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Articulo de referencia

Expectativa condicional

En teoría de la probabilidad , la esperanza condicional , el valor esperado condicional o la media condicional de una variable aleatoria es su valor esperado evaluado con respec...

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En teoría de la probabilidad , la esperanza condicional , el valor esperado condicional o la media condicional de una variable aleatoria es su valor esperado evaluado con respecto a la distribución de probabilidad condicional . Si la variable aleatoria solo puede tomar un número finito de valores, las "condiciones" establecen que la variable solo puede tomar un subconjunto de esos valores. De manera más formal, cuando la variable aleatoria se define sobre un espacio de probabilidad discreto , las "condiciones" constituyen una partición de dicho espacio.

Dependiendo del contexto, la esperanza condicional puede ser una variable aleatoria o una función. La variable aleatoria se denotami(incógnita∣Y){\displaystyle E(X\mid Y)}de forma análoga a la probabilidad condicional . La forma de la función se denota comomi(incógnita∣Y=y){\displaystyle E(X\mid Y=y)}o un símbolo de función independiente como por ejemploF(y){\displaystyle f(y)}se introduce con el significadomi(incógnita∣Y)=F(Y){\displaystyle E(X\mid Y)=f(Y)}.

Ejemplos

Ejemplo 1: Lanzamiento de dados

Consideremos el lanzamiento de un dado justo y sea A = 1 si el número es par (es decir, 2, 4 o 6) y A = 0 en caso contrario. Además, sea B = 1 si el número es primo (es decir, 2, 3 o 5) y B = 0 en caso contrario.

La expectativa incondicional de A esmi[A]=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2{\displaystyle E[A]=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2}, pero la esperanza de A condicionada a B = 1 (es decir, condicionada a que el lanzamiento del dado sea 2, 3 o 5) esmi[A∣B=1]=(1+0+0)/3=1/3{\displaystyle E[A\mid B=1]=(1+0+0)/3=1/3}y la esperanza de A condicionada a B = 0 (es decir, condicionada a que el lanzamiento del dado sea 1, 4 o 6) esmi[A∣B=0]=(0+1+1)/3=2/3{\displaystyle E[A\mid B=0]=(0+1+1)/3=2/3}. Asimismo, la esperanza de B condicionada a A = 1 esmi[B∣A=1]=(1+0+0)/3=1/3{\displaystyle E[B\mid A=1]=(1+0+0)/3=1/3}y la esperanza de B condicionada a A = 0 esmi[B∣A=0]=(0+1+1)/3=2/3{\displaystyle E[B\mid A=0]=(0+1+1)/3=2/3}.

Ejemplo 2: Datos de precipitación

Supongamos que tenemos datos de precipitación diaria (mm de lluvia por día) recopilados por una estación meteorológica durante un período de diez años (3652 días) desde el 1 de enero de 1990 hasta el 31 de diciembre de 1999. La expectativa incondicional de precipitación para un día no especificado es el promedio de las cantidades de precipitación de esos 3652 días. La expectativa condicional de precipitación para un día no especificado que se sabe que es (condicionado a ser) en el mes de marzo, es el promedio de la precipitación diaria durante los 310 días del período de diez años que caen en marzo. De manera similar, la expectativa condicional de precipitación condicionada a los días con fecha del 2 de marzo es el promedio de las cantidades de precipitación que ocurrieron en los diez días con esa fecha específica.

Historia

El concepto relacionado de probabilidad condicional se remonta al menos a Laplace , quien calculó distribuciones condicionales. Fue Andrey Kolmogorov quien, en 1933, lo formalizó utilizando el teorema de Radon-Nikodym . [ 1 ] En los trabajos de Paul Halmos [ 2 ] y Joseph L. Doob [ 3 ] de 1953, la esperanza condicional se generalizó a su definición moderna utilizando sub -σ -álgebras . [ 4 ]

Definiciones

Condicionamiento en un evento

Si A es un evento enF{\displaystyle {\mathcal {F}}}con probabilidad distinta de cero, y X es una variable aleatoria discreta , la esperanza condicional de X dado A es

mi⁡(incógnita∣A)=∑incógnitaincógnitaPAG(incógnita=incógnita∣A)=∑incógnitaincógnitaPAG({incógnita=incógnita}∩A)PAG(A){\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid A)&=\sum _{x}xP(X=x\mid A)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(\{X=x\}\cap A)}{P(A)}}\end{aligned}}}

donde la suma se toma sobre todos los resultados posibles de X.

SiPAG(A)=0{\displaystyle P(A)=0}, la esperanza condicional no está definida debido a la división por cero .

Variables aleatorias discretas

Si X e Y son variables aleatorias discretas , la esperanza condicional de X dado Y es

mi⁡(incógnita∣Y=y)=∑incógnitaincógnitaPAG(incógnita=incógnita∣Y=y)=∑incógnitaincógnitaPAG(incógnita=incógnita,Y=y)PAG(Y=y){\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\sum _{x}xP(X=x\mid Y=y)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}\end{aligned}}}

dóndePAG(incógnita=incógnita,Y=y){\displaystyle P(X=x,Y=y)}es la función de masa de probabilidad conjunta de X e Y. La suma se toma sobre todos los resultados posibles de X.

Como se indicó anteriormente, la expresión no está definida siPAG(Y=y)=0{\displaystyle P(Y=y)=0}.

