica. En la semántica booleana (para la lógica proposicional clásica ), los valores de verdad son los elementos de un álgebra booleana arbitraria : "verdadero" corresponde al elemento máximo del álgebra y "falso" al elemento mínimo. Los elementos intermedios del álgebra corresponden a valores de verdad distintos de "verdadero" y "falso". El principio de bivalencia solo se cumple cuando el álgebra booleana se considera el álgebra de dos elementos , que no tiene elementos intermedios.

Asignar semántica booleana al cálculo de predicados clásico requiere que el modelo sea un álgebra booleana completa porque el cuantificador universal se corresponde con la operación del ínfimo y el cuantificador existencial con el supremo ; [ 7 ] esto se denomina modelo con valores booleanos . Todas las álgebras booleanas finitas son completas.

La tesis de Suszko

Para justificar su afirmación de que verdadero y falso son los únicos valores lógicos, Roman Suszko (1977) observa que toda lógica proposicional multivaluada estructural de Tarski puede dotarse de una semántica bivalente. [ 8 ]

Críticas

Contingentes futuros

Un ejemplo famoso [ 2 ] es el caso de la batalla naval contingente que se encuentra en la obra de Aristóteles , De Interpretatione , capítulo 9:

Imaginemos que P se refiere a la afirmación "Mañana habrá una batalla naval".

El principio de bivalencia afirma aquí:

O bien es cierto que mañana habrá una batalla naval, o bien es falso que mañana habrá una batalla naval.

Aristóteles se niega a aceptar la bivalencia para tales contingentes futuros; [ 9 ] Crisipo , el lógico estoico , sí la aceptó para esta y todas las demás proposiciones. La controversia sigue siendo de vital importancia tanto en la filosofía del tiempo como en la filosofía de la lógica .

Una de las primeras motivaciones para el estudio de las lógicas multivaluadas ha sido precisamente esta cuestión. A principios del siglo XX, el lógico formal polaco Jan Łukasiewicz propuso tres valores de verdad: el verdadero, el falso y el aún indeterminado . Este enfoque fue desarrollado posteriormente por Arend Heyting y LEJ Brouwer ; [ 2 ] véase lógica de Łukasiewicz .

Cuestiones como esta también se han abordado en diversas lógicas temporales , donde se puede afirmar que " eventualmente , o habrá una batalla naval mañana, o no la habrá". (Lo cual es cierto si ese "mañana" llega a ocurrir).

Vaguedad

Enigmas como la paradoja de Sorites y la falacia del continuo relacionada han generado dudas sobre la aplicabilidad de la lógica clásica y el principio de bivalencia a conceptos que pueden ser vagos en su aplicación. La lógica difusa y otras lógicas multivaluadas se han propuesto como alternativas que manejan mejor los conceptos vagos. La verdad (y la falsedad) en la lógica difusa, por ejemplo, se presenta en distintos grados. Consideremos la siguiente afirmación en el contexto de la clasificación de manzanas en una cinta transportadora:

Esta manzana es roja. [ 10 ]

Tras la observación, la manzana es de un color indeterminado entre amarillo y rojo, o bien presenta manchas de ambos colores. Por lo tanto, el color no pertenece a ninguna de las categorías "rojo" ni "amarillo", pero estas son las únicas categorías disponibles para nosotros al clasificar las manzanas. Podríamos decir que es "50% roja". Esto podría reformularse como: es 50% cierto que la manzana es roja. Por consiguiente, P es 50% verdadera y 50% falsa. Ahora consideremos:

Esta manzana es roja y no es roja.

En otras palabras, P y no-P. Esto viola el principio de no contradicción y, por extensión, el principio de bivalencia. Sin embargo, esto solo constituye un rechazo parcial de estas leyes, ya que P es solo parcialmente verdadero. Si P fuera 100% verdadero, no-P sería 100% falso, y no habría contradicción, puesto que P y no-P ya no se cumplirían.

Sin embargo, se mantiene la ley del tercero excluido, ya que P y no-P implica P o no-P, dado que "o" es inclusivo. Los únicos dos casos en los que P y no-P es falso (cuando P es 100% verdadero o falso) son los mismos que considera la lógica bivalente, y se aplican las mismas reglas.

