variable aleatoria

En muchos casos,${\displaystyle X}$es de valor real , es decir${\displaystyle E=\mathbb {R} }$. En algunos contextos, el término elemento aleatorio (ver extensiones ) se utiliza para denotar una variable aleatoria que no tiene esta forma.

Cuando la imagen (o rango) de${\displaystyle X}$es finito o infinito numerable , la variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta ^{[ 5 ] : 399} y su distribución es una distribución de probabilidad discreta , es decir, puede describirse mediante una función de masa de probabilidad que asigna una probabilidad a cada valor en la imagen de${\displaystyle X}$. Si la imagen es infinitamente no numerable (normalmente un intervalo ), entonces${\displaystyle X}$Se denomina variable aleatoria continua . ^{[ 6 ] [ 7 ]} En el caso especial de que sea absolutamente continua , su distribución puede describirse mediante una función de densidad de probabilidad , que asigna probabilidades a intervalos; en particular, cada punto individual debe tener necesariamente probabilidad cero para una variable aleatoria absolutamente continua. No todas las variables aleatorias continuas son absolutamente continuas. ^{[ 8 ]}

Cualquier variable aleatoria puede describirse mediante su función de distribución acumulativa , que describe la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a un valor determinado.

El término "variable aleatoria" en estadística se limita tradicionalmente al caso de valores reales ( ⁠${\displaystyle E=\mathbb {R} }$⁠ ). En este caso, la estructura de los números reales permite definir cantidades como el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria, su función de distribución acumulativa y los momentos de su distribución.

Sin embargo, la definición anterior es válida para cualquier espacio mensurable.${\displaystyle E}$de valores. Por lo tanto, se pueden considerar elementos aleatorios de otros conjuntos.${\displaystyle E}$, tales como valores booleanos aleatorios , valores categóricos , números complejos , vectores , matrices , secuencias , árboles , conjuntos , formas , variedades y funciones . Entonces uno puede referirse específicamente a una variable aleatoria de tipo${\displaystyle E}$, o un${\displaystyle E}$variable aleatoria con valor .

Este concepto más general de un elemento aleatorio es particularmente útil en disciplinas como la teoría de grafos , el aprendizaje automático , el procesamiento del lenguaje natural y otros campos de las matemáticas discretas y la informática , donde a menudo se está interesado en modelar la variación aleatoria de estructuras de datos no numéricas . En algunos casos, no obstante, es conveniente representar cada elemento de${\displaystyle E}$, utilizando uno o más números reales. En este caso, un elemento aleatorio puede representarse opcionalmente como un vector de variables aleatorias de valor real (todas definidas en el mismo espacio de probabilidad subyacente).${\displaystyle \Omega }$, lo que permite que las diferentes variables aleatorias covarien ). Por ejemplo:

• Una palabra aleatoria puede representarse como un entero aleatorio que sirve como índice en el vocabulario de palabras posibles. Alternativamente, puede representarse como un vector indicador aleatorio, cuya longitud es igual al tamaño del vocabulario, donde los únicos valores de probabilidad positiva son${\displaystyle (1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )}$,${\displaystyle (0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )}$,${\displaystyle (0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )}$y la posición del 1 indica la palabra.
• Una frase aleatoria de longitud determinada${\displaystyle N}$puede representarse como un vector de${\displaystyle N}$palabras aleatorias.
• Un gráfico aleatorio en${\displaystyle N}$Los vértices dados pueden representarse como un${\displaystyle N\times N}$matriz de variables aleatorias, cuyos valores especifican la matriz de adyacencia del grafo aleatorio.
• Una función aleatoria${\displaystyle F}$puede representarse como una colección de variables aleatorias${\displaystyle F(x)}$, dando los valores de la función en los distintos puntos${\displaystyle x}$en el dominio de la función. El${\displaystyle F(x)}$son variables aleatorias ordinarias de valor real siempre que la función sea de valor real. Por ejemplo, un proceso estocástico es una función aleatoria del tiempo, un vector aleatorio es una función aleatoria de algún conjunto de índices como${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$y un campo aleatorio es una función aleatoria en cualquier conjunto (normalmente tiempo, espacio o un conjunto discreto).

Consideremos un experimento en el que se elige a una persona al azar. Un ejemplo de variable aleatoria podría ser la altura de la persona. Matemáticamente, la variable aleatoria se interpreta como una función que relaciona a la persona con su altura. A la variable aleatoria se le asocia una distribución de probabilidad que permite calcular la probabilidad de que la altura se encuentre dentro de cualquier subconjunto de valores posibles, como la probabilidad de que la altura esté entre 180 y 190  cm, o la probabilidad de que la altura sea menor de 150 cm o mayor de 200  cm.