Condicionar una variable aleatoria discreta es lo mismo que condicionar el evento correspondiente:

mi⁡(incógnita∣Y=y)=mi⁡(incógnita∣A){\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)=\operatorname {E} (X\mid A)}

donde A es el conjunto{Y=y}{\displaystyle \{Y=y\}}.

variables aleatorias continuas

Dejarincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}sean variables aleatorias continuas con densidad conjunta Fincógnita,Y(incógnita,y),{\displaystyle f_{X,Y}(x,y),}Y{\displaystyle Y}densidad FY(y),{\displaystyle f_{Y}(y),} y densidad condicionalFincógnita∣Y(incógnita∣y)=Fincógnita,Y(incógnita,y)FY(y){\displaystyle \textstyle f_{X\mid Y}(x\mid y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}}deincógnita{\displaystyle X}dado el eventoY=y.{\displaystyle Y=y.} La expectativa condicional deincógnita{\displaystyle X}dadoY=y{\displaystyle Y=y}es

mi⁡(incógnita∣Y=y)=∫−∞∞incógnitaFincógnita∣Y(incógnita∣y)dincógnita=1FY(y)∫−∞∞incógnitaFincógnita,Y(incógnita,y)dincógnita.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{f_{Y}(y)}}\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}

Cuando el denominador es cero, la expresión no está definida.

Condicionar sobre una variable aleatoria continua no es lo mismo que condicionar sobre el evento.{Y=y}{\displaystyle \{Y=y\}}como en el caso discreto. Para más información, véase Condicionamiento a un evento de probabilidad cero . No respetar esta distinción puede llevar a conclusiones contradictorias, como ilustra la paradoja de Borel-Kolmogorov .

Variables aleatorias L 2

Se supone que todas las variables aleatorias en esta sección están enL2{\displaystyle L^{2}}, es decir, integrable al cuadrado . En su máxima generalidad, la esperanza condicional se desarrolla sin esta suposición, véase más adelante en Esperanza condicional con respecto a una sub- σ -álgebra . ElL2{\displaystyle L^{2}}Sin embargo, la teoría se considera más intuitiva [ 5 ] y admite generalizaciones importantes . En el contexto deL2{\displaystyle L^{2}}Variables aleatorias, la esperanza condicional también se denomina regresión .

En lo que sigue, dejemos(Ω,F,PAG){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}sea ​​un espacio de probabilidad, yincógnita:Ω→R{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }en L2{\displaystyle L^{2}}con significaμincógnita{\displaystyle \mu _{X}}y varianzaσincógnita2{\displaystyle \sigma _{X}^{2}}. La expectativaμincógnita{\displaystyle \mu _{X}}minimiza el error cuadrático medio :

minincógnita∈Rmi⁡((incógnita−incógnita)2)=mi⁡((incógnita−μincógnita)2)=σincógnita2.{\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\operatorname {E} \left((X-x)^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-\mu _{X})^{2}\right)=\sigma _{X}^{2}.}

La esperanza condicional de X se define de forma análoga, excepto que en lugar de un solo número μincógnita{\displaystyle \mu _{X}}, el resultado será una funciónmiincógnita(y){\displaystyle e_{X}(y)}. DejarY:Ω→Rnorte{\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}sea ​​un vector aleatorio . La esperanza condicionalmiincógnita:Rnorte→R{\displaystyle e_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }es una función medible tal que

mingramo mensurable mi⁡((incógnita−gramo(Y))2)=mi⁡((incógnita−miincógnita(Y))2).{\displaystyle \min _{g{\text{ measurable }}}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-e_{X}(Y))^{2}\right).}

Tenga en cuenta que, a diferencia deμincógnita{\displaystyle \mu _{X}}, la expectativa condicionalmiincógnita{\displaystyle e_{X}}Generalmente no es único: puede haber múltiples minimizadores del error cuadrático medio.

Unicidad

Ejemplo 1 : Consideremos el caso en que Y es la variable aleatoria constante que siempre es 1. Entonces, el error cuadrático medio se minimiza mediante cualquier función de la forma

miincógnita(y)={μincógnitasi y=1,cualquier númerode lo contrario.{\displaystyle e_{X}(y)={\begin{cases}\mu _{X}&{\text{if }}y=1,\\{\text{any number}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}

Ejemplo 2 : Consideremos el caso en que Y es un vector aleatorio bidimensional.(incógnita,2incógnita){\displaystyle (X,2X)}Entonces claramente

mi⁡(incógnita∣Y)=incógnita{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)=X}

pero en términos de funciones se puede expresar comomiincógnita(y1,y2)=3y1−y2{\displaystyle e_{X}(y_{1},y_{2})=3y_{1}-y_{2}}omiincógnita′(y1,y2)=y2−y1{\displaystyle e'_{X}(y_{1},y_{2})=y_{2}-y_{1}}o de infinitas otras maneras. En el contexto de la regresión lineal , esta falta de unicidad se denomina multicolinealidad .

La expectativa condicional es única salvo un conjunto de medida cero enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. La medida utilizada es la medida de avance inducida por Y .

En el primer ejemplo, la medida pushforward es una distribución de Dirac en 1. En el segundo se concentra en la "diagonal".{y:y2=2y1}{\displaystyle \{y:y_{2}=2y_{1}\}}, de modo que cualquier conjunto que no lo interseque tiene medida 0.

