Distribución chi-cuadrado no central

Dejar${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})}$sean k variables aleatorias independientes , distribuidas normalmente con medias${\displaystyle \mu _{i}}$y varianzas unitarias. Entonces la variable aleatoria

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$

Se distribuye según la distribución chi-cuadrado no central. Tiene dos parámetros:${\displaystyle k}$que especifica el número de grados de libertad (es decir, el número de${\displaystyle X_{i}}$), y${\displaystyle \lambda }$que está relacionado con la media de las variables aleatorias${\displaystyle X_{i}}$por:

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.}$

${\displaystyle \lambda }$a veces se le llama parámetro de no centralidad . Tenga en cuenta que algunas referencias definen${\displaystyle \lambda }$de otras maneras, como la mitad de la suma anterior, o su raíz cuadrada.

Esta distribución surge en la estadística multivariante como una derivada de la distribución normal multivariante . Mientras que la distribución chi-cuadrado central es la norma al cuadrado de un vector aleatorio con${\ Displaystyle N (0_ {k}, I_ {k})}$distribución (es decir, la distancia al cuadrado desde el origen a un punto tomado al azar de esa distribución), el no central${\displaystyle \chi ^{2}}$es la norma al cuadrado de un vector aleatorio con${\displaystyle N(\mu ,I_{k})}$distribución. Aquí${\displaystyle 0_{k}}$es un vector cero de longitud k ,${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\ldots ,\mu _{k})}$y${\displaystyle I_{k}}$es la matriz identidad de tamaño k .

La función de densidad de probabilidad (pdf) viene dada por

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x),}$

dónde${\displaystyle Y_{q}}$se distribuye como chi-cuadrado con${\displaystyle q}$grados de libertad.

A partir de esta representación, se observa que la distribución chi-cuadrado no central es una mezcla ponderada de Poisson de distribuciones chi-cuadrado centrales. Supongamos que una variable aleatoria J tiene una distribución de Poisson con media${\displaystyle \lambda /2}$y la distribución condicional de Z dado J  = i es chi-cuadrado con k + 2 i grados de libertad. Entonces, la distribución incondicional de Z es chi-cuadrado no central con k grados de libertad y parámetro de no centralidad   ${\displaystyle \lambda }$.

Alternativamente, el PDF se puede escribir como

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$

dónde${\displaystyle I_{\nu }(y)}$es una función de Bessel modificada de primer tipo dada por

${\displaystyle I_{\nu }(y)=(y/2)^{\nu }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (\nu +j+1)}}.}$

Utilizando la relación entre las funciones de Bessel y las funciones hipergeométricas , la pdf también se puede escribir como: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.}$

El caso k  =  0 ( cero grados de libertad ), en el que la distribución tiene un componente discreto en cero, es analizado por Torgersen (1972) y posteriormente por Siegel (1979). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La derivación de la función de densidad de probabilidad se realiza más fácilmente siguiendo los siguientes pasos:

1. Desde${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$Tienen varianzas unitarias, su distribución conjunta es esféricamente simétrica, salvo un desplazamiento de ubicación.
2. La simetría esférica implica entonces que la distribución de${\displaystyle X=X_{1}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$depende de los medios únicamente a través de la longitud al cuadrado,${\displaystyle \lambda =\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{k}^{2}}$Sin pérdida de generalidad, podemos, por lo tanto, tomar${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {\lambda }}}$y${\displaystyle \mu _{2}=\cdots =\mu _{k}=0}$.
3. Ahora deriva la densidad de${\displaystyle X=X_{1}^{2}}$(es decir, el caso k  =  1). Una simple transformación de variables aleatorias muestra que

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x,1,\lambda )&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(\phi ({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+\phi ({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh({\sqrt {\lambda x}}),\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \phi (\cdot )}$es la densidad normal estándar.