Ejemplo de una lógica trivalente aplicada a casos vagos (indeterminados) : Kleene 1952 [ 11 ] (§64, pp.  332–340) propone una lógica trivalente para los casos en que los algoritmos que involucran funciones recursivas parciales pueden no devolver valores, sino que terminan con circunstancias "u" = indecidido. Considera "t" = "verdadero", "f" = "falso", "u" = "indecidido" y rediseña todos los conectores proposicionales. Observa que:

Estábamos justificados intuicionistamente al usar la lógica clásica de dos valores cuando usábamos los conectores para construir predicados recursivos primitivos y generales, ya que existe un procedimiento de decisión para cada predicado recursivo general; es decir, se demuestra intuicionistamente que la ley del tercero excluido se aplica a los predicados recursivos generales.

Ahora bien, si Q(x) es un predicado recursivo parcial, existe un procedimiento de decisión para Q(x) en su rango de definición, por lo que la ley del tercero excluido (que establece que Q(x) es verdadero o falso) se aplica intuicionistamente en el rango de definición. Pero puede que no exista un algoritmo para decidir, dado x, si Q(x) está definido o no. [...] Por lo tanto, solo clásicamente, y no intuicionistamente, tenemos una ley del cuarto excluido (que establece que, para cada x, Q(x) es verdadero, falso o incierto).

El tercer "valor de verdad" u no está, por lo tanto, a la par con los otros dos, t y f, en nuestra teoría. El análisis de su estatus demostrará que estamos limitados a un tipo especial de tabla de verdad.

Las siguientes son sus "tablas fuertes": [ 12 ]

Por ejemplo, si no se puede determinar si una manzana es roja o no, el valor de verdad de la afirmación Q: "Esta manzana es roja" es "u". De igual modo, el valor de verdad de la afirmación R: "Esta manzana no es roja" es "u". Por lo tanto, la operación AND de estas afirmaciones, es decir, "Esta manzana es roja Y esta manzana no es roja", dará como resultado, según las tablas, "u". Asimismo, la afirmación Q OR R, es decir, "Esta manzana es roja O esta manzana no es roja", también dará como resultado "u".

Declaraciones autorreferenciales

Algunas afirmaciones autorreferenciales, como la que aparece en la paradoja del mentiroso, no pueden tener valores de verdad definidos, ni de " Verdadero " ni de " Falso ", sin incurrir en contradicciones. [ 13 ] La paradoja del mentiroso puede enunciarse como:

A: Esta afirmación (A) es falsa.

Si (A) es verdadera, entonces "Esta afirmación es falsa" es verdadera. Por lo tanto, (A) debe ser falsa. La hipótesis de que (A) es verdadera lleva a la conclusión de que (A) es falsa, lo cual es una contradicción.

Si (A) es falsa, entonces «Esta afirmación es falsa» también lo es. Por lo tanto, (A) debe ser verdadera. La hipótesis de que (A) es falsa lleva a la conclusión de que (A) es verdadera, otra contradicción. En cualquier caso, (A) es a la vez verdadera y falsa, lo cual constituye una paradoja.