Existencia

La existencia de un minimizador paramingramomi⁡((incógnita−gramo(Y))2){\displaystyle \min _{g}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)}no es trivial. Se puede demostrar que

METRO:={gramo(Y):gramo es medible y mi⁡(gramo(Y)2)<∞}=L2(Ω,σ(Y)){\displaystyle M:=\{g(Y):g{\text{ is measurable and }}\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}=L^{2}(\Omega ,\sigma (Y))}

es un subespacio cerrado del espacio de HilbertL2(Ω){\displaystyle L^{2}(\Omega )}. [ 6 ] Por el teorema de proyección de Hilbert , la condición necesaria y suficiente para miincógnita{\displaystyle e_{X}}ser un minimizador es que para todosF(Y){\displaystyle f(Y)}en M tenemos

⟨incógnita−miincógnita(Y),F(Y)⟩=0.{\displaystyle \langle X-e_{X}(Y),f(Y)\rangle =0.}

En otras palabras, esta ecuación dice que el residuoincógnita−miincógnita(Y){\displaystyle X-e_{X}(Y)}es ortogonal al espacio M de todas las funciones de Y. Esta condición de ortogonalidad, aplicada a las funciones indicadorasF(Y)=1Y∈H{\displaystyle f(Y)=1_{Y\in H}}, se utiliza a continuación para extender la expectativa condicional al caso en que X e Y no necesariamente están enL2{\displaystyle L^{2}}.

Conexiones con la regresión

La esperanza condicional se suele aproximar en matemáticas aplicadas y estadística debido a las dificultades para calcularla analíticamente y para la interpolación. [ 7 ]

El subespacio de Hilbert

METRO={gramo(Y):mi⁡(gramo(Y)2)<∞}{\displaystyle M=\{g(Y):\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}}

La definición anterior se reemplaza con subconjuntos de la misma al restringir la forma funcional de g , en lugar de permitir cualquier función medible. Ejemplos de esto son la regresión de árboles de decisión cuando se requiere que g sea una función simple , la regresión lineal cuando se requiere que g sea afín , etc.

Estas generalizaciones de la esperanza condicional conllevan el riesgo de que muchas de sus propiedades dejen de cumplirse. Por ejemplo, sea M el espacio de todas las funciones lineales de Y y seamiMETRO{\displaystyle {\mathcal {E}}_{M}}denota esta expectativa condicional generalizada/L2{\displaystyle L^{2}}proyección. SiMETRO{\displaystyle M}no contiene las funciones constantes , la propiedad de torremi⁡(miMETRO(incógnita))=mi⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {E} ({\mathcal {E}}_{M}(X))=\operatorname {E} (X)} no se mantendrá.

Un caso especial importante se da cuando X e Y siguen una distribución normal conjunta. En este caso, se puede demostrar que la esperanza condicional es equivalente a la regresión lineal:

miincógnita(Y)=α0+∑iαiYi{\displaystyle e_{X}(Y)=\alpha _{0}+\sum _{i}\alpha _{i}Y_{i}}

para coeficientes{αi}i=0..norte{\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=0..n}}descrito en Distribución normal multivariada#Distribuciones condicionales .

Expectativa condicional con respecto a un subálgebra σ

Esperanza condicional con respecto a un σ -álgebra: en este ejemplo el espacio de probabilidad(Ω,F,PAG){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}es el intervalo [0,1] con la medida de Lebesgue . Definimos las siguientes σ -álgebras:A=F{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {F}}};B{\displaystyle {\mathcal {B}}}es el σ - álgebra generada por los intervalos con puntos extremos 0 , 1/4 , 1/2 , 3/4 , 1 ; ydo{\displaystyle {\mathcal {C}}}es el álgebra σ generada por los intervalos con puntos finales 0, 1/2 , 1. Aquí la esperanza condicional es efectivamente el promedio sobre los conjuntos mínimos del álgebra σ .

Considere lo siguiente:

  • (Ω,F,PAG){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}es un espacio de probabilidad .
  • incógnita:Ω→Rnorte{\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}es una variable aleatoria en ese espacio de probabilidad con esperanza finita.
  • H⊆F{\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {F}}}es una sub- σ -álgebra deF{\displaystyle {\mathcal {F}}}.

DesdeH{\displaystyle {\mathcal {H}}}es un subσ{\displaystyle \sigma }-álgebra deF{\displaystyle {\mathcal {F}}}, la funciónincógnita:Ω→Rnorte{\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}Por lo general no lo esH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-medible, por lo tanto la existencia de las integrales de la forma∫HincógnitadPAG|H{\textstyle \int _{H}X\,dP|_{\mathcal {H}}}, dóndeH∈H{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}yPAG|H{\displaystyle P|_{\mathcal {H}}}es la restricción dePAG{\displaystyle P}aH{\displaystyle {\mathcal {H}}}no se puede afirmar en general. Sin embargo, los promedios locales∫HincógnitadPAG{\textstyle \int _{H}X\,dP}se puede recuperar en(Ω,H,PAG|H){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {H}},P|_{\mathcal {H}})}con la ayuda de la expectativa condicional.

Una esperanza condicional de X dadaH{\displaystyle {\mathcal {H}}}, denotado comomi⁡(incógnita∣H){\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}, es algunoH{\displaystyle {\mathcal {H}}}- función medibleΩ→Rnorte{\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}que satisface:

∫Hmi⁡(incógnita∣H)dPAG=∫HincógnitadPAG{\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P}

para cadaH∈H{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}. [ 8 ]

Como se señala en elL2{\displaystyle L^{2}}discusión, esta condición es equivalente a decir que el residuoincógnita−mi⁡(incógnita∣H){\displaystyle X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}es ortogonal a las funciones indicadoras1H{\displaystyle 1_{H}}:

⟨incógnita−mi⁡(incógnita∣H),1H⟩=0{\displaystyle \langle X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}),1_{H}\rangle =0}