Otra variable aleatoria puede ser el número de hijos de una persona; esta es una variable aleatoria discreta con valores enteros no negativos. Permite el cálculo de probabilidades para valores enteros individuales (la función de masa de probabilidad [FMP]) o para conjuntos de valores, incluidos conjuntos infinitos. Por ejemplo, el evento de interés puede ser "un número par de hijos". Para conjuntos de eventos finitos e infinitos, sus probabilidades se pueden encontrar sumando las FMP de los elementos; es decir, la probabilidad de un número par de hijos es la suma infinita .${\displaystyle \operatorname {PMF} (0)+\operatorname {PMF} (2)+\operatorname {PMF} (4)+\cdots }$.​

En ejemplos como estos, el espacio muestral suele omitirse, ya que es matemáticamente difícil de describir, y los posibles valores de las variables aleatorias se tratan entonces como un espacio muestral. Pero cuando dos variables aleatorias se miden en el mismo espacio muestral de resultados, como la altura y el número de hijos calculados a partir de las mismas personas elegidas al azar, es más fácil rastrear su relación si se reconoce que tanto la altura como el número de hijos provienen de la misma persona, por ejemplo, para poder plantear preguntas sobre si dichas variables aleatorias están correlacionadas o no.

Si${\estilo de texto \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$son conjuntos contables de números reales,${\textstyle b_{n}>0}$y​${\displaystyle \textstyle \sum _ {n}b_ {n} = 1}$, entonces${\textstyle F=\sum _{n}b_{n}\delta _{a_{n}}(x)}$es una función de distribución discreta. Aquí${\displaystyle \delta _{t}(x)=0}$para​${\displaystyle x<t}$,​​${\displaystyle \delta _{t}(x)=1}$para​​${\displaystyle x\geq t}$⁠ . Tomando como ejemplo una enumeración de todos los números racionales como ⁠${\displaystyle \{a_{n}\}}$⁠ , se obtiene una función discreta que no es necesariamente una función escalonada ( constante por partes ).

Tirada de dados

_{También se} puede usar una variable aleatoria para describir el proceso de lanzar dados y los posibles resultados. La representación más obvia para el caso de dos dados es tomar el conjunto de pares de números n₁ y n₂ del conjunto { ₁ , 2, 3, 4, 5, 6} (que representan los números de los dos dados) como el espacio muestral. El número total obtenido (la suma de los números de cada par) es entonces una variable aleatoria X dada por la función que asigna al par la suma: $${\displaystyle X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}}$$ y (si los dados son justos ) tiene una función de probabilidad f _X dada por: $${\displaystyle f_{X}(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ para }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}$$

Formalmente, una variable aleatoria continua es una variable aleatoria cuya función de distribución acumulativa es continua en todas partes. ^{[ 10 ]} No hay " brechas ", que corresponderían a números que tienen una probabilidad finita de ocurrir . En cambio, las variables aleatorias continuas casi nunca toman un valor exacto prescrito c (formalmente,${\textstyle \forall c\in \mathbb {R}$ :\;\Pr(X=c)=0} ) pero hay una probabilidad positiva de que su valor se encuentre en intervalos particulares que pueden ser arbitrariamente pequeños . Las variables aleatorias continuas suelen admitir funciones de densidad de probabilidad (PDF), que caracterizan su CDF y medidas de probabilidad ; tales distribuciones también se denominan absolutamente continuas ; pero algunas distribuciones continuas son singulares , o mezclas de una parte absolutamente continua y una parte singular.

Un ejemplo de variable aleatoria continua sería una basada en una ruleta que puede elegir una dirección horizontal. En ese caso, los valores que toma la variable aleatoria son direcciones. Podríamos representar estas direcciones como Norte, Oeste, Este, Sur, Sureste, etc. Sin embargo, suele ser más conveniente mapear el espacio muestral a una variable aleatoria que toma valores que son números reales. Esto se puede hacer, por ejemplo, mapeando una dirección a un rumbo en grados en el sentido de las agujas del reloj desde el Norte. La variable aleatoria toma entonces valores que son números reales del intervalo [0, 360), donde todas las partes del rango son "igualmente probables". En este caso, X = el ángulo girado. Cualquier número real tiene probabilidad cero de ser seleccionado, pero se puede asignar una probabilidad positiva a cualquier rango de valores. Por ejemplo, la probabilidad de elegir un número en [0 , 180 ] es 1/2 . En lugar de hablar de una función de masa de probabilidad, decimos que la densidad de probabilidad de X es 1/360. La probabilidad de un subconjunto de [0,  360) se puede calcular multiplicando la medida del conjunto por 1/360. En general, la probabilidad de un conjunto para una variable aleatoria continua dada se puede calcular integrando la función de densidad sobre dicho conjunto.