1. Expanda el término cosh en una serie de Taylor . Esto da la representación de la densidad ponderada por la distribución de Poisson, todavía para k  =  1. Los índices de las variables aleatorias chi-cuadrado en la serie anterior son 1  +  2i en este caso.
2. Finalmente, para el caso general. Hemos asumido, sin pérdida de generalidad, que${\displaystyle X_{2},\ldots ,X_{k}}$son normales estándar, y por lo tanto${\displaystyle X_{2}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$tiene una distribución chi-cuadrado central con ( k  −  1) grados de libertad, independiente de${\displaystyle X_{1}^{2}}$. Utilizando la representación de mezcla ponderada de Poisson para${\displaystyle X_{1}^{2}}$y el hecho de que la suma de variables aleatorias chi-cuadrado también sea un chi-cuadrado, completa el resultado. Los índices en la serie son (1  +  2 i )  +  ( k  −  1) = k + 2 i como se requería.   

La función generadora de momentos viene dada por

${\displaystyle M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}.}$

Los primeros momentos crudos son:

${\displaystyle \mu '_{1}=k+\lambda }$

${\displaystyle \mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda ).}$

Los primeros momentos clave son:

${\displaystyle \mu _{2}=2(k+2\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=8(k+3\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,}$

El n -ésimo cumulante es

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).\,}$

Por eso

${\displaystyle \mu '_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}}(k+j\lambda )\mu '_{n-j}.}$

Nuevamente, utilizando la relación entre las distribuciones chi-cuadrado centrales y no centrales, la función de distribución acumulada (cdf) se puede escribir como

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda /2}\;\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}Q(x;k+2j)}$

dónde${\displaystyle Q(x;k)\,}$es la función de distribución acumulativa de la distribución chi-cuadrado central con k grados de libertad que viene dada por

${\displaystyle Q(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}$

y dónde${\displaystyle \gamma (k,z)\,}$es la función gamma incompleta inferior .

La función Q de Marcum${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$También se puede utilizar para representar la función de distribución acumulada (cdf). ^{[ 5 ]}

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)}$

Cuando los grados de libertad k son un entero impar positivo, tenemos una expresión de forma cerrada para la función de distribución acumulativa complementaria dada por ^{[ 6 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x;2n+1,\lambda )&=1-Q_{n+1/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})\\&=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+e^{-(x+\lambda )/2}\sum _{m=1}^{n}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{m/2-1/4}I_{m-1/2}({\sqrt {\lambda x}})\right],\end{aligned}}}$

donde n es un entero no negativo, Q es la función Q gaussiana , e I es la función de Bessel modificada de primer tipo con orden semientero. La función de Bessel modificada de primer tipo con orden semientero en sí misma puede representarse como una suma finita en términos de funciones hiperbólicas .

En particular, para k = 1, tenemos

${\displaystyle P(x;1,\lambda )=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right].}$

Además, para k = 3, tenemos

${\displaystyle P(x;3,\lambda )=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh({\sqrt {\lambda x}})}{\sqrt {\lambda }}}e^{-(x+\lambda )/2}\right].}$

Sankaran (1963) analiza las transformaciones de la forma ${\displaystyle z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}}$. Analiza las expansiones de los cumulantes de${\displaystyle z}$hasta el término${\displaystyle O((k+\lambda )^{-4})}$y muestra que las siguientes opciones de${\displaystyle b}$producir resultados razonables:

• ${\displaystyle b=(k-1)/2}$hace que el segundo cumulante de${\displaystyle z}$aproximadamente independiente de${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle b=(k-1)/3}$hace el tercer cumulante de${\displaystyle z}$aproximadamente independiente de${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle b=(k-1)/4}$hace el cuarto cumulante de${\displaystyle z}$aproximadamente independiente de${\displaystyle \lambda }$

Además, una transformación más sencilla${\displaystyle z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}}$puede utilizarse como una transformación estabilizadora de la varianza que produce una variable aleatoria con media${\displaystyle (\lambda +(k-1)/2)^{1/2}}$y varianza${\displaystyle O((k+\lambda )^{-2})}$.

La utilidad de estas transformaciones puede verse obstaculizada por la necesidad de calcular la raíz cuadrada de números negativos.

Los intervalos de tolerancia de regresión normal bilateral se pueden obtener a partir de la distribución chi-cuadrado no central. ^{[ 12 ]} Esto permite calcular un intervalo estadístico dentro del cual, con cierto nivel de confianza, se encuentra una proporción específica de una población muestreada.