Existencia

La existencia demi⁡(incógnita∣H){\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}se puede establecer observando queμincógnita:F↦∫FincógnitadPAG{\textstyle \mu ^{X}\colon F\mapsto \int _{F}X\,\mathrm {d} P}paraF∈F{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}es una medida finita en(Ω,F){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}que es absolutamente continuo con respecto a PAG{\displaystyle P}. Sih{\displaystyle h}es la inyección natural deH{\displaystyle {\mathcal {H}}}aF{\displaystyle {\mathcal {F}}}, entoncesμincógnita∘h=μincógnita|H{\displaystyle \mu ^{X}\circ h=\mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}es la restricción deμincógnita{\displaystyle \mu ^{X}}aH{\displaystyle {\mathcal {H}}}yPAG∘h=PAG|H{\displaystyle P\circ h=P|_{\mathcal {H}}}es la restricción dePAG{\displaystyle P}aH{\displaystyle {\mathcal {H}}}. Además,μincógnita∘h{\displaystyle \mu ^{X}\circ h}es absolutamente continuo con respecto aPAG∘h{\displaystyle P\circ h}, debido a la condición

PAG∘h(H)=0⟺PAG(h(H))=0{\displaystyle P\circ h(H)=0\iff P(h(H))=0}

implica

μincógnita(h(H))=0⟺μincógnita∘h(H)=0.{\displaystyle \mu ^{X}(h(H))=0\iff \mu ^{X}\circ h(H)=0.}

Por lo tanto, tenemos

mi⁡(incógnita∣H)=dμincógnita|HdPAG|H=d(μincógnita∘h)d(PAG∘h),{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})={\frac {\mathrm {d} \mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} P|_{\mathcal {H}}}}={\frac {\mathrm {d} (\mu ^{X}\circ h)}{\mathrm {d} (P\circ h)}},}

donde las derivadas son derivadas de Radon-Nikodym de medidas.

Esperanza condicional con respecto a una variable aleatoria

Considere, además de lo anterior,

  • Un espacio mensurable(U,Σ){\displaystyle (U,\Sigma )}, y
  • Una variable aleatoriaY:Ω→U{\displaystyle Y\colon \Omega \to U}.

La esperanza condicional de X dado Y se define aplicando la construcción anterior sobre el σ -álgebra generada por Y :

mi⁡[incógnita∣Y]:=mi⁡[incógnita∣σ(Y)].{\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)].}

Según el lema de Doob-Dynkin , existe una función medible.miincógnita:U→Rnorte{\displaystyle e_{X}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}de tal manera que

mi⁡[incógnita∣Y]=miincógnita(Y).{\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]=e_{X}(Y).}

Discusión

  • Esta no es una definición constructiva; simplemente se nos da la propiedad requerida que debe satisfacer una expectativa condicional.
    • La definición demi⁡(incógnita∣H){\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}puede parecerse a la demi⁡(incógnita∣H){\displaystyle \operatorname {E} (X\mid H)}para un eventoH{\displaystyle H}pero estos son objetos muy diferentes. El primero es unH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-función medibleΩ→Rnorte{\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}, mientras que este último es un elemento deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ymi⁡(incógnita∣H) PAG(H)=∫HincógnitadPAG=∫Hmi⁡(incógnita∣H)dPAG{\displaystyle \operatorname {E} (X\mid H)\ P(H)=\int _{H}X\,\mathrm {d} P=\int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P}paraH∈H{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}.
    • Se puede demostrar que la unicidad es casi segura : es decir, las versiones de la misma expectativa condicional solo diferirán en un conjunto de probabilidad cero .
      • A menudo, a uno le gustaría pensar enmi⁡(incógnita∣H){\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}como medida sobreΩ{\displaystyle \Omega }para H fijo. Por ejemplo, es extremadamente útil afirmar que∑imi⁡(incógnitai∣H){\displaystyle \sum _{i}\operatorname {E} (X_{i}\mid {\mathcal {H}})}es aditivo para casi todos los H. Sin embargo, esto no se deduce inmediatamente porque cadami⁡(incógnitai∣H){\displaystyle \operatorname {E} (X_{i}\mid {\mathcal {H}})}puede tener un conjunto nulo diferente. Debido a que las uniones numerables de conjuntos nulos son conjuntos nulos, para un conjunto numerable deincógnitai{\displaystyle X_{i}}, uno puede elegir "versiones" de cada unomi⁡(incógnitai∣H){\displaystyle \operatorname {E} (X_{i}\mid {\mathcal {H}})}con conjuntos nulos alineados para mantener la aditividad para casi todos los H. Sin embargo, para alinear los "conjuntos nulos de disfunción" demi⁡(incógnitai∣H){\displaystyle \operatorname {E} (X_{i}\mid {\mathcal {H}})}sobre todas las posiblesincógnitai{\displaystyle X_{i}}y por lo tanto tratarmi⁡(incógnita∣H=H){\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}=H)}como una medida casi seguramente única sobreΩ{\displaystyle \Omega }(una "medida de probabilidad regular"), necesitamos condiciones de regularidad adicionales. Intuitivamente, para hacer esto, necesitamos poder aproximar todas las posiblesincógnitai{\displaystyle X_{i}}con un conjunto contable de ellos. Esto corresponde directamente a las condiciones para crear una medida de probabilidad regular, que son la separabilidad y la completitud.
  • El álgebra σH{\displaystyle {\mathcal {H}}}controla la "granularidad" del condicionamiento. Una expectativa condicionalmi(incógnita∣H){\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})}sobre un álgebra σ más fina (más grande)H{\displaystyle {\mathcal {H}}}conserva información sobre las probabilidades de una clase más amplia de eventos. Una esperanza condicional sobre un álgebra σ más gruesa (más pequeña) promedia sobre más eventos.