Algunas posibles soluciones a esta paradoja incluyen el rechazo de la lógica booleana (y por lo tanto el principio de bivalencia [ 14 ] ) y su reemplazo por cualquier lógica multivaluada como la lógica difusa , en la que el valor de verdad de una proposición puede ser cualquier número real entre 0 (que denota " Falsedad ") y 1 (que denota " Verdad "). [ 15 ] [ 16 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Lou Goble (2001). La guía Blackwell de lógica filosófica . Wiley-Blackwell. pág.  309. ISBN 978-0-631-20693-4.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 Paul Tomassi (1999). Lógica . Routledge. pág. 124. ISBN  978-0-415-16696-6.
  3. ↑ Lou Goble (2001). La guía Blackwell de lógica filosófica . Wiley-Blackwell. pág. 4. ISBN  978-0-631-20693-4.
  4. ↑ Mark Hürlimann (2009). Cómo abordar la complejidad del mundo real: límites, mejoras y nuevos enfoques para los responsables políticos . Gabler Verlag. pág. 42. ISBN  978-3-8349-1493-4.
  5. ↑ Dov M. Gabbay; John Woods (2007). El giro multivaluado y no monótono en lógica . Manual de historia de la lógica. Vol. 8. Elsevier. pág. vii. ISBN   978-0-444-51623-7.
  6. ↑ Graham Priest (2008). Una introducción a la lógica no clásica: del if al is . Cambridge University Press. págs. 124–125 . ISBN  978-0-521-85433-7.(Véase también Introducción a la lógica no clásica )
  7. ↑ Morten Heine Sørensen; Paweł Urzyczyn (2006). Conferencias sobre el isomorfismo de Curry-Howard . Elsevier. págs. 206–207 . ISBN  978-0-444-52077-7.
  8. ↑ Shramko, Y.; Wansing, H. (2015). " Valores de verdad , Enciclopedia de filosofía de Stanford" .
  9. ^ Jones, Russell E. (2010). "Verdad y contradicción en De Interpretatione 6-9 de Aristóteles" . Fronesis . 55 (1): 26– 67. doi : 10.1163/003188610X12589452898804 . JSTOR 20720827 . S2CID 53398648 .  
  10. ↑ Nótese el uso del artículo definido (extremadamente) preciso: «Este» en contraposición al más vago «El». Si se usa «El», tendría que ir acompañado de un gesto de señalamiento para que sea preciso. Ff Principia Mathematica (2.ª ed.), p. 91. Russell y Whitehead observan que este «este» indica «algo que se percibe» y, como tal, debe considerarse «elemental».
  11. ↑ Stephen C. Kleene, 1952, Introducción a la metamatemática , 6.ª reimpresión, 1971, North-Holland Publishing Company, Ámsterdam, NY, ISBN 0-7294-2130-9.
  12. ↑ "Tablas fuertes" es la expresión que usa Kleene. Nótese que, aunque "u" pueda aparecer para el valor de Q o R, "t" o "f" pueden, en esos casos, aparecer como un valor en "QVR", "Q & R" y "Q → R". Las "tablas débiles", por otro lado, son "regulares", lo que significa que "u" aparece en todos los casos en que el valor "u" se aplica a Q, a R o a ambos. Kleene señala que estas tablas no son las mismas que los valores originales de las tablas de Łukasiewicz de 1920. (Kleene explica estas diferencias en la página 335). También concluye que "u" puede significar cualquiera de las siguientes opciones: "indefinido", "desconocido (o valor irrelevante)", "valor ignorado por el momento", es decir, es una tercera categoría que no excluye (en última instancia) "t" ni "f" (página 335).
  13. ↑ Andrew Irvine, "Gaps, Gluts, and Paradox", Canadian Journal of Philosophy , vol. suplementario 18 [ El retorno del a priori ] (1992), 273–299
  14. ↑ Beall, Jc; Glanzberg, Michael y (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "La paradoja del mentiroso" , La enciclopedia de filosofía de Stanford ( edición de invierno de 2023), Laboratorio de investigación metafísica, Universidad de Stanford , consultado el 11 de mayo de 2025. 
  15. ↑ Cintula, Petr; Fermüller, Christian G.; Noguera, Carles (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Lógica difusa" , The Stanford Encyclopedia of Philosophy ( edición de verano de 2023), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 11 de mayo de 2025. 
  16. ↑ Hájek, P.; Paris, J.; Shepherdson, J. (marzo de 2000). "La paradoja del mentiroso y la lógica difusa". The Journal of Symbolic Logic . 61 (1): 339– 346. doi : 10.2307/2586541 . JSTOR 2586541. S2CID 6865763 .  

Lecturas adicionales

  • Devidi, D.; Solomon, G. (1999). "Sobre las confusiones acerca de la bivalencia y el tercero excluido". Dialogue (en francés). 38 (4): 785– 799. doi : 10.1017/S0012217300006715 . S2CID 170829533 . .
  • Betti Arianna (2002) La historia incompleta de Łukasiewicz y la bivalencia en T. Childers (ed.) Anuario Logica 2002 , Praga: Academia Checa de Ciencias – Filosofia, pp.  21–26
  • Jean-Yves Béziau (2003) " Bivalencia, término medio excluido y no contradicción ", en The Logica Yearbook 2003 , L. Behounek (ed), Academia de Ciencias, Praga, pp.  73–84.
  • Font, JM (2009). "Tomando en serio los grados de verdad". Studia Logica . 91 (3): 383– 406. doi : 10.1007/s11225-009-9180-7 . S2CID 12721181 . 
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