De manera más formal, dado cualquier intervalo${\textstyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$una variable aleatoria${\displaystyle X_{I}\sim \operatorname {U} (I)=\operatorname {U} [a,b]}$Se denomina " variable aleatoria uniforme continua " (CURV) si la probabilidad de que tome un valor en un subintervalo depende únicamente de la longitud del subintervalo. Esto implica que la probabilidad de${\displaystyle X_{I}}$caer en cualquier subintervalo${\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}$es proporcional a la longitud del subintervalo, es decir, si a ≤ c ≤ d ≤ b , se tiene $${\displaystyle \Pr \left(X_{I}\in [c,d]\right)={\frac {dc}{ba}}}$$ donde la última igualdad resulta del axioma de unitariedad de la probabilidad. La función de densidad de probabilidad de una CURV${\displaystyle X\sim \operatorname {U} [a,b]}$viene dada por la función indicadora de su intervalo de soporte normalizada por la longitud del intervalo:$${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over ba},&a\leq x\leq b\\0,&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$$De particular interés es la distribución uniforme en el intervalo unitario.${\displaystyle [0,1]}$Muestras de cualquier distribución de probabilidad deseada${\displaystyle \operatorname {D} }$se puede generar calculando la función cuantil de${\displaystyle \operatorname {D} }$sobre un número generado aleatoriamente y distribuido uniformemente en el intervalo unitario. Esto aprovecha las propiedades de las funciones de distribución acumulativa , que constituyen un marco unificador para todas las variables aleatorias.

Una variable aleatoria mixta es una variable aleatoria cuya función de distribución acumulativa no es ni discreta ni continua en todas partes . ^{[ 10 ]} Puede realizarse como una mezcla de una variable aleatoria discreta y una variable aleatoria continua; en cuyo caso la función de distribución acumulativa será el promedio ponderado de las funciones de distribución acumulativa de las variables componentes. ^{[ 10 ]}

Un ejemplo de variable aleatoria de tipo mixto se basaría en un experimento donde se lanza una moneda y se hace girar una ruleta solo si el resultado es cara. Si el resultado es cruz, X = −1; de lo contrario, X es el valor de la ruleta como en el ejemplo anterior. Hay una probabilidad de 1/2 de que esta variable aleatoria tenga el valor −1 . Otros rangos de valores tendrían la mitad de la probabilidad del ejemplo anterior.

En términos generales, toda distribución de probabilidad en la recta real es una mezcla de una parte discreta, una parte singular y una parte absolutamente continua; véase el teorema de descomposición de Lebesgue §  Refinamiento . La parte discreta se concentra en un conjunto numerable, pero este conjunto puede ser denso (como el conjunto de todos los números racionales).

En este caso, el espacio de observación es el conjunto de los números reales. Recordemos que ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$es el espacio de probabilidad. Para un espacio de observación real, la función${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$es una variable aleatoria de valor real si

${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .}$

Esta definición es un caso especial de lo anterior porque el conjunto${\displaystyle \{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}}$genera el σ-álgebra de Borel en el conjunto de los números reales, y basta con comprobar la mensurabilidad en cualquier conjunto generador. Aquí podemos demostrar la mensurabilidad en este conjunto generador utilizando el hecho de que${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])}$.​

Dejar${\displaystyle X}$Sea una variable aleatoria continua de valor real y sea ⁠${\displaystyle Y=X^{2}}$.​

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}$

Si​${\displaystyle y<0}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle P(X^{2}\leq y)=0}$⁠ , así que

${\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}$

Si​${\displaystyle y\geq 0}$, entonces

${\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}$

entonces

${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.}$

Suponer${\displaystyle X}$es una variable aleatoria con una distribución acumulativa

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}}$

dónde${\displaystyle \theta >0}$es un parámetro fijo. Consideremos la variable aleatoria${\displaystyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).}$Entonces,

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X\geq -\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,}$

La última expresión se puede calcular en términos de la distribución acumulativa de ⁠${\displaystyle X}$⁠ , así que

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=1-F_{X}(-\log(e^{y}-1))\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}\\[5pt]&=1-e^{-y\theta },\end{aligned}}}$

que es la función de distribución acumulativa (CDF) de una distribución exponencial .