Probabilidad condicional

Para un subconjunto de Borel B enB(Rnorte){\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}Se puede considerar la colección de variables aleatorias.

κH(ω,B):=mi⁡(1incógnita∈B|H)(ω).{\displaystyle \kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,B):=\operatorname {E} (1_{X\in B}|{\mathcal {H}})(\omega ).}

Se puede demostrar que forman un núcleo de Markov , es decir, para casi todosω{\displaystyle \omega }, κH(ω,−){\displaystyle \kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,-)}es una medida de probabilidad. [ 9 ]

La ley del estadístico inconsciente es entonces

mi⁡[F(incógnita)∣H]=∫F(incógnita)κH(−,dincógnita),{\displaystyle \operatorname {E} [f(X)\mid {\mathcal {H}}]=\int f(x)\kappa _{\mathcal {H}}(-,\mathrm {d} x),}

Esto demuestra que las expectativas condicionales son, al igual que sus contrapartes incondicionales, integraciones, con respecto a una medida condicional.

Definición general

En términos generales, consideremos lo siguiente:

  • Un espacio de probabilidad(Ω,A,PAG){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}.
  • Un espacio Banach(mi,‖⋅‖mi){\displaystyle (E,\|\cdot \|_{E})}.
  • Una variable aleatoria integrable de Bochnerincógnita:Ω→mi{\displaystyle X:\Omega \to E}.
  • Un subálgebra σH⊆A{\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {A}}}.

La expectativa condicional deincógnita{\displaystyle X}dadoH{\displaystyle {\mathcal {H}}}es hasta unPAG{\displaystyle P}-conjunto nulo único e integrablemi{\displaystyle E}-valoradoH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-variable aleatoria mediblemi⁡(incógnita∣H){\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}satisfactorio

∫Hmi⁡(incógnita∣H)dPAG=∫HincógnitadPAG{\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P}

a pesar deH∈H{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}. [ 10 ] [ 11 ]

En este contexto, la expectativa condicional a veces también se denota en notación de operador comomiH⁡incógnita{\displaystyle \operatorname {E} ^{\mathcal {H}}X}.

Propiedades básicas

Todas las fórmulas siguientes deben entenderse en un sentido casi seguro.

  • Extraer factores independientes:
    • Siincógnita{\displaystyle X}es independiente deH{\displaystyle {\mathcal {H}}}, entoncesmi(incógnita∣H)=mi(incógnita){\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})=E(X)}.
Prueba

DejarB∈H{\displaystyle B\in {\mathcal {H}}}. Entoncesincógnita{\displaystyle X}es independiente de1B{\displaystyle 1_{B}}, así que obtenemos eso

∫BincógnitadPAG=mi(incógnita1B)=mi(incógnita)mi(1B)=mi(incógnita)PAG(B)=∫Bmi(incógnita)dPAG.{\displaystyle \int _{B}X\,dP=E(X1_{B})=E(X)E(1_{B})=E(X)P(B)=\int _{B}E(X)\,dP.}

Por lo tanto, la definición de esperanza condicional se satisface con la variable aleatoria constante.mi(incógnita){\displaystyle E(X)}, según se desee.◻{\displaystyle \square }

    • Siincógnita{\displaystyle X}es independiente deσ(Y,H){\displaystyle \sigma (Y,{\mathcal {H}})}, entoncesmi(incógnitaY∣H)=mi(incógnita)mi(Y∣H){\displaystyle E(XY\mid {\mathcal {H}})=E(X)\,E(Y\mid {\mathcal {H}})}. Tenga en cuenta que esto no es necesariamente así siincógnita{\displaystyle X}es solo independiente deH{\displaystyle {\mathcal {H}}}y deY{\displaystyle Y}.
    • Siincógnita,Y{\displaystyle X,Y}son independientes,GRAMO,H{\displaystyle {\mathcal {G}},{\mathcal {H}}}son independientes,incógnita{\displaystyle X}es independiente deH{\displaystyle {\mathcal {H}}}yY{\displaystyle Y}es independiente deGRAMO{\displaystyle {\mathcal {G}}}, entoncesmi(mi(incógnitaY∣GRAMO)∣H)=mi(incógnita)mi(Y)=mi(mi(incógnitaY∣H)∣GRAMO){\displaystyle E(E(XY\mid {\mathcal {G}})\mid {\mathcal {H}})=E(X)E(Y)=E(E(XY\mid {\mathcal {H}})\mid {\mathcal {G}})}.
  • Estabilidad:
    • Siincógnita{\displaystyle X}esH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-medible, entoncesmi(incógnita∣H)=incógnita{\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})=X}.
Prueba

Para cadaH∈H{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}tenemos∫Hmi(incógnita∣H)dPAG=∫HincógnitadPAG{\displaystyle \int _{H}E(X\mid {\mathcal {H}})\,dP=\int _{H}X\,dP}o equivalentemente

∫H(mi(incógnita∣H)−incógnita)dPAG=0{\displaystyle \int _{H}{\big (}E(X\mid {\mathcal {H}})-X{\big )}\,dP=0}

Dado que esto es cierto para cada unoH∈H{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}y ambosmi(incógnita∣H){\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})}yincógnita{\displaystyle X}sonH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-medible (la primera propiedad se cumple por definición; la segunda propiedad es clave aquí), a partir de esto se puede demostrar

∫H|mi(incógnita∣H)−incógnita|dPAG=0{\displaystyle \int _{H}{\big |}E(X\mid {\mathcal {H}})-X{\big |}\,dP=0}

