Distribución de probabilidad condicional

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución de probabilidad condicional es una distribución de probabilidad que describe la probabilidad de un resultado dada la ocurrencia de un evento particular. Dadas dos variables aleatorias distribuidas conjuntamente${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, la distribución de probabilidad condicional de${\displaystyle Y}$dado${\displaystyle X}$es la distribución de probabilidad de${\displaystyle Y}$cuando${\displaystyle X}$Se sabe que es un valor particular; en algunos casos, las probabilidades condicionales pueden expresarse como funciones que contienen el valor no especificado.${\displaystyle x}$de${\displaystyle X}$como parámetro. Cuando ambos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Se trata de variables categóricas ; para representar la probabilidad condicional, se suele utilizar una tabla de probabilidad condicional. La distribución condicional contrasta con la distribución marginal de una variable aleatoria, que es su distribución sin tener en cuenta el valor de la otra variable.

Si la distribución condicional de${\displaystyle Y}$dado${\displaystyle X}$Si es una distribución continua , su función de densidad de probabilidad se conoce como función de densidad condicional . ^{[ 1 ]} Las propiedades de una distribución condicional, como los momentos , a menudo se denominan con nombres correspondientes como media condicional y varianza condicional .

En términos más generales, se puede hablar de la distribución condicional de un subconjunto de un conjunto de más de dos variables; esta distribución condicional depende de los valores de todas las variables restantes, y si se incluye más de una variable en el subconjunto, entonces esta distribución condicional es la distribución conjunta condicional de las variables incluidas.

Para variables aleatorias discretas , la función de masa de probabilidad condicional de${\displaystyle Y}$dado${\displaystyle X=x}$se puede escribir de acuerdo con su definición como:

Debido a la ocurrencia de${\displaystyle P(X=x)}$En el denominador, esto se define solo para valores distintos de cero (por lo tanto, estrictamente positivos).${\displaystyle P(X=x).}$

La relación con la distribución de probabilidad de${\displaystyle X}$dado${\displaystyle Y}$es:

${\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y).}$

De manera similar para variables aleatorias continuas , la función de densidad de probabilidad condicional de${\displaystyle Y}$dada la ocurrencia del valor${\displaystyle x}$de${\displaystyle X}$se puede escribir como ^{[ 2 ]}

dónde${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$da la densidad conjunta de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, mientras${\displaystyle f_{X}(x)}$da la densidad marginal para${\displaystyle X}$. También en este caso es necesario que${\displaystyle f_{X}(x)>0}$.

La relación con la distribución de probabilidad de${\displaystyle X}$dado${\displaystyle Y}$está dado por:

${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x\mid y)f_{Y}(y).}$

El concepto de distribución condicional de una variable aleatoria continua no es tan intuitivo como podría parecer: la paradoja de Borel demuestra que las funciones de densidad de probabilidad condicionales no tienen por qué ser invariantes bajo transformaciones de coordenadas.

Ejemplo

El gráfico muestra una densidad conjunta normal bivariada para variables aleatorias.${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$. Para ver la distribución de${\displaystyle Y}$condicionado a${\displaystyle X=70}$, uno puede visualizar primero la línea${\displaystyle X=70}$en el${\displaystyle X,Y}$plano , y luego visualiza el plano que contiene esa línea y es perpendicular a la${\displaystyle X,Y}$plano. La intersección de ese plano con la densidad normal conjunta, una vez reescalada para dar un área unitaria bajo la intersección, es la densidad condicional relevante de${\displaystyle Y}$.

${\displaystyle Y\mid X=70\ \sim \ {\mathcal {N}}\left(\mu _{Y}+{\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}\rho (70-\mu _{X}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{Y}^{2}\right).}$

variables aleatorias${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$son independientes si y solo si la distribución condicional de${\displaystyle Y}$dado${\displaystyle X}$es, para todas las realizaciones posibles de${\displaystyle X}$, igual a la distribución incondicional de${\displaystyle Y}$Para variables aleatorias discretas esto significa${\displaystyle P(Y=y|X=x)=P(Y=y)}$por todas las posibles${\displaystyle y}$y${\displaystyle x}$con${\displaystyle P(X=x)>0}$Para variables aleatorias continuas${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, teniendo una función de densidad conjunta , significa${\displaystyle f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)}$por todas las posibles${\displaystyle y}$y${\displaystyle x}$con${\displaystyle f_{X}(x)>0}$.

Visto como una función de${\displaystyle y}$para dado${\displaystyle x}$,${\displaystyle P(Y=y|X=x)}$es una función de masa de probabilidad y por lo tanto la suma sobre todos${\displaystyle y}$(o integral si se trata de una densidad de probabilidad condicional) es 1. Vista como una función de${\displaystyle x}$para dado${\displaystyle y}$, es una función de verosimilitud , de modo que la suma (o integral) sobre todos${\displaystyle x}$no tiene por qué ser 1.

Además, una distribución marginal de una distribución conjunta puede expresarse como la esperanza de la distribución condicional correspondiente. Por ejemplo,${\displaystyle p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(x\ |\ Y)]}$.

Dejar${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$sea ​​un espacio de probabilidad ,${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$a${\displaystyle \sigma }$-campo en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Dado${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, el teorema de Radon-Nikodym implica que hay ^{[ 3 ]} un${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-variable aleatoria medible${\displaystyle P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R} }$, llamada probabilidad condicional , tal que$${\displaystyle \int _{G}P(A\mid {\mathcal {G}})(\omega )dP(\omega )=P(A\cap G)}$$por cada${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$y dicha variable aleatoria está definida de forma única salvo conjuntos de probabilidad cero. Una probabilidad condicional se denomina regular si${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {G}})(\omega )}$es una medida de probabilidad en${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}})}$a pesar de${\displaystyle \omega \in \Omega }$ae

Casos especiales:

• Para el álgebra sigma trivial${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{\emptyset,\Omega \}}$, la probabilidad condicional es la función constante${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).}$
• Si${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}}$, entonces${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}}$, la función indicadora (definida a continuación ).

Dejar${\displaystyle X:\Omega \to E}$ser un${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$variable aleatoria con valor . Para cada${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$, definir$${\displaystyle \mu _{X\,|\,{\mathcal {G}}}(B\,|\,{\mathcal {G}})=\mathrm {P} (X^{-1}(B)\,|\,{\mathcal {G}}).}$$Para cualquier${\displaystyle \omega \in \Omega }$, la función${\displaystyle \mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} }$se denomina distribución de probabilidad condicional de${\displaystyle X}$dado${\displaystyle {\mathcal {G}}}$. Si es una medida de probabilidad en${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$, entonces se llama regular .

Para una variable aleatoria de valor real (con respecto a la ecuación de Borel)${\displaystyle \sigma }$-campo${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$), toda distribución de probabilidad condicional es regular. ^{[ 4 ]} En este caso,${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu _{X\mid {\mathcal {G}}}(dx,\cdot )}$casi con seguridad .

• Condicionamiento (probabilidad)
• Probabilidad condicional
• Probabilidad condicional regular
• Teorema de Bayes