Suponer${\displaystyle X}$es una variable aleatoria con distribución normal estándar , cuya densidad es

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

Consideremos la variable aleatoria ⁠${\displaystyle Y=X^{2}}$Podemos hallar la densidad utilizando la fórmula anterior para un cambio de variables :

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

En este caso el cambio no es monótono , porque cada valor de${\displaystyle Y}$tiene dos valores correspondientes de${\displaystyle X}$(uno positivo y uno negativo). Sin embargo, debido a la simetría, ambas mitades se transformarán de forma idéntica, es decir,

${\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

La transformación inversa es

${\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

y su derivado es

${\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

Entonces,

${\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

Esta es una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad .

Suponer${\displaystyle X}$es una variable aleatoria con distribución normal , cuya densidad es

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$

Consideremos la variable aleatoria${\displaystyle Y=X^{2}.}$Podemos hallar la densidad utilizando la fórmula anterior para un cambio de variables:

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

En este caso el cambio no es monótono , porque cada valor de${\displaystyle Y}$tiene dos valores correspondientes de${\displaystyle X}$(uno positivo y uno negativo). A diferencia del ejemplo anterior, en este caso no hay simetría y tenemos que calcular los dos términos distintos:

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g_{1}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{1}^{-1}(y)}{dy}}\right|+f_{X}(g_{2}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{2}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

La transformación inversa es

${\displaystyle x=g_{1,2}^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}}$

y su derivado es

${\displaystyle {\frac {dg_{1,2}^{-1}(y)}{dy}}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

Entonces,

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}(e^{-({\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}+e^{-(-{\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}).}$

Esta es una distribución chi-cuadrado no central con un grado de libertad .

Si el espacio muestral es un subconjunto de la recta real, las variables aleatorias X e Y tienen la misma distribución (denotado como ⁠${\displaystyle X~{\stackrel {d}{=}}~Y}$) si tienen las mismas funciones de distribución:

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\text{for all }}x.}$

Para que las variables aleatorias tengan la misma distribución, no es necesario que estén definidas en el mismo espacio de probabilidad. Dos variables aleatorias con funciones generadoras de momentos iguales tienen la misma distribución. Esto proporciona, por ejemplo, un método útil para comprobar la igualdad de ciertas funciones de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (IID) . Sin embargo, la función generadora de momentos solo existe para distribuciones que tienen una transformada de Laplace definida .

Dos variables aleatorias X e Y son casi seguramente iguales (denotado${\displaystyle X\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;Y}$) si, y solo si, la probabilidad de que sean diferentes es cero :

${\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=0.}$

A efectos prácticos en teoría de la probabilidad, esta noción de equivalencia es tan fuerte como la igualdad real. Se asocia a la siguiente distancia:

${\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\operatorname {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}$

donde "ess sup" representa el supremo esencial en el sentido de la teoría de la medida .

Finalmente, las dos variables aleatorias X e Y son iguales si son iguales como funciones en su espacio medible:

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{for all }}\omega .}$

Esta noción suele ser la menos útil en la teoría de la probabilidad porque, tanto en la práctica como en la teoría, el espacio de medidas subyacente del experimento rara vez se caracteriza explícitamente o incluso se puede caracterizar.

Dado que rara vez construimos explícitamente el espacio de probabilidad subyacente a una variable aleatoria, la diferencia entre estas nociones de equivalencia es algo sutil. En esencia, dos variables aleatorias consideradas de forma aislada son "prácticamente equivalentes" si tienen la misma distribución; pero una vez que las relacionamos con otras variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad, solo siguen siendo "prácticamente equivalentes" si son casi con seguridad iguales.

Por ejemplo, consideremos las variables aleatorias reales A , B , C y D, todas definidas en el mismo espacio de probabilidad. Supongamos que A y B son casi seguramente iguales (${\displaystyle A\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;B}$), pero A y C solo son iguales en distribución (${\displaystyle A~{\stackrel {d}{=}}~C}$). Entonces${\displaystyle A+D\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;B+D}$pero en general${\displaystyle A+D\neq C+D}$(ni siquiera en la distribución). De manera similar, tenemos que los valores esperados${\displaystyle \mathbb {E} (AD)=\mathbb {E} (BD)}$pero en general${\displaystyle \mathbb {E} (AD)\neq \mathbb {E} (CD)}$Por lo tanto, dos variables aleatorias que tienen la misma distribución (pero no son casi con seguridad iguales) pueden tener covarianzas diferentes con una tercera variable aleatoria.