Y esto implicami(incógnita∣H)=incógnita{\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})=X}casi en todas partes.◻{\displaystyle \square }

    • En particular, para sub- σ -álgebrasH1⊂H2⊂F{\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}}tenemosmi(mi(incógnita∣H1)∣H2)=mi(incógnita∣H1){\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})\mid {\mathcal {H}}_{2})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})}(Tenga en cuenta que esto es diferente de la propiedad de la torre que se describe a continuación).
    • Si Z es una variable aleatoria, entoncesmi⁡(F(Z)∣Z)=F(Z){\displaystyle \operatorname {E} (f(Z)\mid Z)=f(Z)}En su forma más simple, esto dice:mi⁡(Z∣Z)=Z{\displaystyle \operatorname {E} (Z\mid Z)=Z}.
  • Extrayendo factores conocidos:
    • Siincógnita{\displaystyle X}esH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-medible, entoncesmi(incógnitaY∣H)=incógnitami(Y∣H){\displaystyle E(XY\mid {\mathcal {H}})=X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})}.
Prueba

Aquí se asume, sin pérdida de generalidad, que todas las variables aleatorias son no negativas. El caso general puede tratarse conincógnita=incógnita+−incógnita−{\displaystyle X=X^{+}-X^{-}}.

ArreglarA∈H{\displaystyle A\in {\mathcal {H}}}y dejarincógnita=1A{\displaystyle X=1_{A}}. Entonces, para cualquierH∈H{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}

∫Hmi(1AY∣H)dPAG=∫H1AYdPAG=∫A∩HYdPAG=∫A∩Hmi(Y∣H)dPAG=∫H1Ami(Y∣H)dPAG{\displaystyle \int _{H}E(1_{A}Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\int _{H}1_{A}Y\,dP=\int _{A\cap H}Y\,dP=\int _{A\cap H}E(Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\int _{H}1_{A}E(Y\mid {\mathcal {H}})\,dP}

Por esomi(1AY∣H)=1Ami(Y∣H){\displaystyle E(1_{A}Y\mid {\mathcal {H}})=1_{A}E(Y\mid {\mathcal {H}})}casi en todas partes.

Cualquier función simple es una combinación lineal finita de funciones indicadoras. Por linealidad, la propiedad anterior se cumple para las funciones simples: siincógnitanorte{\displaystyle X_{n}}entonces es una función simplemi(incógnitanorteY∣H)=incógnitanortemi(Y∣H){\displaystyle E(X_{n}Y\mid {\mathcal {H}})=X_{n}\,E(Y\mid {\mathcal {H}})}.

Ahora dejemosincógnita{\displaystyle X}serH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-medible. Entonces existe una secuencia de funciones simples.{incógnitanorte}norte≥1{\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 1}}convergente monótonamente (aquí significaincógnitanorte≤incógnitanorte+1{\displaystyle X_{n}\leq X_{n+1}}) y puntualmente aincógnita{\displaystyle X}. En consecuencia, paraY≥0{\displaystyle Y\geq 0}, la secuencia{incógnitanorteY}norte≥1{\displaystyle \{X_{n}Y\}_{n\geq 1}}converge monótonamente y puntualmente aincógnitaY{\displaystyle XY}.

Además, dado quemi(Y∣H)≥0{\displaystyle E(Y\mid {\mathcal {H}})\geq 0}, la secuencia{incógnitanortemi(Y∣H)}norte≥1{\displaystyle \{X_{n}E(Y\mid {\mathcal {H}})\}_{n\geq 1}}converge monótonamente y puntualmente aincógnitami(Y∣H){\displaystyle X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})}

Combinando el caso especial demostrado para funciones simples, la definición de esperanza condicional y aplicando el teorema de convergencia monótona:

∫Hincógnitami(Y∣H)dPAG=∫Hlímitenorte→∞incógnitanortemi(Y∣H)dPAG=límitenorte→∞∫Hincógnitanortemi(Y∣H)dPAG=límitenorte→∞∫Hmi(incógnitanorteY∣H)dPAG=límitenorte→∞∫HincógnitanorteYdPAG=∫Hlímitenorte→∞incógnitanorteYdPAG=∫HincógnitaYdPAG=∫Hmi(incógnitaY∣H)dPAG{\displaystyle \int _{H}X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\int _{H}\lim _{n\to \infty }X_{n}\,E(Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}X_{n}E(Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}E(X_{n}Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}X_{n}Y\,dP=\int _{H}\lim _{n\to \infty }X_{n}Y\,dP=\int _{H}XY\,dP=\int _{H}E(XY\mid {\mathcal {H}})\,dP}

Esto se aplica a todosH∈H{\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}, de dondeincógnitami(Y∣H)=mi(incógnitaY∣H){\displaystyle X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})=E(XY\mid {\mathcal {H}})}casi en todas partes.◻{\displaystyle \square }

