Vector de probabilidad

En matemáticas y estadística , un vector de probabilidad o vector estocástico es un vector con entradas no negativas que suman uno.

Las posiciones (índices) de un vector de probabilidad representan los posibles resultados de una variable aleatoria discreta , y el vector nos da la función de masa de probabilidad de esa variable aleatoria, que es la forma estándar de caracterizar una distribución de probabilidad discreta . ^[1]

A continuación se muestran algunos ejemplos de vectores de probabilidad. Los vectores pueden ser columnas o filas.

• ${\displaystyle x_{0}={\begin{bmatrix}0,5\\0,25\\0,25\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{2}={\begin{bmatrix}0,65 y 0,35\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{3}={\begin{bmatrix}0,3&0,5&0,07&0,1&0,03\end{bmatrix}}.}$

Escribiendo los componentes vectoriales de un vector como ${\estilo de visualización p}$

${\displaystyle p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{o}}\quad p={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&\cdots &p_{n}\end{bmatrix}}}$

Los componentes del vector deben sumar uno:

${\displaystyle \suma _{i=1}^{n}p_{i}=1}$

Cada componente individual debe tener una probabilidad entre cero y uno:

${\displaystyle 0\leq p_{i}\leq 1}$

para todos . Por lo tanto, el conjunto de vectores estocásticos coincide con el -simplex estándar . Es un punto si , un segmento si , un triángulo (relleno) si , un tetraedro (relleno) si , etc. ${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización (n-1)}$${\estilo de visualización n=1}$${\estilo de visualización n=2}$${\estilo de visualización n=3}$${\estilo de visualización n=4}$

• La media de los componentes de cualquier vector de probabilidad es .${\estilo de visualización 1/n}$
• El vector de probabilidad más corto tiene el valor de cada componente del vector y tiene una longitud de .${\estilo de visualización 1/n}$${\textstyle 1/{\sqrt {n}}}$
• El vector de probabilidad más largo tiene el valor 1 en un solo componente y 0 en todos los demás, y tiene una longitud de 1.
• El vector más corto corresponde a la máxima incertidumbre, el más largo a la máxima certeza.
• La longitud de un vector de probabilidad es igual a ; donde es la varianza de los elementos del vector de probabilidad.${\textstyle {\sqrt {n\sigma ^{2}+1/n}}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

• Matriz estocástica
• Distribución de Dirichlet