    • Si Z es una variable aleatoria, entoncesmi⁡(F(Z)Y∣Z)=F(Z)mi⁡(Y∣Z){\displaystyle \operatorname {E} (f(Z)Y\mid Z)=f(Z)\operatorname {E} (Y\mid Z)}.
  • Ley de la expectativa total :mi(mi(incógnita∣H))=mi(incógnita){\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X)}. [ 12 ]
  • Propiedad de la torre:
    • Para sub- σ -álgebrasH1⊂H2⊂F{\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}}tenemosmi(mi(incógnita∣H2)∣H1)=mi(incógnita∣H1){\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2})\mid {\mathcal {H}}_{1})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})}.
      • Un caso especialH1={∅,Ω}{\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}recupera la Ley de la expectativa total:mi(mi(incógnita∣H2))=mi(incógnita){\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2}))=E(X)}.
      • Un caso especial es cuando Z es unH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-variable aleatoria medible. Entoncesσ(Z)⊂H{\displaystyle \sigma (Z)\subset {\mathcal {H}}}y por lo tantomi(mi(incógnita∣H)∣Z)=mi(incógnita∣Z){\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}})\mid Z)=E(X\mid Z)}.
      • Propiedad de martingala Doob : lo anterior conZ=mi(incógnita∣H){\displaystyle Z=E(X\mid {\mathcal {H}})}(que esH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-medible), y utilizando tambiénmi⁡(Z∣Z)=Z{\displaystyle \operatorname {E} (Z\mid Z)=Z}, dami(incógnita∣mi(incógnita∣H))=mi(incógnita∣H){\displaystyle E(X\mid E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X\mid {\mathcal {H}})}.
    • Para variables aleatoriasincógnita,Y{\displaystyle X,Y}tenemosmi(mi(incógnita∣Y)∣F(Y))=mi(incógnita∣F(Y)){\displaystyle E(E(X\mid Y)\mid f(Y))=E(X\mid f(Y))}.
    • Para variables aleatoriasincógnita,Y,Z{\displaystyle X,Y,Z}tenemosmi(mi(incógnita∣Y,Z)∣Y)=mi(incógnita∣Y){\displaystyle E(E(X\mid Y,Z)\mid Y)=E(X\mid Y)}.
  • Linealidad: tenemosmi(incógnita1+incógnita2∣H)=mi(incógnita1∣H)+mi(incógnita2∣H){\displaystyle E(X_{1}+X_{2}\mid {\mathcal {H}})=E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})+E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})}ymi(aincógnita∣H)=ami(incógnita∣H){\displaystyle E(aX\mid {\mathcal {H}})=a\,E(X\mid {\mathcal {H}})}paraa∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} }.
  • Positividad: Siincógnita≥0{\displaystyle X\geq 0}entoncesmi(incógnita∣H)≥0{\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})\geq 0}.
  • Monotonicidad: Siincógnita1≤incógnita2{\displaystyle X_{1}\leq X_{2}}entoncesmi(incógnita1∣H)≤mi(incógnita2∣H){\displaystyle E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})\leq E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})}.
  • Convergencia monótona : Si0≤incógnitanorte↑incógnita{\displaystyle 0\leq X_{n}\uparrow X}entoncesmi(incógnitanorte∣H)↑mi(incógnita∣H){\displaystyle E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\uparrow E(X\mid {\mathcal {H}})}.
  • Convergencia dominada : Siincógnitanorte→incógnita{\displaystyle X_{n}\to X}y|incógnitanorte|≤Y{\displaystyle |X_{n}|\leq Y}conY∈L1{\displaystyle Y\in L^{1}}, entoncesmi(incógnitanorte∣H)→mi(incógnita∣H){\displaystyle E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\to E(X\mid {\mathcal {H}})}.
  • Lema de Fatou : Simi(infnorteincógnitanorte∣H)>−∞{\displaystyle \textstyle E(\inf _{n}X_{n}\mid {\mathcal {H}})>-\infty }entoncesmi(límite inferiornorte→∞incógnitanorte∣H)≤límite inferiornorte→∞mi(incógnitanorte∣H){\displaystyle \textstyle E(\liminf _{n\to \infty }X_{n}\mid {\mathcal {H}})\leq \liminf _{n\to \infty }E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})}.
  • Desigualdad de Jensen : SiF:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }es una función convexa , entoncesF(mi(incógnita∣H))≤mi(F(incógnita)∣H){\displaystyle f(E(X\mid {\mathcal {H}}))\leq E(f(X)\mid {\mathcal {H}})}.
  • Varianza condicional : Utilizando la esperanza condicional podemos definir, por analogía con la definición de la varianza como la desviación cuadrática media respecto a la media, la varianza condicional.
    • Definición:Var⁡(incógnita∣H)=mi⁡((incógnita−mi⁡(incógnita∣H))2∣H){\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))^{2}\mid {\mathcal {H}}{\bigr )}}
    • Fórmula algebraica para la varianza:Var⁡(incógnita∣H)=mi⁡(incógnita2∣H)−(mi⁡(incógnita∣H))2{\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} (X^{2}\mid {\mathcal {H}})-{\bigl (}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}){\bigr )}^{2}}
    • Ley de la varianza total :Var⁡(incógnita)=mi⁡(Var⁡(incógnita∣H))+Var⁡(mi⁡(incógnita∣H)){\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}}))+\operatorname {Var} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))}.
  • Convergencia de martingala : Para una variable aleatoriaincógnita{\displaystyle X}, que tiene una expectativa finita, tenemosmi(incógnita∣Hnorte)→mi(incógnita∣H){\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}}_{n})\to E(X\mid {\mathcal {H}})}, si algunoH1⊂H2⊂⋯{\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset \dotsb }es una serie creciente de sub- σ -álgebras yH=σ(⋃norte=1∞Hnorte){\displaystyle \textstyle {\mathcal {H}}=\sigma (\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n})}o siH1⊃H2⊃⋯{\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\supset {\mathcal {H}}_{2}\supset \dotsb }es una serie decreciente de sub- σ -álgebras yH=⋂norte=1∞Hnorte{\displaystyle \textstyle {\mathcal {H}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n}}.
  • Expectativa condicional comoL2{\displaystyle L^{2}}-proyección: Siincógnita,Y{\displaystyle X,Y}están en el espacio de Hilbert de variables aleatorias reales de cuadrado integrable (variables aleatorias reales con segundo momento finito) entonces
    • paraH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-mensurableY{\displaystyle Y}, tenemosmi(Y(incógnita−mi(incógnita∣H)))=0{\displaystyle E(Y(X-E(X\mid {\mathcal {H}})))=0}, es decir, la expectativa condicionalmi(incógnita∣H){\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})} es en el sentido del producto escalar L 2 ( P ) la proyección ortogonal deincógnita{\displaystyle X}al subespacio lineal deH{\displaystyle {\mathcal {H}}}-funciones medibles. (Esto permite definir y demostrar la existencia de la esperanza condicional basada en el teorema de proyección de Hilbert ).
    • el mapeoincógnita↦mi⁡(incógnita∣H){\displaystyle X\mapsto \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}es autoadjunto :mi⁡(incógnitami⁡(Y∣H))=mi⁡(mi⁡(incógnita∣H)mi⁡(Y∣H))=mi⁡(mi⁡(incógnita∣H)Y){\displaystyle \operatorname {E} (X\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}}))=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}})\right)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})Y)}
  • El condicionamiento es una proyección contractiva de los espacios L pLpag(Ω,F,PAG)→Lpag(Ω,H,PAG){\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\rightarrow L^{p}(\Omega ,{\mathcal {H}},P)}. Es decir,mi⁡(|mi⁡(incógnita∣H)|pag)≤mi⁡(|incógnita|pag){\displaystyle \operatorname {E} {\big (}|\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})|^{p}{\big )}\leq \operatorname {E} {\big (}|X|^{p}{\big )}}para cualquier p  ≥  1.
  • Propiedad de independencia condicional de Doob: [ 13 ] Siincógnita,Y{\displaystyle X,Y}son condicionalmente independientes dadoZ{\displaystyle Z}, entoncesPAG(incógnita∈B∣Y,Z)=PAG(incógnita∈B∣Z){\displaystyle P(X\in B\mid Y,Z)=P(X\in B\mid Z)}(equivalentemente,mi(1{incógnita∈B}∣Y,Z)=mi(1{incógnita∈B}∣Z){\displaystyle E(1_{\{X\in B\}}\mid Y,Z)=E(1_{\{X\in B\}}\mid Z)}).

Véase también

leyes de probabilidad

Notas

  1. ^ Kolmogorov, Andrey (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (en alemán). Berlín: Julius Springer. pag.  46.
    • Traducción: Kolmogorov, Andrey (1956). Fundamentos de la teoría de la probabilidad (2.ª ed.). Nueva York: Chelsea. pág. 53. ISBN   0-8284-0023-7Archivado del original el 14 de septiembre de 2018. Consultado el 14 de marzo de 2009 .{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  2. ↑ Oxtoby, JC (1953). "Reseña: Teoría de la medida , por PR Halmos" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 59 (1): 89– 91. doi : 10.1090/s0002-9904-1953-09662-8 .
  3. ↑ JL Doob (1953). Procesos estocásticos . John Wiley & Sons . ISBN 0-471-52369-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  4. ↑ Olav Kallenberg: Fundamentos de la probabilidad moderna. 2.ª edición. Springer, Nueva York, 2002, ISBN 0-387-95313-2, pág. 573.
  5. ↑ "probabilidad - Intuición detrás de la expectativa condicional" . Mathematics Stack Exchange .
  6. ↑ Brockwell, Peter J. (1991). Series temporales : teoría y métodos (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN   978-1-4419-0320-4.
  7. ↑ Hastie, Trevor (26 de agosto de 2009). Los elementos del aprendizaje estadístico : minería de datos, inferencia y predicción (PDF) (Segunda edición, 7.ª reimpresión corregida ). Nueva York. ISBN   978-0-387-84858-7.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
  8. ↑ Billingsley, Patrick (1995). «Sección 34. Expectativa condicional». Probabilidad y medida (3.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 445. ISBN   0-471-00710-2.
  9. ↑ Klenke, Achim (30 de agosto de 2013). Teoría de la probabilidad : un curso completo (Segunda edición). Londres. ISBN   978-1-4471-5361-0.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
  10. ↑ Da Prato, Giuseppe; Zabczyk, Jerzy (2014). Ecuaciones estocásticas en dimensiones infinitas . Cambridge University Press. pág. 26. doi : 10.1017/CBO9781107295513 . ISBN  978-1-107-05584-1.(Definición en espacios de Banach separables)
  11. ↑ Hytönen, Tuomas; van Neerven, enero; Verar, Mark; Weis, Lutz (2016). Análisis en espacios de Banach, Volumen I: Martingalas y teoría de Littlewood-Paley . Springer Cham. doi : 10.1007/978-3-319-48520-1 . ISBN 978-3-319-48519-5.(Definición en espacios de Banach generales)
  12. ↑ "Expectativa condicional" . www.statlect.com . Consultado el 11 de septiembre de 2020 .
  13. ^ Kallenberg, Olav (2001). Fundamentos de la probabilidad moderna (2ª ed.). York, Pensilvania, Estados Unidos: Springer. pag. 110.ISBN​   0-387-95313-2.

Referencias

  • William Feller , Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones , vol. 1, 1950, página 223
  • Paul A. Meyer, Probabilidad y potenciales , Blaisdell Publishing Co., 1966, página 28
  • Grimmett, Geoffrey ; Stirzaker, David (2001). Probabilidad y procesos aleatorios (3.ª  ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-857222-0.páginas 67–69
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